1. 下面的说法正确的画“√”,错误的画“×”。
(1)一个圆锥和一个圆柱等底等高,圆锥的体积是圆柱体积的$\frac{1}{3}$。 ……………………………($\boldsymbol{\quad\quad}$)
(2)一个圆锥的体积比与它等底等高的圆柱的体积少30立方厘米,这个圆锥的体积是10立方厘米。 …………………………………………($\boldsymbol{\quad\quad}$)
(3)把一个圆柱削成一个最大的圆锥,削去部分的体积是圆锥体积的2倍。 ……………($\boldsymbol{\quad\quad}$)
(4)甲、乙两个圆锥,甲圆锥的底面半径和乙圆锥的底面直径相等,两个圆锥的高相等,那么甲圆锥的体积是乙圆锥的2倍。 ………($\boldsymbol{\quad\quad}$)
(1)一个圆锥和一个圆柱等底等高,圆锥的体积是圆柱体积的$\frac{1}{3}$。 ……………………………($\boldsymbol{\quad\quad}$)
(2)一个圆锥的体积比与它等底等高的圆柱的体积少30立方厘米,这个圆锥的体积是10立方厘米。 …………………………………………($\boldsymbol{\quad\quad}$)
(3)把一个圆柱削成一个最大的圆锥,削去部分的体积是圆锥体积的2倍。 ……………($\boldsymbol{\quad\quad}$)
(4)甲、乙两个圆锥,甲圆锥的底面半径和乙圆锥的底面直径相等,两个圆锥的高相等,那么甲圆锥的体积是乙圆锥的2倍。 ………($\boldsymbol{\quad\quad}$)
答案：1. (1)$\boldsymbol{\sqrt{}}$ (2)$\boldsymbol{×}$ (3)$\boldsymbol{\sqrt{}}$ (4)$\boldsymbol{×}$
解析：
【分析】
我们可以根据圆柱和圆锥的体积公式及两者的关系来逐个判断：
1. 对于第(1)题，回忆圆柱和圆锥的体积公式，等底等高时，圆柱体积是底面积乘高，圆锥体积是三分之一底面积乘高，直接对比即可得出结论。
2. 第(2)题，等底等高的圆柱体积是圆锥的3倍，那么圆柱比圆锥多的体积是圆锥的2倍，用多的体积除以2就能得到圆锥体积，再判断说法是否正确。
3. 第(3)题，把圆柱削成最大圆锥，这个圆锥必然和圆柱等底等高，利用圆柱与圆锥的体积倍数关系，计算削去部分体积与圆锥体积的倍数关系即可。
4. 第(4)题，先根据底面半径的关系得出底面积的关系，再结合高相等，利用圆锥体积公式计算两者体积的倍数关系，进而判断说法。
【解析】
(1) 圆柱体积公式为$V_{柱}=Sh$，圆锥体积公式为$V_{锥}=\frac{1}{3}Sh$（其中$S$是底面积，$h$是高）。当圆锥和圆柱等底等高时，$V_{锥}=\frac{1}{3}V_{柱}$，所以该说法正确，画$\boldsymbol{\sqrt{}}$。
(2) 等底等高时，$V_{柱}=3V_{锥}$，圆柱比圆锥多的体积为$V_{柱}-V_{锥}=3V_{锥}-V_{锥}=2V_{锥}$。已知多30立方厘米，则$V_{锥}=30÷2=15$立方厘米，不是10立方厘米，所以该说法错误，画$\boldsymbol{×}$。
(3) 把圆柱削成最大的圆锥，圆锥与圆柱等底等高，即$V_{柱}=3V_{锥}$。削去部分体积$V_{削}=V_{柱}-V_{锥}=3V_{锥}-V_{锥}=2V_{锥}$，即削去部分的体积是圆锥体积的2倍，该说法正确，画$\boldsymbol{\sqrt{}}$。
(4) 设乙圆锥底面半径为$r$，则甲圆锥底面半径为$2r$，两者高均为$h$。
乙圆锥体积：$V_{乙}=\frac{1}{3}π r^{2}h$
甲圆锥体积：$V_{甲}=\frac{1}{3}π(2r)^{2}h=\frac{1}{3}π×4r^{2}h=4×\frac{1}{3}π r^{2}h=4V_{乙}$
所以甲圆锥体积是乙圆锥的4倍，不是2倍，该说法错误，画$\boldsymbol{×}$。
【答案】
(1)$\boldsymbol{\sqrt{}}$ (2)$\boldsymbol{×}$ (3)$\boldsymbol{\sqrt{}}$ (4)$\boldsymbol{×}$
【知识点】
圆柱圆锥体积关系，圆锥体积公式
【点评】
本题围绕圆柱和圆锥的体积关系展开考查，重点在于理解等底等高时两者的体积倍数关系，以及底面半径变化对体积的影响。解题时需准确运用体积公式，理清倍数逻辑，避免因概念混淆导致错误。
【难度系数】
0.6
我们可以根据圆柱和圆锥的体积公式及两者的关系来逐个判断：
1. 对于第(1)题，回忆圆柱和圆锥的体积公式，等底等高时，圆柱体积是底面积乘高，圆锥体积是三分之一底面积乘高，直接对比即可得出结论。
2. 第(2)题，等底等高的圆柱体积是圆锥的3倍，那么圆柱比圆锥多的体积是圆锥的2倍，用多的体积除以2就能得到圆锥体积，再判断说法是否正确。
3. 第(3)题，把圆柱削成最大圆锥，这个圆锥必然和圆柱等底等高，利用圆柱与圆锥的体积倍数关系，计算削去部分体积与圆锥体积的倍数关系即可。
4. 第(4)题，先根据底面半径的关系得出底面积的关系，再结合高相等，利用圆锥体积公式计算两者体积的倍数关系，进而判断说法。
【解析】
(1) 圆柱体积公式为$V_{柱}=Sh$，圆锥体积公式为$V_{锥}=\frac{1}{3}Sh$（其中$S$是底面积，$h$是高）。当圆锥和圆柱等底等高时，$V_{锥}=\frac{1}{3}V_{柱}$，所以该说法正确，画$\boldsymbol{\sqrt{}}$。
(2) 等底等高时，$V_{柱}=3V_{锥}$，圆柱比圆锥多的体积为$V_{柱}-V_{锥}=3V_{锥}-V_{锥}=2V_{锥}$。已知多30立方厘米，则$V_{锥}=30÷2=15$立方厘米，不是10立方厘米，所以该说法错误，画$\boldsymbol{×}$。
(3) 把圆柱削成最大的圆锥，圆锥与圆柱等底等高，即$V_{柱}=3V_{锥}$。削去部分体积$V_{削}=V_{柱}-V_{锥}=3V_{锥}-V_{锥}=2V_{锥}$，即削去部分的体积是圆锥体积的2倍，该说法正确，画$\boldsymbol{\sqrt{}}$。
(4) 设乙圆锥底面半径为$r$，则甲圆锥底面半径为$2r$，两者高均为$h$。
乙圆锥体积：$V_{乙}=\frac{1}{3}π r^{2}h$
甲圆锥体积：$V_{甲}=\frac{1}{3}π(2r)^{2}h=\frac{1}{3}π×4r^{2}h=4×\frac{1}{3}π r^{2}h=4V_{乙}$
所以甲圆锥体积是乙圆锥的4倍，不是2倍，该说法错误，画$\boldsymbol{×}$。
【答案】
(1)$\boldsymbol{\sqrt{}}$ (2)$\boldsymbol{×}$ (3)$\boldsymbol{\sqrt{}}$ (4)$\boldsymbol{×}$
【知识点】
圆柱圆锥体积关系，圆锥体积公式
【点评】
本题围绕圆柱和圆锥的体积关系展开考查，重点在于理解等底等高时两者的体积倍数关系，以及底面半径变化对体积的影响。解题时需准确运用体积公式，理清倍数逻辑，避免因概念混淆导致错误。
【难度系数】
0.6
2. 填表。
答案：2. 4，12.56，37.68；2.5，19.625，78.5；4，12.56，12.56；4，50.24，167.47
解析：
【分析】
要完成表格填写，需依次利用圆的半径与直径的关系、圆的面积公式、圆柱和圆锥的体积公式进行计算：
1. 先根据“直径=半径×2”或“半径=直径÷2”求出未知的底面半径或直径；
2. 再用圆的面积公式$S=π r^2$计算底面积；
3. 最后分别用圆柱体积公式$V=Sh$、圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}Sh$计算体积（其中$S$是底面积，$h$是高）。
【解析】
圆柱1：
底面直径：$2×2=4(\mathrm{cm})$
底面积：$3.14×2^2=3.14×4=12.56(\mathrm{cm}^2)$
体积：$12.56×3=37.68(\mathrm{cm}^3)$
圆柱2：
底面半径：$5÷2=2.5(\mathrm{cm})$
底面积：$3.14×2.5^2=3.14×6.25=19.625(\mathrm{cm}^2)$
体积：$19.625×4=78.5(\mathrm{cm}^3)$
圆锥1：
底面直径：$2×2=4(\mathrm{cm})$
底面积：$3.14×2^2=12.56(\mathrm{cm}^2)$
体积：$\frac{1}{3}×12.56×3=12.56(\mathrm{cm}^3)$
圆锥2：
底面半径：$8÷2=4(\mathrm{cm})$
底面积：$3.14×4^2=3.14×16=50.24(\mathrm{cm}^2)$
体积：$\frac{1}{3}×50.24×10\approx167.47(\mathrm{cm}^3)$
【答案】
4，12.56，37.68；2.5，19.625，78.5；4，12.56，12.56；4，50.24，167.47
【知识点】
圆柱体积计算，圆锥体积计算，圆的面积计算
【点评】
本题考查圆柱和圆锥的相关计算，关键是牢记圆的半径、直径、面积的关系，以及圆柱和圆锥的体积公式，注意圆锥体积是同底同高圆柱体积的$\frac{1}{3}$，计算时不要混淆公式。
【难度系数】
0.7
要完成表格填写，需依次利用圆的半径与直径的关系、圆的面积公式、圆柱和圆锥的体积公式进行计算：
1. 先根据“直径=半径×2”或“半径=直径÷2”求出未知的底面半径或直径；
2. 再用圆的面积公式$S=π r^2$计算底面积；
3. 最后分别用圆柱体积公式$V=Sh$、圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}Sh$计算体积（其中$S$是底面积，$h$是高）。
【解析】
圆柱1：
底面直径：$2×2=4(\mathrm{cm})$
底面积：$3.14×2^2=3.14×4=12.56(\mathrm{cm}^2)$
体积：$12.56×3=37.68(\mathrm{cm}^3)$
圆柱2：
底面半径：$5÷2=2.5(\mathrm{cm})$
底面积：$3.14×2.5^2=3.14×6.25=19.625(\mathrm{cm}^2)$
体积：$19.625×4=78.5(\mathrm{cm}^3)$
圆锥1：
底面直径：$2×2=4(\mathrm{cm})$
底面积：$3.14×2^2=12.56(\mathrm{cm}^2)$
体积：$\frac{1}{3}×12.56×3=12.56(\mathrm{cm}^3)$
圆锥2：
底面半径：$8÷2=4(\mathrm{cm})$
底面积：$3.14×4^2=3.14×16=50.24(\mathrm{cm}^2)$
体积：$\frac{1}{3}×50.24×10\approx167.47(\mathrm{cm}^3)$
【答案】
4，12.56，37.68；2.5，19.625，78.5；4，12.56，12.56；4，50.24，167.47
【知识点】
圆柱体积计算，圆锥体积计算，圆的面积计算
【点评】
本题考查圆柱和圆锥的相关计算，关键是牢记圆的半径、直径、面积的关系，以及圆柱和圆锥的体积公式，注意圆锥体积是同底同高圆柱体积的$\frac{1}{3}$，计算时不要混淆公式。
【难度系数】
0.7
3. 沿着一个圆锥形稻谷堆的外边缘走一圈,要走18.84米。如果这个圆锥形稻谷堆的高是1.8米,它的体积是多少立方米?
答案：3. 16.956立方米
解析：
【分析】
要计算圆锥形稻谷堆的体积，首先回忆圆锥体积公式：$V=\frac{1}{3}π r^2h$，其中$r$是底面半径，$h$是高。题目已知圆锥的高，还需要求出底面半径。题目中“沿着外边缘走一圈要走18.84米”，这其实是圆锥底面圆的周长，根据圆的周长公式$C=2π r$，可以先算出底面半径，再代入圆锥体积公式计算即可。
【解析】
1. 求圆锥底面半径：
已知底面周长$C=18.84$米，根据圆的周长公式$C=2π r$（$π$取3.14），可得：
$r = C÷(2π) = 18.84÷(2×3.14) = 3$（米）
2. 求圆锥底面积：
根据圆的面积公式$S=π r^2$，可得：
$S = 3.14×3^2 = 28.26$（平方米）
3. 求圆锥体积：
根据圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}Sh$，已知高$h=1.8$米，代入得：
$V = \frac{1}{3}×28.26×1.8 = 16.956$（立方米）
【答案】
16.956立方米
【知识点】
圆锥体积计算、圆的周长与面积计算
【点评】
本题属于基础几何题，核心是利用圆的周长公式求出底面半径，再结合圆锥体积公式求解。解题关键在于理解“沿外边缘走一圈”的长度就是底面圆的周长，熟练掌握圆的相关公式和圆锥体积公式是解题的前提。
【难度系数】
0.7
要计算圆锥形稻谷堆的体积，首先回忆圆锥体积公式：$V=\frac{1}{3}π r^2h$，其中$r$是底面半径，$h$是高。题目已知圆锥的高，还需要求出底面半径。题目中“沿着外边缘走一圈要走18.84米”，这其实是圆锥底面圆的周长，根据圆的周长公式$C=2π r$，可以先算出底面半径，再代入圆锥体积公式计算即可。
【解析】
1. 求圆锥底面半径：
已知底面周长$C=18.84$米，根据圆的周长公式$C=2π r$（$π$取3.14），可得：
$r = C÷(2π) = 18.84÷(2×3.14) = 3$（米）
2. 求圆锥底面积：
根据圆的面积公式$S=π r^2$，可得：
$S = 3.14×3^2 = 28.26$（平方米）
3. 求圆锥体积：
根据圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}Sh$，已知高$h=1.8$米，代入得：
$V = \frac{1}{3}×28.26×1.8 = 16.956$（立方米）
【答案】
16.956立方米
【知识点】
圆锥体积计算、圆的周长与面积计算
【点评】
本题属于基础几何题，核心是利用圆的周长公式求出底面半径，再结合圆锥体积公式求解。解题关键在于理解“沿外边缘走一圈”的长度就是底面圆的周长，熟练掌握圆的相关公式和圆锥体积公式是解题的前提。
【难度系数】
0.7
4. 有一个圆锥形容器,底面直径是4厘米,高是12厘米。把这个容器装满水,然后倒入底面半径是2厘米的圆柱形容器(水未溢出),圆柱形容器中水面高度是多少厘米?
答案：4. 4厘米
解析：
【分析】
要解决这个问题，关键是抓住“水的体积不变”这一核心。首先需要计算出圆锥形容器的容积（即水的体积），再利用圆柱体积公式，用水的体积除以圆柱形容器的底面积，就能得到圆柱形容器中水面的高度。具体思考步骤：①先根据圆锥底面直径求出底面半径；②代入圆锥体积公式算出水的体积；③计算圆柱形容器的底面积；④用水的体积除以圆柱底面积得到水面高度。
【解析】
1. 计算圆锥形容器的底面半径：
$ r_{锥} = 4÷2 = 2 $（厘米）
2. 计算圆锥形容器的容积（水的体积）：
根据圆锥体积公式$ V_{锥} = \frac{1}{3}π r^2 h $，代入数据得：
$ V_{水} = \frac{1}{3} × π × 2^2 × 12 = \frac{1}{3} × π × 4 × 12 = 16π $（立方厘米）
3. 计算圆柱形容器的底面积：
根据圆的面积公式$ S = π R^2 $，代入圆柱底面半径$ R=2 $厘米得：
$ S_{柱} = π × 2^2 = 4π $（平方厘米）
4. 计算圆柱形容器中水面的高度：
因为圆柱中水的体积等于圆锥中水的体积，根据圆柱体积公式$ V_{柱}=S_{柱}h_{柱} $，可得：
$ h_{柱} = V_{水} ÷ S_{柱} = 16π ÷ 4π = 4 $（厘米）
【答案】
4厘米
【知识点】
圆锥体积公式、圆柱体积公式、等积变形
【点评】
本题主要考查圆锥与圆柱体积公式的实际应用，核心是利用“水的体积不变”的等积变形思想。解题时需注意圆锥体积公式中的$\frac{1}{3}$不要遗漏，同时要准确计算底面半径，避免因细节失误导致结果错误。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，关键是抓住“水的体积不变”这一核心。首先需要计算出圆锥形容器的容积（即水的体积），再利用圆柱体积公式，用水的体积除以圆柱形容器的底面积，就能得到圆柱形容器中水面的高度。具体思考步骤：①先根据圆锥底面直径求出底面半径；②代入圆锥体积公式算出水的体积；③计算圆柱形容器的底面积；④用水的体积除以圆柱底面积得到水面高度。
【解析】
1. 计算圆锥形容器的底面半径：
$ r_{锥} = 4÷2 = 2 $（厘米）
2. 计算圆锥形容器的容积（水的体积）：
根据圆锥体积公式$ V_{锥} = \frac{1}{3}π r^2 h $，代入数据得：
$ V_{水} = \frac{1}{3} × π × 2^2 × 12 = \frac{1}{3} × π × 4 × 12 = 16π $（立方厘米）
3. 计算圆柱形容器的底面积：
根据圆的面积公式$ S = π R^2 $，代入圆柱底面半径$ R=2 $厘米得：
$ S_{柱} = π × 2^2 = 4π $（平方厘米）
4. 计算圆柱形容器中水面的高度：
因为圆柱中水的体积等于圆锥中水的体积，根据圆柱体积公式$ V_{柱}=S_{柱}h_{柱} $，可得：
$ h_{柱} = V_{水} ÷ S_{柱} = 16π ÷ 4π = 4 $（厘米）
【答案】
4厘米
【知识点】
圆锥体积公式、圆柱体积公式、等积变形
【点评】
本题主要考查圆锥与圆柱体积公式的实际应用，核心是利用“水的体积不变”的等积变形思想。解题时需注意圆锥体积公式中的$\frac{1}{3}$不要遗漏，同时要准确计算底面半径，避免因细节失误导致结果错误。
【难度系数】
0.7
5. 有一块直角三角形硬纸板(如右图),分别绕它的两条直角边旋转一周,可以形成两个大小不同的圆锥。较大的圆锥体积是多少立方厘米?
答案：5. 78.5立方厘米
解析：
【分析】
首先明确：直角三角形绕一条直角边旋转一周会形成圆锥，这条直角边是圆锥的高，另一条直角边是圆锥的底面半径。我们需要分两种情况计算圆锥体积，再比较大小得出较大的体积。解题思路为：先确定两种旋转方式下圆锥的底面半径和高，再代入圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}π r^2h$分别计算体积，最后比较两个体积的大小，取较大值。
【解析】
情况1：绕长度为3cm的直角边旋转
此时圆锥的高$h=3\mathrm{cm}$，底面半径$r=5\mathrm{cm}$，代入体积公式：
$\begin{aligned}V_1&=\frac{1}{3}×3.14×5^2×3\\&=\frac{1}{3}×3.14×25×3\\&=78.5\mathrm{立方厘米}\end{aligned}$
情况2：绕长度为5cm的直角边旋转
此时圆锥的高$h=5\mathrm{cm}$，底面半径$r=3\mathrm{cm}$，代入体积公式：
$\begin{aligned}V_2&=\frac{1}{3}×3.14×3^2×5\\&=\frac{1}{3}×3.14×9×5\\&=47.1\mathrm{立方厘米}\end{aligned}$
比较两个体积：$78.5＞47.1$，所以较大的圆锥体积是78.5立方厘米。
【答案】
78.5立方厘米
【知识点】
圆锥体积计算，旋转体的形成
【点评】
本题考查圆锥体积的实际应用，核心是理解直角三角形旋转成圆锥的几何特征，准确区分不同旋转方式下圆锥的底面半径和高，再利用体积公式计算并比较大小，计算时注意细心运算，避免出错。
【难度系数】
0.6
首先明确：直角三角形绕一条直角边旋转一周会形成圆锥，这条直角边是圆锥的高，另一条直角边是圆锥的底面半径。我们需要分两种情况计算圆锥体积，再比较大小得出较大的体积。解题思路为：先确定两种旋转方式下圆锥的底面半径和高，再代入圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}π r^2h$分别计算体积，最后比较两个体积的大小，取较大值。
【解析】
情况1：绕长度为3cm的直角边旋转
此时圆锥的高$h=3\mathrm{cm}$，底面半径$r=5\mathrm{cm}$，代入体积公式：
$\begin{aligned}V_1&=\frac{1}{3}×3.14×5^2×3\\&=\frac{1}{3}×3.14×25×3\\&=78.5\mathrm{立方厘米}\end{aligned}$
情况2：绕长度为5cm的直角边旋转
此时圆锥的高$h=5\mathrm{cm}$，底面半径$r=3\mathrm{cm}$，代入体积公式：
$\begin{aligned}V_2&=\frac{1}{3}×3.14×3^2×5\\&=\frac{1}{3}×3.14×9×5\\&=47.1\mathrm{立方厘米}\end{aligned}$
比较两个体积：$78.5＞47.1$，所以较大的圆锥体积是78.5立方厘米。
【答案】
78.5立方厘米
【知识点】
圆锥体积计算，旋转体的形成
【点评】
本题考查圆锥体积的实际应用，核心是理解直角三角形旋转成圆锥的几何特征，准确区分不同旋转方式下圆锥的底面半径和高，再利用体积公式计算并比较大小，计算时注意细心运算，避免出错。
【难度系数】
0.6