17. 「2025 江苏连云港中考」已知 AD 是△ABC 的高，⊙O 是△ABC 的外接圆。
(1) 请你在图 1 中用无刻度的直尺和圆规，作△ABC 的外接圆(保留作图痕迹，不写作法)。
(2) 如图 2，若⊙O 的半径为 R，求证：R = $\dfrac{AC· AB}{2AD}$。
(3) 如图 3，延长 AD 交⊙O 于点 E，连接 CE，过点 E 的切线交 OC 的延长线于点 F，若 BC = 7，AD = 3$\sqrt{3}$，∠ACB = 60°，求 CF 的长。
(1) 请你在图 1 中用无刻度的直尺和圆规，作△ABC 的外接圆(保留作图痕迹，不写作法)。
(2) 如图 2，若⊙O 的半径为 R，求证：R = $\dfrac{AC· AB}{2AD}$。
(3) 如图 3，延长 AD 交⊙O 于点 E，连接 CE，过点 E 的切线交 OC 的延长线于点 F，若 BC = 7，AD = 3$\sqrt{3}$，∠ACB = 60°，求 CF 的长。
答案：
17. 解析 (1)如图所示,$\odot O$即为所求.
(2)证明:如图,作$\odot O$的直径AM,连接BM,
$\therefore ∠ABM=90^{\circ },AM=2R$,$\because AD$是$△ABC$的高,$\therefore ∠ADC=90^{\circ }$,$\because ∠ACB=∠AMB,\therefore △ABM∽ △ADC$,$\therefore \frac {AB}{AD}=\frac {AM}{AC}$,即$\frac {AB}{AD}=\frac {2R}{AC},\therefore R=\frac {AC· AB}{2AD}$.
(3)如图,连接OE,
$\because EF$为$\odot O$的切线,OE为$\odot O$的半径,$\therefore ∠OEF=90^{\circ }$,$\because ∠ACB=60^{\circ },∠ADC=90^{\circ },\therefore ∠DAC=30^{\circ }$,$\therefore ∠EOC=2∠DAC=60^{\circ },\therefore ∠F=30^{\circ }$,$\because OE=OC$,$\therefore △OEC$是等边三角形,$∠OEC=∠OCE=60^{\circ }$,$\therefore CE=OE,∠CEF=∠OEF-∠OEC=30^{\circ }$,$\therefore ∠CEF=∠F,\therefore CE=CF$.在$Rt△ADC$中,$AD=3\sqrt {3},∠ACB=60^{\circ }$,$\therefore tan60^{\circ }=\frac {AD}{CD}=\frac {3\sqrt {3}}{CD}=\sqrt {3}$,$\therefore CD=3,\therefore BD=BC-CD=7-3=4$,在$Rt△ACD$中,$AC=\sqrt {AD^{2}+CD^{2}}=\sqrt {(3\sqrt {3})^{2}+3^{2}}=6$,在$Rt△ABD$中,$AB=\sqrt {AD^{2}+BD^{2}}=\sqrt {(3\sqrt {3})^{2}+4^{2}}=\sqrt {43}$,由(2)得$OE=\frac {AB· AC}{2AD}=\frac {\sqrt {43}×6}{2×3\sqrt {3}}=\frac {\sqrt {129}}{3}$,$\therefore CF=CE=OE=\frac {\sqrt {129}}{3}$.
17. 解析 (1)如图所示,$\odot O$即为所求.
(2)证明:如图,作$\odot O$的直径AM,连接BM,
$\therefore ∠ABM=90^{\circ },AM=2R$,$\because AD$是$△ABC$的高,$\therefore ∠ADC=90^{\circ }$,$\because ∠ACB=∠AMB,\therefore △ABM∽ △ADC$,$\therefore \frac {AB}{AD}=\frac {AM}{AC}$,即$\frac {AB}{AD}=\frac {2R}{AC},\therefore R=\frac {AC· AB}{2AD}$.
(3)如图,连接OE,
$\because EF$为$\odot O$的切线,OE为$\odot O$的半径,$\therefore ∠OEF=90^{\circ }$,$\because ∠ACB=60^{\circ },∠ADC=90^{\circ },\therefore ∠DAC=30^{\circ }$,$\therefore ∠EOC=2∠DAC=60^{\circ },\therefore ∠F=30^{\circ }$,$\because OE=OC$,$\therefore △OEC$是等边三角形,$∠OEC=∠OCE=60^{\circ }$,$\therefore CE=OE,∠CEF=∠OEF-∠OEC=30^{\circ }$,$\therefore ∠CEF=∠F,\therefore CE=CF$.在$Rt△ADC$中,$AD=3\sqrt {3},∠ACB=60^{\circ }$,$\therefore tan60^{\circ }=\frac {AD}{CD}=\frac {3\sqrt {3}}{CD}=\sqrt {3}$,$\therefore CD=3,\therefore BD=BC-CD=7-3=4$,在$Rt△ACD$中,$AC=\sqrt {AD^{2}+CD^{2}}=\sqrt {(3\sqrt {3})^{2}+3^{2}}=6$,在$Rt△ABD$中,$AB=\sqrt {AD^{2}+BD^{2}}=\sqrt {(3\sqrt {3})^{2}+4^{2}}=\sqrt {43}$,由(2)得$OE=\frac {AB· AC}{2AD}=\frac {\sqrt {43}×6}{2×3\sqrt {3}}=\frac {\sqrt {129}}{3}$,$\therefore CF=CE=OE=\frac {\sqrt {129}}{3}$.
18. 「2025 四川南充中考」下图是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形，若正六边形的边长为 2，则矩形的面积是(
A.12
B.$8\sqrt{3}$
C.16
D.$12\sqrt{3}$
B
)A.12
B.$8\sqrt{3}$
C.16
D.$12\sqrt{3}$
答案：
18. B 如图,$\because $六边形ABCDEF为正六边形,且边长为2,$\therefore AB=BC=2,∠BAF=∠AFE=120^{\circ }$,$\therefore ∠BAM=60^{\circ },∠EFH=60^{\circ }$,$\therefore BM=BN=AB· sin60^{\circ }=2×\frac {\sqrt {3}}{2}=\sqrt {3},AM=\frac {1}{2}AB=1$,同理可得$FH=AM=1,\therefore MH=AM+AF+FH=4$,又$\because MN=BM+BN=2\sqrt {3}$,$\therefore S_{矩形MNGH}=4×2\sqrt {3}=8\sqrt {3}$,故选B.
18. B 如图,$\because $六边形ABCDEF为正六边形,且边长为2,$\therefore AB=BC=2,∠BAF=∠AFE=120^{\circ }$,$\therefore ∠BAM=60^{\circ },∠EFH=60^{\circ }$,$\therefore BM=BN=AB· sin60^{\circ }=2×\frac {\sqrt {3}}{2}=\sqrt {3},AM=\frac {1}{2}AB=1$,同理可得$FH=AM=1,\therefore MH=AM+AF+FH=4$,又$\because MN=BM+BN=2\sqrt {3}$,$\therefore S_{矩形MNGH}=4×2\sqrt {3}=8\sqrt {3}$,故选B.
19. 「2025 湖南中考」如图，北京市某处 A 位于北纬 40°(即∠AOC = 40°)，东经 116°，三沙市海域某处 B 位于北纬 15°(即∠BOC = 15°)，东经 116°。设地球的半径为 R 千米，则在东经 116°所在经线圈上的点 A 和点 B 之间的劣弧长为(
A.$\dfrac{5}{72}π R$ 千米
B.$\dfrac{1}{12}π R$ 千米
C.$\dfrac{5}{36}π R$ 千米
D.$\dfrac{2}{9}π R$ 千米
C
)A.$\dfrac{5}{72}π R$ 千米
B.$\dfrac{1}{12}π R$ 千米
C.$\dfrac{5}{36}π R$ 千米
D.$\dfrac{2}{9}π R$ 千米
答案：19. C 由题意得,$∠AOB=∠AOC-∠BOC=25^{\circ }$,$\therefore $劣弧AB的长为$\frac {25π×R}{180}=\frac {5}{36}πR$(千米).
20. 「2025 山西中考」如图，在△ABC 中，∠BAC = 90°，AB = AC，分别以点 B，C 为圆心，BC 的长为半径画弧，与 BA，CA 的延长线分别交于点 D，E。若 BC = 4，则图中阴影部分的面积为(
A.2π - 4
B.4π - 4
C.8π - 8
D.4π - 8
D
)A.2π - 4
B.4π - 4
C.8π - 8
D.4π - 8
答案：20. D $\because ∠BAC=90^{\circ },AB=AC,\therefore ∠ABC=∠ACB=45^{\circ }$,$\therefore S_{扇形CBE}=S_{扇形BCD}=\frac {45×π×4^{2}}{360}=2π$.$\because BC=4,∠BAC=90^{\circ },AB=AC,\therefore AB=AC=2\sqrt {2}$,$\therefore S_{△ABC}=\frac {1}{2}×2\sqrt {2}×2\sqrt {2}=4$,$\therefore S_{阴影}=S_{扇形CBE}-S_{△ABC}+S_{扇形BCD}-S_{△ABC}=2π-4+2π-4=4π-8$,故选D.
21. 「2025 黑龙江齐齐哈尔中考」已知圆锥的底面半径为 40 cm，母线长为 90 cm，则它的侧面展开图的圆心角为
160
度。答案：21. 答案 160
解析 设圆锥侧面展开图的圆心角为n度,根据题意,得$2×40π=\frac {nπ×90}{180}$,解得$n=160,\therefore $圆锥侧面展开图的圆心角为160度.
解析 设圆锥侧面展开图的圆心角为n度,根据题意,得$2×40π=\frac {nπ×90}{180}$,解得$n=160,\therefore $圆锥侧面展开图的圆心角为160度.