3. 下面的图像表示学校平面图的图上距离和实际距离的关系。
(1) 根据图像把表格填写完整,再判断图上距离和实际距离是否成正比例关系。
(2) 这幅学校平面图的比例尺是多少?
(3) 根据图像判断,如果学校到体育馆的图上距离是9厘米,它们之间的实际距离是多少米? 如果图书馆到少年宫的实际距离是70米,在图上应画多少厘米?
第四部分
(1) 根据图像把表格填写完整,再判断图上距离和实际距离是否成正比例关系。
(2) 这幅学校平面图的比例尺是多少?
(3) 根据图像判断,如果学校到体育馆的图上距离是9厘米,它们之间的实际距离是多少米? 如果图书馆到少年宫的实际距离是70米,在图上应画多少厘米?
第四部分
答案：3. (1)40，60，80，图上距离和实际距离成正比例，因为它们是两个相关联的量，而且比值一定 (2)$1:1000$ (3)90米，7厘米
解析：
【分析】
1. 第(1)问：先观察图像找出图上距离和实际距离的对应规律，即图上1厘米对应实际10米，据此计算表格缺失的实际距离；再根据正比例的定义，判断两种量是否相关联且比值一定，进而确定是否成正比例。
2. 第(2)问：根据比例尺的定义“比例尺=图上距离:实际距离”，先统一单位，将实际距离的单位转化为厘米，再化简得到最简比。
3. 第(3)问：已知图上距离求实际距离，可利用图上距离与实际距离的对应倍数关系计算；已知实际距离求图上距离，用实际距离除以该对应倍数即可。
【解析】
(1) 由图像可知图上1厘米对应实际10米，因此：
当图上距离为4厘米时，实际距离 = 4×10 = 40米；
当图上距离为6厘米时，实际距离 = 6×10 = 60米；
当图上距离为8厘米时，实际距离 = 8×10 = 80米；
判断正比例：图上距离和实际距离是相关联的量，且实际距离÷图上距离=10米/厘米（比值一定），所以二者成正比例关系。
(2) 因为10米=1000厘米，所以比例尺 = 图上距离:实际距离 = 1厘米:1000厘米 = $1:1000$。
(3) ① 当图上距离是9厘米时，实际距离 = 9×10 = 90米；
② 当实际距离是70米时，图上距离 = 70÷10 = 7厘米。
【答案】
(1)40，60，80，图上距离和实际距离成正比例，因为它们是两个相关联的量，而且比值一定
(2)$1:1000$
(3)90米，7厘米
【知识点】
正比例的判断、比例尺的计算、比例尺的应用
【点评】
本题考查正比例意义和比例尺的综合应用，解题核心是掌握正比例的判断条件，熟悉比例尺的定义及单位转换，通过图像的对应关系快速计算相关量，提升对比例知识的应用能力。
【难度系数】
0.7
1. 第(1)问：先观察图像找出图上距离和实际距离的对应规律，即图上1厘米对应实际10米，据此计算表格缺失的实际距离；再根据正比例的定义，判断两种量是否相关联且比值一定，进而确定是否成正比例。
2. 第(2)问：根据比例尺的定义“比例尺=图上距离:实际距离”，先统一单位，将实际距离的单位转化为厘米，再化简得到最简比。
3. 第(3)问：已知图上距离求实际距离，可利用图上距离与实际距离的对应倍数关系计算；已知实际距离求图上距离，用实际距离除以该对应倍数即可。
【解析】
(1) 由图像可知图上1厘米对应实际10米，因此：
当图上距离为4厘米时，实际距离 = 4×10 = 40米；
当图上距离为6厘米时，实际距离 = 6×10 = 60米；
当图上距离为8厘米时，实际距离 = 8×10 = 80米；
判断正比例：图上距离和实际距离是相关联的量，且实际距离÷图上距离=10米/厘米（比值一定），所以二者成正比例关系。
(2) 因为10米=1000厘米，所以比例尺 = 图上距离:实际距离 = 1厘米:1000厘米 = $1:1000$。
(3) ① 当图上距离是9厘米时，实际距离 = 9×10 = 90米；
② 当实际距离是70米时，图上距离 = 70÷10 = 7厘米。
【答案】
(1)40，60，80，图上距离和实际距离成正比例，因为它们是两个相关联的量，而且比值一定
(2)$1:1000$
(3)90米，7厘米
【知识点】
正比例的判断、比例尺的计算、比例尺的应用
【点评】
本题考查正比例意义和比例尺的综合应用，解题核心是掌握正比例的判断条件，熟悉比例尺的定义及单位转换，通过图像的对应关系快速计算相关量，提升对比例知识的应用能力。
【难度系数】
0.7
做一做
(1) 找一个圆柱形水杯,测量相关数据,计算出它的底面积。
(2) 再找一个250毫升的量杯,并装满水。每次从量杯中倒50毫升水到水杯中,测量并记录水面高度,填在下表中。
(3) 水杯中水的体积和水面高度成正比例吗?为什么?
(1) 找一个圆柱形水杯,测量相关数据,计算出它的底面积。
(2) 再找一个250毫升的量杯,并装满水。每次从量杯中倒50毫升水到水杯中,测量并记录水面高度,填在下表中。
(3) 水杯中水的体积和水面高度成正比例吗?为什么?
答案：(1)
测量得圆柱形水杯底面直径为8cm
$8÷2=4(\mathrm{cm})$
$3.14×4^2=50.24(\mathrm{cm}^2)$
答：水杯的底面积是$50.24\mathrm{cm}^2$。
(2)
$50÷50.24≈1.0(\mathrm{cm})$
$100÷50.24≈2.0(\mathrm{cm})$
$150÷50.24≈3.0(\mathrm{cm})$
$200÷50.24≈4.0(\mathrm{cm})$
$250÷50.24≈5.0(\mathrm{cm})$
填表：$\boldsymbol{1.0}$；$\boldsymbol{2.0}$；$\boldsymbol{3.0}$；$\boldsymbol{4.0}$；$\boldsymbol{5.0}$
(3)
$\frac{50}{1.0}=50.24$，$\frac{100}{2.0}=50.24$，$\frac{150}{3.0}=50.24$，$\frac{200}{4.0}=50.24$，$\frac{250}{5.0}=50.24$
答：水杯中水的体积和水面高度成正比例，因为水的体积与水面高度的比值（水杯底面积）是一定的。
测量得圆柱形水杯底面直径为8cm
$8÷2=4(\mathrm{cm})$
$3.14×4^2=50.24(\mathrm{cm}^2)$
答：水杯的底面积是$50.24\mathrm{cm}^2$。
(2)
$50÷50.24≈1.0(\mathrm{cm})$
$100÷50.24≈2.0(\mathrm{cm})$
$150÷50.24≈3.0(\mathrm{cm})$
$200÷50.24≈4.0(\mathrm{cm})$
$250÷50.24≈5.0(\mathrm{cm})$
填表：$\boldsymbol{1.0}$；$\boldsymbol{2.0}$；$\boldsymbol{3.0}$；$\boldsymbol{4.0}$；$\boldsymbol{5.0}$
(3)
$\frac{50}{1.0}=50.24$，$\frac{100}{2.0}=50.24$，$\frac{150}{3.0}=50.24$，$\frac{200}{4.0}=50.24$，$\frac{250}{5.0}=50.24$
答：水杯中水的体积和水面高度成正比例，因为水的体积与水面高度的比值（水杯底面积）是一定的。
解析：
【分析】
1. 计算水杯底面积：圆柱底面积是圆形，需先测量水杯底面直径（或半径），利用圆的面积公式$S=π r^2$计算，先由直径求出半径，再代入公式计算。
2. 计算水面高度：根据圆柱体积公式$V=Sh$，变形可得$h=V÷S$，用每次倒入水的体积除以已算出的底面积，即可得到对应水面高度。
3. 判断正比例：依据正比例定义，两种相关联的量，若比值恒定则成正比例，因此计算水的体积与对应水面高度的比值，判断是否为定值即可。
【解析】
(1) 测量得圆柱形水杯底面直径为8cm。
① 计算底面半径：
$8÷2=4(\mathrm{cm})$
② 计算底面积：
$3.14×4^2=3.14×16=50.24(\mathrm{cm}^2)$
答：水杯的底面积是$50.24\mathrm{cm}^2$。
(2) 根据$h=V÷S$，分别计算各体积对应的水面高度：
$50÷50.24≈1.0(\mathrm{cm})$
$100÷50.24≈2.0(\mathrm{cm})$
$150÷50.24≈3.0(\mathrm{cm})$
$200÷50.24≈4.0(\mathrm{cm})$
$250÷50.24≈5.0(\mathrm{cm})$
填表：$\boldsymbol{1.0}$；$\boldsymbol{2.0}$；$\boldsymbol{3.0}$；$\boldsymbol{4.0}$；$\boldsymbol{5.0}$
(3) 计算水的体积与水面高度的比值：
$\frac{50}{1.0}=50.24$，$\frac{100}{2.0}=50.24$，$\frac{150}{3.0}=50.24$，$\frac{200}{4.0}=50.24$，$\frac{250}{5.0}=50.24$
可知水的体积与水面高度的比值为定值（水杯底面积）。
答：水杯中水的体积和水面高度成正比例，因为水的体积与水面高度的比值（水杯底面积）是一定的。
【答案】
(1) 水杯的底面积是$50.24\mathrm{cm}^2$。
(2) $\boldsymbol{1.0}$；$\boldsymbol{2.0}$；$\boldsymbol{3.0}$；$\boldsymbol{4.0}$；$\boldsymbol{5.0}$
(3) 成正比例，因为水的体积与水面高度的比值（水杯底面积）是一定的。
【知识点】
圆柱底面积计算、圆柱体积公式、正比例的判断
【点评】
本题结合动手测量与数学计算，综合考查了圆柱相关公式的应用和正比例的判断方法，既锻炼了动手实践能力，又巩固了对数学概念的理解与运用。
【难度系数】
0.6
1. 计算水杯底面积：圆柱底面积是圆形，需先测量水杯底面直径（或半径），利用圆的面积公式$S=π r^2$计算，先由直径求出半径，再代入公式计算。
2. 计算水面高度：根据圆柱体积公式$V=Sh$，变形可得$h=V÷S$，用每次倒入水的体积除以已算出的底面积，即可得到对应水面高度。
3. 判断正比例：依据正比例定义，两种相关联的量，若比值恒定则成正比例，因此计算水的体积与对应水面高度的比值，判断是否为定值即可。
【解析】
(1) 测量得圆柱形水杯底面直径为8cm。
① 计算底面半径：
$8÷2=4(\mathrm{cm})$
② 计算底面积：
$3.14×4^2=3.14×16=50.24(\mathrm{cm}^2)$
答：水杯的底面积是$50.24\mathrm{cm}^2$。
(2) 根据$h=V÷S$，分别计算各体积对应的水面高度：
$50÷50.24≈1.0(\mathrm{cm})$
$100÷50.24≈2.0(\mathrm{cm})$
$150÷50.24≈3.0(\mathrm{cm})$
$200÷50.24≈4.0(\mathrm{cm})$
$250÷50.24≈5.0(\mathrm{cm})$
填表：$\boldsymbol{1.0}$；$\boldsymbol{2.0}$；$\boldsymbol{3.0}$；$\boldsymbol{4.0}$；$\boldsymbol{5.0}$
(3) 计算水的体积与水面高度的比值：
$\frac{50}{1.0}=50.24$，$\frac{100}{2.0}=50.24$，$\frac{150}{3.0}=50.24$，$\frac{200}{4.0}=50.24$，$\frac{250}{5.0}=50.24$
可知水的体积与水面高度的比值为定值（水杯底面积）。
答：水杯中水的体积和水面高度成正比例，因为水的体积与水面高度的比值（水杯底面积）是一定的。
【答案】
(1) 水杯的底面积是$50.24\mathrm{cm}^2$。
(2) $\boldsymbol{1.0}$；$\boldsymbol{2.0}$；$\boldsymbol{3.0}$；$\boldsymbol{4.0}$；$\boldsymbol{5.0}$
(3) 成正比例，因为水的体积与水面高度的比值（水杯底面积）是一定的。
【知识点】
圆柱底面积计算、圆柱体积公式、正比例的判断
【点评】
本题结合动手测量与数学计算，综合考查了圆柱相关公式的应用和正比例的判断方法，既锻炼了动手实践能力，又巩固了对数学概念的理解与运用。
【难度系数】
0.6