1. 商店销售一种书包的情况如下表。
(1)把上面的表格填写完整。
(2)写出几组相对应的总价和数量的比，并比较比值的大小。
(3)这个比值表示的意义是什么？用式子表示它与总价和数量之间的关系。
(4)这种书包的总价和数量成正比例吗？
(1)把上面的表格填写完整。
(2)写出几组相对应的总价和数量的比，并比较比值的大小。
(3)这个比值表示的意义是什么？用式子表示它与总价和数量之间的关系。
(4)这种书包的总价和数量成正比例吗？
答案：1. (1)234，312，390
(2)78∶1＝78，156∶2＝78，234∶3＝78，312∶4＝78，390∶5＝78，比值相等
(3)这个比值表示的意义是这种书包的单价是 78 元；表示它与总价和数量之间关系的式子是$\boldsymbol{\frac{总价}{数量}=单价(一定)}$
(4)书包的总价和数量成正比例，因为它们是两个相关联的量，而且比值一定
(2)78∶1＝78，156∶2＝78，234∶3＝78，312∶4＝78，390∶5＝78，比值相等
(3)这个比值表示的意义是这种书包的单价是 78 元；表示它与总价和数量之间关系的式子是$\boldsymbol{\frac{总价}{数量}=单价(一定)}$
(4)书包的总价和数量成正比例，因为它们是两个相关联的量，而且比值一定
解析：
【分析】
首先观察表格数据，数量为1个时总价78元，数量为2个时总价156元，可先确定书包的单价为78元/个。
对于第(1)问，根据“总价=数量×单价”，用对应数量乘单价即可算出3、4、5个书包的总价，完成表格填写。
第(2)问，根据表格中对应的总价与数量写出比，再计算比值，对比所有比值的大小。
第(3)问，结合单价、总价、数量的关系，可知总价与数量的比值为单价，进而明确比值意义并写出关系式。
第(4)问，依据正比例的定义：两种相关联的量，一种量变化另一种量也随之变化，且相对应两个数的比值一定，就成正比例，结合前面得出的比值恒定的结论进行判断。
【解析】
(1) 计算3个书包的总价：$3×78=234$（元）
计算4个书包的总价：$4×78=312$（元）
计算5个书包的总价：$5×78=390$（元）
因此表格中依次填入234、312、390。
(2) 写出对应总价和数量的比并计算比值：
$78:1=78$，$156:2=78$，$234:3=78$，$312:4=78$，$390:5=78$
经计算可得这些比值相等。
(3) 由总价与数量的关系可知，这个比值表示这种书包的单价是78元；
它与总价和数量之间关系的式子为：$\boldsymbol{\frac{总价}{数量}=单价(一定)}$
(4) 书包的总价和数量是相关联的量，数量变化时总价也随之变化，且它们相对应的比值即单价始终一定，符合正比例的定义，所以这种书包的总价和数量成正比例。
【答案】
(1)234，312，390
(2)$78:1=78$，$156:2=78$，$234:3=78$，$312:4=78$，$390:5=78$，比值相等
(3)这个比值表示的意义是这种书包的单价是78元；表示它与总价和数量之间关系的式子是$\boldsymbol{\frac{总价}{数量}=单价(一定)}$
(4)书包的总价和数量成正比例，因为它们是两个相关联的量，而且比值一定
【知识点】
正比例的意义；单价、数量与总价的关系
【点评】
本题考查正比例概念及单价、数量、总价的关系，要求学生理解相关定义，能通过计算分析判断两种量的比例关系，掌握基础数量关系的应用。
【难度系数】
0.9
首先观察表格数据，数量为1个时总价78元，数量为2个时总价156元，可先确定书包的单价为78元/个。
对于第(1)问，根据“总价=数量×单价”，用对应数量乘单价即可算出3、4、5个书包的总价，完成表格填写。
第(2)问，根据表格中对应的总价与数量写出比，再计算比值，对比所有比值的大小。
第(3)问，结合单价、总价、数量的关系，可知总价与数量的比值为单价，进而明确比值意义并写出关系式。
第(4)问，依据正比例的定义：两种相关联的量，一种量变化另一种量也随之变化，且相对应两个数的比值一定，就成正比例，结合前面得出的比值恒定的结论进行判断。
【解析】
(1) 计算3个书包的总价：$3×78=234$（元）
计算4个书包的总价：$4×78=312$（元）
计算5个书包的总价：$5×78=390$（元）
因此表格中依次填入234、312、390。
(2) 写出对应总价和数量的比并计算比值：
$78:1=78$，$156:2=78$，$234:3=78$，$312:4=78$，$390:5=78$
经计算可得这些比值相等。
(3) 由总价与数量的关系可知，这个比值表示这种书包的单价是78元；
它与总价和数量之间关系的式子为：$\boldsymbol{\frac{总价}{数量}=单价(一定)}$
(4) 书包的总价和数量是相关联的量，数量变化时总价也随之变化，且它们相对应的比值即单价始终一定，符合正比例的定义，所以这种书包的总价和数量成正比例。
【答案】
(1)234，312，390
(2)$78:1=78$，$156:2=78$，$234:3=78$，$312:4=78$，$390:5=78$，比值相等
(3)这个比值表示的意义是这种书包的单价是78元；表示它与总价和数量之间关系的式子是$\boldsymbol{\frac{总价}{数量}=单价(一定)}$
(4)书包的总价和数量成正比例，因为它们是两个相关联的量，而且比值一定
【知识点】
正比例的意义；单价、数量与总价的关系
【点评】
本题考查正比例概念及单价、数量、总价的关系，要求学生理解相关定义，能通过计算分析判断两种量的比例关系，掌握基础数量关系的应用。
【难度系数】
0.9
2. 先把下表填写完整，再回答:圆的周长和半径成正比例吗？圆的面积和半径成正比例吗？
答案：2. 12.56，25.12，37.68，50.24；12.56，50.24，113.04，200.96。圆的周长和半径成正比例，因为它们是两个相关联的量，而且比值一定；圆的面积和半径不成正比例，因为它们的比值不一定。
解析：
【分析】
首先，我们需要回忆圆的周长和面积计算公式，利用公式分别代入不同的半径值，计算出对应的周长和面积；接着根据正比例的定义（两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量），分别判断圆的周长与半径、圆的面积与半径是否满足正比例的条件。
第一步，先计算周长：根据圆的周长公式$C=2π r$（$π$取3.14），将半径2、4、6、8依次代入计算；第二步，计算面积：根据圆的面积公式$S=π r^2$（$π$取3.14），代入半径计算；第三步，判断正比例：分别计算周长与半径的比值、面积与半径的比值，看比值是否恒定。
【解析】
1. 计算圆的周长：
根据圆的周长公式$ C = 2π r $（$π$取3.14）：
当$ r=2\mathrm{cm} $时，$ C=2×3.14×2=12.56\mathrm{cm} $；
当$ r=4\mathrm{cm} $时，$ C=2×3.14×4=25.12\mathrm{cm} $；
当$ r=6\mathrm{cm} $时，$ C=2×3.14×6=37.68\mathrm{cm} $；
当$ r=8\mathrm{cm} $时，$ C=2×3.14×8=50.24\mathrm{cm} $。
2. 计算圆的面积：
根据圆的面积公式$ S = π r^2 $（$π$取3.14）：
当$ r=2\mathrm{cm} $时，$ S=3.14×2^2=12.56\mathrm{cm}^2 $；
当$ r=4\mathrm{cm} $时，$ S=3.14×4^2=50.24\mathrm{cm}^2 $；
当$ r=6\mathrm{cm} $时，$ S=3.14×6^2=113.04\mathrm{cm}^2 $；
当$ r=8\mathrm{cm} $时，$ S=3.14×8^2=200.96\mathrm{cm}^2 $。
3. 判断正比例：
圆的周长和半径：$\frac{C}{r}=2π$（定值），二者是相关联的量，半径变化，周长也随之变化，且比值恒定，所以圆的周长和半径成正比例。
圆的面积和半径：$\frac{S}{r}=π r$，半径$r$变化时，$π r$的结果也变化，比值不恒定，所以圆的面积和半径不成正比例。
【答案】
圆的周长依次为：12.56，25.12，37.68，50.24；
圆的面积依次为：12.56，50.24，113.04，200.96。
圆的周长和半径成正比例，因为它们是两个相关联的量，而且比值一定；圆的面积和半径不成正比例，因为它们的比值不一定。
【知识点】
圆的周长公式、圆的面积公式、正比例的判断
【点评】
本题考查圆的周长、面积公式的应用以及正比例的判断，需要熟练掌握公式，准确理解正比例的定义，区分两种量之间的关系，避免混淆周长、面积与半径的关联特性。
【难度系数】
0.8
首先，我们需要回忆圆的周长和面积计算公式，利用公式分别代入不同的半径值，计算出对应的周长和面积；接着根据正比例的定义（两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量），分别判断圆的周长与半径、圆的面积与半径是否满足正比例的条件。
第一步，先计算周长：根据圆的周长公式$C=2π r$（$π$取3.14），将半径2、4、6、8依次代入计算；第二步，计算面积：根据圆的面积公式$S=π r^2$（$π$取3.14），代入半径计算；第三步，判断正比例：分别计算周长与半径的比值、面积与半径的比值，看比值是否恒定。
【解析】
1. 计算圆的周长：
根据圆的周长公式$ C = 2π r $（$π$取3.14）：
当$ r=2\mathrm{cm} $时，$ C=2×3.14×2=12.56\mathrm{cm} $；
当$ r=4\mathrm{cm} $时，$ C=2×3.14×4=25.12\mathrm{cm} $；
当$ r=6\mathrm{cm} $时，$ C=2×3.14×6=37.68\mathrm{cm} $；
当$ r=8\mathrm{cm} $时，$ C=2×3.14×8=50.24\mathrm{cm} $。
2. 计算圆的面积：
根据圆的面积公式$ S = π r^2 $（$π$取3.14）：
当$ r=2\mathrm{cm} $时，$ S=3.14×2^2=12.56\mathrm{cm}^2 $；
当$ r=4\mathrm{cm} $时，$ S=3.14×4^2=50.24\mathrm{cm}^2 $；
当$ r=6\mathrm{cm} $时，$ S=3.14×6^2=113.04\mathrm{cm}^2 $；
当$ r=8\mathrm{cm} $时，$ S=3.14×8^2=200.96\mathrm{cm}^2 $。
3. 判断正比例：
圆的周长和半径：$\frac{C}{r}=2π$（定值），二者是相关联的量，半径变化，周长也随之变化，且比值恒定，所以圆的周长和半径成正比例。
圆的面积和半径：$\frac{S}{r}=π r$，半径$r$变化时，$π r$的结果也变化，比值不恒定，所以圆的面积和半径不成正比例。
【答案】
圆的周长依次为：12.56，25.12，37.68，50.24；
圆的面积依次为：12.56，50.24，113.04，200.96。
圆的周长和半径成正比例，因为它们是两个相关联的量，而且比值一定；圆的面积和半径不成正比例，因为它们的比值不一定。
【知识点】
圆的周长公式、圆的面积公式、正比例的判断
【点评】
本题考查圆的周长、面积公式的应用以及正比例的判断，需要熟练掌握公式，准确理解正比例的定义，区分两种量之间的关系，避免混淆周长、面积与半径的关联特性。
【难度系数】
0.8
3. 两辆汽车上午8时从A城出发，开往B城。
(1)甲汽车的行驶情况如下表：
8时到11时，甲汽车行驶的时间和路程成正比例吗？为什么？
(2)乙汽车的行驶情况如下表：
8时到11时，乙汽车行驶的时间和路程成正比例吗？为什么？
(1)甲汽车的行驶情况如下表：
8时到11时，甲汽车行驶的时间和路程成正比例吗？为什么？
(2)乙汽车的行驶情况如下表：
8时到11时，乙汽车行驶的时间和路程成正比例吗？为什么？
答案：3. (1)1∶90＝2∶180＝3∶270 行驶的时间和路程成正比例，因为它们是两个相关联的量，而且比值一定
(2)不成正比例，因为它们的比值不一定
(2)不成正比例，因为它们的比值不一定
解析：
【分析】
要判断两种量是否成正比例，需依据正比例的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随之变化，且它们的比值（商）始终一定，则这两种量成正比例。
对于(1)甲汽车，先观察时间和路程的变化关系：时间增加，路程也随之增加，二者是相关联的量；再计算不同时间段内路程与时间的比值，看是否恒定。
对于(2)乙汽车，同样先确认时间和路程是相关联的量，再计算各组路程与时间的比值，若比值不恒定，则不成正比例。
【解析】
(1) 计算甲汽车路程与时间的比值：
90÷1=90，180÷2=90，270÷3=90，即1∶90＝2∶180＝3∶270，比值始终为90（速度一定）。
因为甲汽车行驶的时间和路程是两个相关联的量，且路程与时间的比值（速度）一定，所以二者成正比例。
(2) 观察乙汽车的路程与时间，计算各组比值可知，不同时间段内路程与时间的比值不相等，不满足比值一定的条件，所以乙汽车行驶的时间和路程不成正比例。
【答案】
(1)1∶90＝2∶180＝3∶270 行驶的时间和路程成正比例，因为它们是两个相关联的量，而且比值一定
(2)不成正比例，因为它们的比值不一定
【知识点】
正比例的判定、相关联的量
【点评】
本题重点考查正比例的核心判定标准，通过具体的行程问题，让学生运用“比值是否一定”这一关键条件判断两种量的比例关系，帮助学生深化对正比例概念的理解，提升应用概念解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
要判断两种量是否成正比例，需依据正比例的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随之变化，且它们的比值（商）始终一定，则这两种量成正比例。
对于(1)甲汽车，先观察时间和路程的变化关系：时间增加，路程也随之增加，二者是相关联的量；再计算不同时间段内路程与时间的比值，看是否恒定。
对于(2)乙汽车，同样先确认时间和路程是相关联的量，再计算各组路程与时间的比值，若比值不恒定，则不成正比例。
【解析】
(1) 计算甲汽车路程与时间的比值：
90÷1=90，180÷2=90，270÷3=90，即1∶90＝2∶180＝3∶270，比值始终为90（速度一定）。
因为甲汽车行驶的时间和路程是两个相关联的量，且路程与时间的比值（速度）一定，所以二者成正比例。
(2) 观察乙汽车的路程与时间，计算各组比值可知，不同时间段内路程与时间的比值不相等，不满足比值一定的条件，所以乙汽车行驶的时间和路程不成正比例。
【答案】
(1)1∶90＝2∶180＝3∶270 行驶的时间和路程成正比例，因为它们是两个相关联的量，而且比值一定
(2)不成正比例，因为它们的比值不一定
【知识点】
正比例的判定、相关联的量
【点评】
本题重点考查正比例的核心判定标准，通过具体的行程问题，让学生运用“比值是否一定”这一关键条件判断两种量的比例关系，帮助学生深化对正比例概念的理解，提升应用概念解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7