9. 「2025 福建中考」如图，PA 与⊙O 相切于点 A，PO 的延长线交⊙O 于点 C。AB//PC，且交⊙O 于点 B。若∠P = 30°，则∠BCP 的大小为(
A.30°
B.45°
C.60°
D.75°
C
)A.30°
B.45°
C.60°
D.75°
答案：
9. C 如图,连接OA,OB,因为PA为$\odot O$的切线,所以$OA⊥AP$,即$∠OAP=90^{\circ }$,因为$∠P=30^{\circ }$,所以$∠AOP=60^{\circ }$,因为$AB// CP$,所以$∠AOP=∠OAB=60^{\circ }$,因为$OA=OB$,所以$∠OBA=∠OAB=60^{\circ }$,所以$∠BOC=∠OBA=60^{\circ }$,由$OB=OC$,易得$∠BCP=60^{\circ }$.
9. C 如图,连接OA,OB,因为PA为$\odot O$的切线,所以$OA⊥AP$,即$∠OAP=90^{\circ }$,因为$∠P=30^{\circ }$,所以$∠AOP=60^{\circ }$,因为$AB// CP$,所以$∠AOP=∠OAB=60^{\circ }$,因为$OA=OB$,所以$∠OBA=∠OAB=60^{\circ }$,所以$∠BOC=∠OBA=60^{\circ }$,由$OB=OC$,易得$∠BCP=60^{\circ }$.
10. 「2025 四川自贡中考」PA，PB 分别与⊙O 相切于 A，B 两点，点 C 在⊙O 上，不与点 A，B 重合。若∠P = 80°，则∠ACB 的度数为(
A.50°
B.100°
C.130°
D.50°或 130°
D
)A.50°
B.100°
C.130°
D.50°或 130°
答案：
10. D 如图,连接OA,OB,$\because PA,PB$分别与$\odot O$相切于A,B两点,$\therefore OA⊥PA,OB⊥PB,\therefore ∠OAP=∠OBP=90^{\circ },\therefore ∠AOB=180^{\circ }-∠P=180^{\circ }-80^{\circ }=100^{\circ }$.当点C在优弧AB上时,$∠ACB=\frac {1}{2}∠AOB=\frac {1}{2}×100^{\circ }=50^{\circ }$,当点$C'$在劣弧AB上时,$∠AC'B=180^{\circ }-50^{\circ }=130^{\circ }$.综上所述,$∠ACB$的度数是$50^{\circ }$或$130^{\circ }$.故选D.
10. D 如图,连接OA,OB,$\because PA,PB$分别与$\odot O$相切于A,B两点,$\therefore OA⊥PA,OB⊥PB,\therefore ∠OAP=∠OBP=90^{\circ },\therefore ∠AOB=180^{\circ }-∠P=180^{\circ }-80^{\circ }=100^{\circ }$.当点C在优弧AB上时,$∠ACB=\frac {1}{2}∠AOB=\frac {1}{2}×100^{\circ }=50^{\circ }$,当点$C'$在劣弧AB上时,$∠AC'B=180^{\circ }-50^{\circ }=130^{\circ }$.综上所述,$∠ACB$的度数是$50^{\circ }$或$130^{\circ }$.故选D.
11. 「2025 云南中考」已知⊙O 的半径为 5 cm。若点 P 在⊙O 上，则点 P 到圆心 O 的距离为
5
cm。答案：11. 答案 5
解析 $\because \odot O$的半径为5cm,点P在$\odot O$上,$\therefore $点P到圆心O的距离为5cm.
解析 $\because \odot O$的半径为5cm,点P在$\odot O$上,$\therefore $点P到圆心O的距离为5cm.
12. 「2025 北京中考」如图，⊙O 是地球的示意图，其中 AB 表示赤道，CD，EF 分别表示北回归线和南回归线，∠DOB = ∠FOB = 23.5°。夏至日正午时，太阳光线 GD 所在直线经过地心 O，此时点 F 处的太阳高度角∠IFH(即平行于 GD 的光线 HF 与⊙O 的切线 FI 所成的锐角)的大小为
43
°。答案：12. 答案 43
解析 $\because ∠DOB=∠FOB=23.5^{\circ }$,$\therefore ∠DOF=∠DOB+∠FOB=47^{\circ }$,$\because GD// HF$,$\therefore ∠OFH=180^{\circ }-∠DOF=180^{\circ }-47^{\circ }=133^{\circ }$.$\because FI$是$\odot O$的切线,$\therefore OF⊥FI,\therefore ∠OFI=90^{\circ }$,$\therefore ∠IFH=∠OFH-∠OFI=133^{\circ }-90^{\circ }=43^{\circ }$.
解析 $\because ∠DOB=∠FOB=23.5^{\circ }$,$\therefore ∠DOF=∠DOB+∠FOB=47^{\circ }$,$\because GD// HF$,$\therefore ∠OFH=180^{\circ }-∠DOF=180^{\circ }-47^{\circ }=133^{\circ }$.$\because FI$是$\odot O$的切线,$\therefore OF⊥FI,\therefore ∠OFI=90^{\circ }$,$\therefore ∠IFH=∠OFH-∠OFI=133^{\circ }-90^{\circ }=43^{\circ }$.
13. 「2025 黑龙江龙东地区中考」如图，PA，PB 是圆 O 的切线，A，B 为切点，AC 是直径，∠BAC = 35°，则∠P =
70°
。答案：13. 答案 $70^{\circ }$
解析 $\because PA,PB$是圆O的切线,$\therefore PA=PB$.$\because AC$是$\odot O$的直径,$\therefore PA⊥AC,\therefore ∠PAC=90^{\circ },\therefore ∠PBA=∠PAB=90^{\circ }-∠BAC=90^{\circ }-35^{\circ }=55^{\circ },\therefore ∠P=180^{\circ }-∠PBA-∠PAB=180^{\circ }-55^{\circ }-55^{\circ }=70^{\circ }$.
解析 $\because PA,PB$是圆O的切线,$\therefore PA=PB$.$\because AC$是$\odot O$的直径,$\therefore PA⊥AC,\therefore ∠PAC=90^{\circ },\therefore ∠PBA=∠PAB=90^{\circ }-∠BAC=90^{\circ }-35^{\circ }=55^{\circ },\therefore ∠P=180^{\circ }-∠PBA-∠PAB=180^{\circ }-55^{\circ }-55^{\circ }=70^{\circ }$.
14. 「2025 四川泸州中考」如图，梯形 ABCD 中，AD//BC，AB = CD = 10，⊙O 与梯形 ABCD 的各边都相切，且⊙O 的面积为 16π，则点 B 到 CD 的距离为
64/5
。答案：
14. 答案 $\frac {64}{5}$
解析 如图,过点A作$AE⊥BC$于E,过点D作$DF⊥BC$于F,连接BD,过点B作$BH⊥DC$于H,则四边形AEFD为矩形,$\therefore AD=EF,AE=DF$.$\because \odot O$的面积为$16π,\therefore \odot O$的半径为4,$\therefore AE=DF=8$.由勾股定理得$BE=CF=\sqrt {AB^{2}-AE^{2}}=\sqrt {10^{2}-8^{2}}=6$,$\because \odot O$与梯形ABCD的各边都相切,$AB=CD=10,\therefore AD+BC=AB+CD=20,\therefore AD=EF=\frac {1}{2}×(20-6×2)=4,\therefore BC=6+4+6=16$,$\because S_{△BDC}=\frac {1}{2}BC· DF=\frac {1}{2}CD· BH,\therefore BH=\frac {16×8}{10}=\frac {64}{5}$.故点B到CD的距离为$\frac {64}{5}$.
14. 答案 $\frac {64}{5}$
解析 如图,过点A作$AE⊥BC$于E,过点D作$DF⊥BC$于F,连接BD,过点B作$BH⊥DC$于H,则四边形AEFD为矩形,$\therefore AD=EF,AE=DF$.$\because \odot O$的面积为$16π,\therefore \odot O$的半径为4,$\therefore AE=DF=8$.由勾股定理得$BE=CF=\sqrt {AB^{2}-AE^{2}}=\sqrt {10^{2}-8^{2}}=6$,$\because \odot O$与梯形ABCD的各边都相切,$AB=CD=10,\therefore AD+BC=AB+CD=20,\therefore AD=EF=\frac {1}{2}×(20-6×2)=4,\therefore BC=6+4+6=16$,$\because S_{△BDC}=\frac {1}{2}BC· DF=\frac {1}{2}CD· BH,\therefore BH=\frac {16×8}{10}=\frac {64}{5}$.故点B到CD的距离为$\frac {64}{5}$.
15. 「2025 湖北中考」如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BAC = 45°。过点 O 作 DF⊥AB，垂足为 E，交 AC 于点 D，交⊙O 于点 F。过点 F 作⊙O 的切线，交 CA 的延长线于点 G。
(1) 求证：FD = FG。
(2) 若 AB = 12，FG = 10，求⊙O 的半径。
(1) 求证：FD = FG。
(2) 若 AB = 12，FG = 10，求⊙O 的半径。
答案：
15. 解析 (1)证明:$\because GF$是$\odot O$的切线,$\therefore DF⊥GF$,又$\because DF⊥AB,\therefore AB// GF$,$\therefore ∠G=∠BAC=45^{\circ }$,$\because DF⊥GF,\therefore ∠FDG=90^{\circ }-45^{\circ }=45^{\circ }$,$\therefore ∠G=∠FDG,\therefore FD=FG$.
(2)$\because DF⊥AB,\therefore AE=BE=\frac {1}{2}AB=6$,$\because ∠BAC=45^{\circ }=∠FDG,\therefore EA=ED=6$.由(1)得$FD=FG,\because FG=10,\therefore FD=10$,$\therefore EF=FD-ED=10-6=4$,如图所示,连接OA,设$OE=x$,则$OA=OF=OE+EF=x+4$,
在$Rt△AOE$中,$OA^{2}=AE^{2}+OE^{2}$,$\therefore (x+4)^{2}=6^{2}+x^{2}$,解得$x=\frac {5}{2}$,$\therefore OA=x+4=\frac {13}{2},\therefore \odot O$的半径为$\frac {13}{2}$.
15. 解析 (1)证明:$\because GF$是$\odot O$的切线,$\therefore DF⊥GF$,又$\because DF⊥AB,\therefore AB// GF$,$\therefore ∠G=∠BAC=45^{\circ }$,$\because DF⊥GF,\therefore ∠FDG=90^{\circ }-45^{\circ }=45^{\circ }$,$\therefore ∠G=∠FDG,\therefore FD=FG$.
(2)$\because DF⊥AB,\therefore AE=BE=\frac {1}{2}AB=6$,$\because ∠BAC=45^{\circ }=∠FDG,\therefore EA=ED=6$.由(1)得$FD=FG,\because FG=10,\therefore FD=10$,$\therefore EF=FD-ED=10-6=4$,如图所示,连接OA,设$OE=x$,则$OA=OF=OE+EF=x+4$,
在$Rt△AOE$中,$OA^{2}=AE^{2}+OE^{2}$,$\therefore (x+4)^{2}=6^{2}+x^{2}$,解得$x=\frac {5}{2}$,$\therefore OA=x+4=\frac {13}{2},\therefore \odot O$的半径为$\frac {13}{2}$.
16. 「2025 山东中考」如图，在△OAB 中，点 A 在⊙O 上，边 OB 交⊙O 于点 C，AD⊥OB 于点 D，AC 是∠BAD 的平分线。
(1) 求证：AB 为⊙O 的切线。
(2) 若⊙O 的半径为 2，∠AOB = 45°，求 CB 的长。
(1) 求证：AB 为⊙O 的切线。
(2) 若⊙O 的半径为 2，∠AOB = 45°，求 CB 的长。
答案：16. 解析 (1)证明:$\because AD⊥OB,\therefore ∠DAC+∠ACD=90^{\circ }$,$\because OA=OC,\therefore ∠OAC=∠OCA$,$\because AC$是$∠BAD$的平分线,$\therefore ∠DAC=∠BAC$,$\therefore ∠BAC+∠OAC=∠DAC+∠OCA=90^{\circ }$,$\therefore AB⊥OA$,又$\because OA$是$\odot O$的半径,$\therefore AB$为$\odot O$的切线.
(2)$\because ∠OAB=90^{\circ },∠AOB=45^{\circ }$,$\therefore ∠B=∠AOB=45^{\circ },\therefore AB=OA$,$\because \odot O$的半径为2,$\therefore OA=OC=2,\therefore OB=\sqrt {2}OA=2\sqrt {2}$,$\therefore CB=OB-OC=2\sqrt {2}-2,\therefore CB$的长为$2\sqrt {2}-2$.
(2)$\because ∠OAB=90^{\circ },∠AOB=45^{\circ }$,$\therefore ∠B=∠AOB=45^{\circ },\therefore AB=OA$,$\because \odot O$的半径为2,$\therefore OA=OC=2,\therefore OB=\sqrt {2}OA=2\sqrt {2}$,$\therefore CB=OB-OC=2\sqrt {2}-2,\therefore CB$的长为$2\sqrt {2}-2$.