15. 「2025 陕西中考」如图，在 $ △ ABC $ 中，$ ∠ ACB = 90° $，$ ∠ A = 20° $，$ CD $ 为 $ AB $ 边上的中线，$ DE ⊥ AC $，则图中与 $ ∠ A $ 互余的角共有(
A.2 个
B.3 个
C.4 个
D.5 个
C
)A.2 个
B.3 个
C.4 个
D.5 个
答案：15. C
∵ 在△ABC中，∠ACB = 90°，∠A = 20°，
∴ ∠B = 180° - ∠A - ∠ACB = 180° - 20° - 90° = 70°，
∵ CD为AB边上的中线，
∴ CD = AD = BD，
∴ ∠DCA = ∠A = 20°，∠DCB = ∠B = 70°，∠CDB = 2∠A = 40°，
∵ DE ⊥ AC，
∴ ∠CDE = 180° - 90° - ∠DCA = 70°，∠ADE = 180° - 90° - ∠A = 70°，
∴ 题图中与∠A互余的角是∠B，∠DCB，∠CDE，∠ADE，共有4个。故选C。
∵ 在△ABC中，∠ACB = 90°，∠A = 20°，
∴ ∠B = 180° - ∠A - ∠ACB = 180° - 20° - 90° = 70°，
∵ CD为AB边上的中线，
∴ CD = AD = BD，
∴ ∠DCA = ∠A = 20°，∠DCB = ∠B = 70°，∠CDB = 2∠A = 40°，
∵ DE ⊥ AC，
∴ ∠CDE = 180° - 90° - ∠DCA = 70°，∠ADE = 180° - 90° - ∠A = 70°，
∴ 题图中与∠A互余的角是∠B，∠DCB，∠CDE，∠ADE，共有4个。故选C。
16. 「2025 北京中考」如图，$ ∠ MON = 100° $，点 $ A $ 在射线 $ OM $ 上，以点 $ O $ 为圆心，$ OA $ 长为半径画弧，交射线 $ ON $ 于点 $ B $.若分别以点 $ A $，$ B $ 为圆心，$ AB $ 长为半径画弧，两弧在 $ ∠ MON $ 内部交于点 $ C $，连接 $ AC $，则 $ ∠ OAC $ 的大小为(
A.$ 80° $
B.$ 100° $
C.$ 110° $
D.$ 120° $
B
)A.$ 80° $
B.$ 100° $
C.$ 110° $
D.$ 120° $
答案：
16. B 如图，连接AB，OC，BC，
由作图可得，OA = OB，AC = BC = AB，
∴ △ABC为等边三角形，
∴ ∠CAB = 60°。
∵ OA = OB，∠MON = 100°，
∴ ∠OAB = $\frac{180° - 100°}{2}$ = 40°，
∴ ∠OAC = 40° + 60° = 100°。故选B。
16. B 如图，连接AB，OC，BC，
由作图可得，OA = OB，AC = BC = AB，
∴ △ABC为等边三角形，
∴ ∠CAB = 60°。
∵ OA = OB，∠MON = 100°，
∴ ∠OAB = $\frac{180° - 100°}{2}$ = 40°，
∴ ∠OAC = 40° + 60° = 100°。故选B。
17. 「2025 安徽中考」如图，在 $ △ ABC $ 中，$ ∠ A = 120° $，$ AB = AC $，边 $ AC $ 的中点为 $ D $，边 $ BC $ 上的点 $ E $ 满足 $ ED ⊥ AC $.若 $ DE = \sqrt{3} $，则 $ AC $ 的长是(
A.$ 4\sqrt{3} $
B.6
C.$ 2\sqrt{3} $
D.3
B
)A.$ 4\sqrt{3} $
B.6
C.$ 2\sqrt{3} $
D.3
答案：17. B
∵ ∠A = 120°，AB = AC，
∴ ∠B = ∠C = $\frac{1}{2}$×(180° - 120°) = 30°，
∵ ED ⊥ AC，
∴ ∠CDE = 90°，
∵ tanC = tan30° = $\frac{DE}{DC}$ = $\frac{\sqrt{3}}{DC}$ = $\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴ DC = 3，
∵ D是AC的中点，
∴ AC = 2DC = 6。故选B。
∵ ∠A = 120°，AB = AC，
∴ ∠B = ∠C = $\frac{1}{2}$×(180° - 120°) = 30°，
∵ ED ⊥ AC，
∴ ∠CDE = 90°，
∵ tanC = tan30° = $\frac{DE}{DC}$ = $\frac{\sqrt{3}}{DC}$ = $\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴ DC = 3，
∵ D是AC的中点，
∴ AC = 2DC = 6。故选B。
18. 「2025 江苏连云港中考」如图，长为 $ 3m $ 的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为 $ 1.8m $，则梯子顶端的高度 $ h $ 为
2.4
$ m $.答案：18. 答案 2.4
解析 由题意得，h = $\sqrt{3^{2} - 1.8^{2}}$ = 2.4 (m)。
解析 由题意得，h = $\sqrt{3^{2} - 1.8^{2}}$ = 2.4 (m)。
19. 「2025 四川南充中考」如图，$ ∠ AOB = 90° $，在射线 $ OB $ 上取一点 $ C $，以点 $ O $ 为圆心，$ OC $ 长为半径画弧，再以点 $ C $ 为圆心，$ OC $ 长为半径画弧，两弧在 $ ∠ AOB $ 的内部相交于点 $ D $，连接 $ CD $ 并延长交射线 $ OA $ 于点 $ E $.设 $ OC = 1 $，则 $ OE $ 的长是
$\sqrt{3}$
.答案：19. 答案 $\sqrt{3}$
解析 连接OD（图略），由尺规作图可得△OCD为等边三角形，
∴ ∠OCE = 60°，
∵ ∠AOB = 90°，
∴ ∠OEC = 30°，
∴ tan∠OEC = tan30° = $\frac{OC}{OE}$ = $\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵ OC = 1，
∴ OE = $\sqrt{3}$。
解析 连接OD（图略），由尺规作图可得△OCD为等边三角形，
∴ ∠OCE = 60°，
∵ ∠AOB = 90°，
∴ ∠OEC = 30°，
∴ tan∠OEC = tan30° = $\frac{OC}{OE}$ = $\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵ OC = 1，
∴ OE = $\sqrt{3}$。
20. 「2025 江苏扬州中考」清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”.法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献.由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……，根据上述规律，得出第⑤组勾股数为
11，60，61
.答案：20. 答案 11，60，61
解析 设第⑤组勾股数中最小的数为n，通过观察得n = 11，则另外两个数分别为$\frac{n^{2} - 1}{2}$ = 60，$\frac{n^{2} + 1}{2}$ = 61。
解析 设第⑤组勾股数中最小的数为n，通过观察得n = 11，则另外两个数分别为$\frac{n^{2} - 1}{2}$ = 60，$\frac{n^{2} + 1}{2}$ = 61。
21. 「2025 广东深圳中考」下图为人行天桥的示意图，若桥高 $ BC $ 为 10 米，斜道 $ AC $ 长为 30 米，则 $ \sin A $ 的值为(
A.$ \dfrac{2\sqrt{2}}{3} $
B.3
C.$ \dfrac{\sqrt{2}}{4} $
D.$ \dfrac{1}{3} $
D
)A.$ \dfrac{2\sqrt{2}}{3} $
B.3
C.$ \dfrac{\sqrt{2}}{4} $
D.$ \dfrac{1}{3} $
答案：21. D 在Rt△ABC中，∠CBA = 90°，BC = 10米，AC = 30米，
∴ sinA = $\frac{BC}{AC}$ = $\frac{10}{30}$ = $\frac{1}{3}$。故选D。
∴ sinA = $\frac{BC}{AC}$ = $\frac{10}{30}$ = $\frac{1}{3}$。故选D。
22. 「2025 天津中考」$ \tan 45° - \sqrt{2} \cos 45° $ 的值等于(
A.0
B.1
C.$ 1 - \dfrac{\sqrt{2}}{2} $
D.$ 1 - \sqrt{2} $
A
)A.0
B.1
C.$ 1 - \dfrac{\sqrt{2}}{2} $
D.$ 1 - \sqrt{2} $
答案：22. A 原式 = 1 - $\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$ = 1 - 1 = 0，故选A。
23. 「2025 四川眉山中考」人字梯为现代家庭常用的工具.如图，若 $ AB $，$ AC $ 的长都为 $ 2m $，当 $ α = 65° $ 时，人字梯顶端离地面的高度是
1.8
$ m $.(结果精确到 $ 0.1m $，参考依据：$ \sin 65° \approx 0.91 $，$ \cos 65° \approx 0.42 $，$ \tan 65° \approx 2.14 $)答案：
23. 答案 1.8
解析 如图，过点A作AD ⊥ BC于点D，
∵ AD ⊥ BC，
∴ ∠ADC = 90°，
∵ AB = AC = 2 m，
∴ AD = AC·sin65° ≈ 2×0.91 ≈ 1.8 (m)，
∴ 人字梯顶端离地面的高度约为1.8 m。
23. 答案 1.8
解析 如图，过点A作AD ⊥ BC于点D，
∵ AD ⊥ BC，
∴ ∠ADC = 90°，
∵ AB = AC = 2 m，
∴ AD = AC·sin65° ≈ 2×0.91 ≈ 1.8 (m)，
∴ 人字梯顶端离地面的高度约为1.8 m。