1. 填空。
(1) 13 的最大因数是(
(2) 如果两位数 3□既是2的倍数,又是3的倍数,□里的数字是(
(3) 一个数既是36的因数,又是6的倍数,而且比6大,比36小。这个数可能是(
(1) 13 的最大因数是(
13
),最小倍数是(13
)。(2) 如果两位数 3□既是2的倍数,又是3的倍数,□里的数字是(
0
)或(6
)。如果两位数7□既是2的倍数,又是5的倍数,□里的数字是(0
)。(3) 一个数既是36的因数,又是6的倍数,而且比6大,比36小。这个数可能是(
12、18
)。答案：1. (1)13，13 (2)0，6，0 (3)12、18
解析：
【分析】
1. 对于(1)，先回忆因数和倍数的基本性质：一个数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身，据此直接确定13的最大因数和最小倍数。
2. 对于(2)，分别根据2、3的倍数特征和2、5的倍数特征分析：
既是2的倍数又是3的倍数的数，需同时满足个位是0、2、4、6、8，且各数位数字之和是3的倍数，据此筛选3□中□的可能数字；
既是2又是5的倍数的数，个位必须是0，直接确定7□中□的数字。
3. 对于(3)，先分别列出36的因数和大于6小于36的6的倍数，再找出两者的公共数，即为所求。
【解析】
(1) 根据因数和倍数的定义：一个数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身。所以13的最大因数是13，最小倍数是13。
(2) ① 两位数3□是2的倍数，则□可填0、2、4、6、8；同时它是3的倍数，需满足3+□的和是3的倍数：
3+0=3，是3的倍数；
3+6=9，是3的倍数；
因此□里的数字是0或6。
② 两位数7□既是2的倍数又是5的倍数，根据2和5的倍数特征，个位必须是0，所以□里的数字是0。
(3) 先列举36的因数：1、2、3、4、6、9、12、18、36；
再列举大于6且小于36的6的倍数：12、18、24、30；
两者的公共数是12、18，所以这个数可能是12、18。
【答案】
1. (1)13，13 (2)0，6，0 (3)12、18
【知识点】
因数与倍数的性质；2、3、5的倍数特征；因数倍数综合应用
【点评】
本题考查因数、倍数的基础概念及2、3、5的倍数特征，侧重对基础知识点的理解与运用，通过列举、筛选的方法解决综合问题，有助于巩固数论相关基础知识。
【难度系数】
0.7
1. 对于(1)，先回忆因数和倍数的基本性质：一个数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身，据此直接确定13的最大因数和最小倍数。
2. 对于(2)，分别根据2、3的倍数特征和2、5的倍数特征分析：
既是2的倍数又是3的倍数的数，需同时满足个位是0、2、4、6、8，且各数位数字之和是3的倍数，据此筛选3□中□的可能数字；
既是2又是5的倍数的数，个位必须是0，直接确定7□中□的数字。
3. 对于(3)，先分别列出36的因数和大于6小于36的6的倍数，再找出两者的公共数，即为所求。
【解析】
(1) 根据因数和倍数的定义：一个数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身。所以13的最大因数是13，最小倍数是13。
(2) ① 两位数3□是2的倍数，则□可填0、2、4、6、8；同时它是3的倍数，需满足3+□的和是3的倍数：
3+0=3，是3的倍数；
3+6=9，是3的倍数；
因此□里的数字是0或6。
② 两位数7□既是2的倍数又是5的倍数，根据2和5的倍数特征，个位必须是0，所以□里的数字是0。
(3) 先列举36的因数：1、2、3、4、6、9、12、18、36；
再列举大于6且小于36的6的倍数：12、18、24、30；
两者的公共数是12、18，所以这个数可能是12、18。
【答案】
1. (1)13，13 (2)0，6，0 (3)12、18
【知识点】
因数与倍数的性质；2、3、5的倍数特征；因数倍数综合应用
【点评】
本题考查因数、倍数的基础概念及2、3、5的倍数特征，侧重对基础知识点的理解与运用，通过列举、筛选的方法解决综合问题，有助于巩固数论相关基础知识。
【难度系数】
0.7
2. 选择正确答案的序号填在括号里。
(1) 正方形的边长是质数,它的周长和面积一定是(
A. 偶数
B. 合数
C. 质数
(2) 24和(
A. 36
B. 32
C. 28
(3) $a$、$b$、$c$是三个非0自然数,如果$a=b×c$,那么下面的结论不一定成立的是(
A. $a$一定是$b$的倍数
B. $a$一定是$c$的倍数
C. $a$一定是$b$和$c$的最小公倍数
(1) 正方形的边长是质数,它的周长和面积一定是(
B
)。A. 偶数
B. 合数
C. 质数
(2) 24和(
B
)的最大公因数是8。A. 36
B. 32
C. 28
(3) $a$、$b$、$c$是三个非0自然数,如果$a=b×c$,那么下面的结论不一定成立的是(
C
)。A. $a$一定是$b$的倍数
B. $a$一定是$c$的倍数
C. $a$一定是$b$和$c$的最小公倍数
答案：2. (1)B (2)B (3)C
解析：
【分析】
(1) 首先明确质数与合数的定义：质数是只有1和它本身两个因数的数，合数是除了1和它本身还有其他因数的数。正方形周长=边长×4，面积=边长×边长。边长是质数时，周长的因数包含1、4、边长、周长本身，至少有4个因数；面积的因数包含1、边长、面积本身，至少有3个因数，因此周长和面积一定是合数。
(2) 求两个数的最大公因数可通过列举因数或分解质因数的方法。分别计算各选项与24的最大公因数：A选项36和24的最大公因数是12；B选项32和24的最大公因数是8；C选项28和24的最大公因数是4，据此筛选出正确答案。
(3) 根据倍数的定义，若$a=b×c$（$a$、$b$、$c$是非0自然数），则$a$一定是$b$和$c$的倍数，A、B结论必然成立。但当$b$和$c$不是互质数时，比如$b=2$，$c=4$，$a=8$，此时$b$和$c$的最小公倍数是4而非$a$，所以“$a$一定是$b$和$c$的最小公倍数”这一结论不一定成立。
【解析】
(1) 设正方形边长为质数$p$（$p≥2$）：
周长$=4p$，其因数有1、2、4、$p$、$2p$、$4p$，除1和本身外还有其他因数，属于合数；
面积$=p²$，其因数有1、$p$、$p²$，除1和本身外还有因数$p$，属于合数；
因此周长和面积一定是合数，选B。
(2) 列举各数因数并找最大公因数：
24的因数：1、2、3、4、6、8、12、24；
A选项36的因数：1、2、3、4、6、9、12、18、36，24和36的最大公因数是12；
B选项32的因数：1、2、4、8、16、32，24和32的最大公因数是8；
C选项28的因数：1、2、4、7、14、28，24和28的最大公因数是4；
因此选B。
(3)
由$a=b×c$（$a$、$b$、$c$为非0自然数），根据倍数定义，$a$是$b$的倍数，也是$c$的倍数，A、B结论成立；
举反例：当$b=2$，$c=4$时，$a=8$，$b$和$c$的最小公倍数是4，并非$a$，说明“$a$一定是$b$和$c$的最小公倍数”不一定成立，选C。
【答案】
(1)B (2)B (3)C
【知识点】
1. 质数与合数的定义
2. 最大公因数的求法
3. 倍数与最小公倍数的概念
【点评】
本题考查数论中的基础概念，涵盖质数合数、最大公因数、倍数与最小公倍数，需要准确理解定义并结合实例分析判断，注重对概念的灵活运用，是对小学阶段数论知识的综合考查。
【难度系数】
0.6
(1) 首先明确质数与合数的定义：质数是只有1和它本身两个因数的数，合数是除了1和它本身还有其他因数的数。正方形周长=边长×4，面积=边长×边长。边长是质数时，周长的因数包含1、4、边长、周长本身，至少有4个因数；面积的因数包含1、边长、面积本身，至少有3个因数，因此周长和面积一定是合数。
(2) 求两个数的最大公因数可通过列举因数或分解质因数的方法。分别计算各选项与24的最大公因数：A选项36和24的最大公因数是12；B选项32和24的最大公因数是8；C选项28和24的最大公因数是4，据此筛选出正确答案。
(3) 根据倍数的定义，若$a=b×c$（$a$、$b$、$c$是非0自然数），则$a$一定是$b$和$c$的倍数，A、B结论必然成立。但当$b$和$c$不是互质数时，比如$b=2$，$c=4$，$a=8$，此时$b$和$c$的最小公倍数是4而非$a$，所以“$a$一定是$b$和$c$的最小公倍数”这一结论不一定成立。
【解析】
(1) 设正方形边长为质数$p$（$p≥2$）：
周长$=4p$，其因数有1、2、4、$p$、$2p$、$4p$，除1和本身外还有其他因数，属于合数；
面积$=p²$，其因数有1、$p$、$p²$，除1和本身外还有因数$p$，属于合数；
因此周长和面积一定是合数，选B。
(2) 列举各数因数并找最大公因数：
24的因数：1、2、3、4、6、8、12、24；
A选项36的因数：1、2、3、4、6、9、12、18、36，24和36的最大公因数是12；
B选项32的因数：1、2、4、8、16、32，24和32的最大公因数是8；
C选项28的因数：1、2、4、7、14、28，24和28的最大公因数是4；
因此选B。
(3)
由$a=b×c$（$a$、$b$、$c$为非0自然数），根据倍数定义，$a$是$b$的倍数，也是$c$的倍数，A、B结论成立；
举反例：当$b=2$，$c=4$时，$a=8$，$b$和$c$的最小公倍数是4，并非$a$，说明“$a$一定是$b$和$c$的最小公倍数”不一定成立，选C。
【答案】
(1)B (2)B (3)C
【知识点】
1. 质数与合数的定义
2. 最大公因数的求法
3. 倍数与最小公倍数的概念
【点评】
本题考查数论中的基础概念，涵盖质数合数、最大公因数、倍数与最小公倍数，需要准确理解定义并结合实例分析判断，注重对概念的灵活运用，是对小学阶段数论知识的综合考查。
【难度系数】
0.6
3. 将一张长32厘米、宽24厘米的长方形纸,剪成同样大小、边长为整厘米数的正方形,且没有剩余,有多少种不同的剪法？正方形的边长最大是多少厘米？(在图中画一画)
答案：3. 4种，8厘米
解析：
【分析】
要解决这个问题，首先要明确：剪成的正方形边长为整厘米数且没有剩余，说明正方形的边长必须同时是长方形长（32cm）和宽（24cm）的公因数。因此解题思路分为三步：
1. 分别找出32和24的所有因数；
2. 找出它们的公因数，公因数的个数就是不同剪法的种数；
3. 在公因数中找到最大的那个数，就是正方形的最大边长。
【解析】
1. 找出32的因数：1、2、4、8、16、32；
2. 找出24的因数：1、2、3、4、6、8、12、24；
3. 找出32和24的公因数：1、2、4、8，共4个，因此有4种不同剪法；
4. 在这些公因数中，最大的数是8，即正方形的边长最大是8厘米。
【答案】
4种，8厘米
【知识点】
公因数的应用
最大公因数求解
【点评】
本题考查公因数与最大公因数在实际裁剪问题中的应用，核心是理解“无剩余裁剪”的本质是正方形边长为长方形长和宽的公因数，需要学生熟练掌握找因数、公因数的方法，提升将数学概念转化为实际问题解决方案的能力。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先要明确：剪成的正方形边长为整厘米数且没有剩余，说明正方形的边长必须同时是长方形长（32cm）和宽（24cm）的公因数。因此解题思路分为三步：
1. 分别找出32和24的所有因数；
2. 找出它们的公因数，公因数的个数就是不同剪法的种数；
3. 在公因数中找到最大的那个数，就是正方形的最大边长。
【解析】
1. 找出32的因数：1、2、4、8、16、32；
2. 找出24的因数：1、2、3、4、6、8、12、24；
3. 找出32和24的公因数：1、2、4、8，共4个，因此有4种不同剪法；
4. 在这些公因数中，最大的数是8，即正方形的边长最大是8厘米。
【答案】
4种，8厘米
【知识点】
公因数的应用
最大公因数求解
【点评】
本题考查公因数与最大公因数在实际裁剪问题中的应用，核心是理解“无剩余裁剪”的本质是正方形边长为长方形长和宽的公因数，需要学生熟练掌握找因数、公因数的方法，提升将数学概念转化为实际问题解决方案的能力。
【难度系数】
0.8
4. 有85个橘子和51个苹果。如果要把这些水果分装在塑料袋中,要求每个塑料袋中两种水果都有,并且同种水果个数相同,最多要准备多少个塑料袋？每个塑料袋中有几个橘子、几个苹果？
5*. 有一袋糖,总数不超过30颗,且这袋糖可以平均分给3个、6个、8个小朋友。这袋糖有多少颗？
5*. 有一袋糖,总数不超过30颗,且这袋糖可以平均分给3个、6个、8个小朋友。这袋糖有多少颗？
答案：4. 17个塑料袋，5个橘子、3个苹果
5*.因为这袋糖可以平均分给3个、6个、8个小朋友，所以这袋糖的颗数是3、6和8的公倍数，总数不超过30，是24。这袋糖有24颗。
5*.因为这袋糖可以平均分给3个、6个、8个小朋友，所以这袋糖的颗数是3、6和8的公倍数，总数不超过30，是24。这袋糖有24颗。
解析：
【分析】
第4题：要解决这个问题，核心是理解“最多准备多少个塑料袋”等价于求橘子总数85和苹果总数51的最大公因数。因为每个塑料袋中同种水果个数相同，说明塑料袋数量是85和51的公因数，要使数量最多，就是找它们的最大公因数。找到最大公因数后，用两种水果的总数分别除以塑料袋数量，就能得到每个塑料袋中对应水果的个数。
第5题：题目要求糖的总数能同时平均分给3个、6个、8个小朋友，即总数是3、6、8的公倍数，且不超过30。先求这三个数的最小公倍数，再筛选出不超过30的公倍数即可。
【解析】
第4题
1. 求85和51的最大公因数：
分解质因数：$85 = 5×17$，$51 = 3×17$，两者共有的质因数是17，因此85和51的最大公因数是17，即最多要准备17个塑料袋。
2. 计算每个塑料袋中水果的数量：
橘子数量：$85÷17 = 5$（个）
苹果数量：$51÷17 = 3$（个）
第5题
1. 求3、6、8的最小公倍数：
因为6是3的倍数，所以只需计算6和8的最小公倍数。分解质因数：$6 = 2×3$，$8 = 2×2×2$，最小公倍数为$2×2×2×3 = 24$。
2. 验证范围：24≤30，符合总数不超过30的要求，下一个公倍数48＞30，不符合条件，因此这袋糖有24颗。
【答案】
4. 最多要准备17个塑料袋，每个塑料袋中有5个橘子、3个苹果；
5. 这袋糖有24颗。
【知识点】
1. 最大公因数的应用
2. 公倍数的应用
【点评】
这两道题均考查公因数与公倍数的实际应用，需要学生将实际问题转化为数学问题，掌握分解质因数求最大公因数和最小公倍数的方法，提升用数学知识解决生活问题的能力。
【难度系数】
0.6
第4题：要解决这个问题，核心是理解“最多准备多少个塑料袋”等价于求橘子总数85和苹果总数51的最大公因数。因为每个塑料袋中同种水果个数相同，说明塑料袋数量是85和51的公因数，要使数量最多，就是找它们的最大公因数。找到最大公因数后，用两种水果的总数分别除以塑料袋数量，就能得到每个塑料袋中对应水果的个数。
第5题：题目要求糖的总数能同时平均分给3个、6个、8个小朋友，即总数是3、6、8的公倍数，且不超过30。先求这三个数的最小公倍数，再筛选出不超过30的公倍数即可。
【解析】
第4题
1. 求85和51的最大公因数：
分解质因数：$85 = 5×17$，$51 = 3×17$，两者共有的质因数是17，因此85和51的最大公因数是17，即最多要准备17个塑料袋。
2. 计算每个塑料袋中水果的数量：
橘子数量：$85÷17 = 5$（个）
苹果数量：$51÷17 = 3$（个）
第5题
1. 求3、6、8的最小公倍数：
因为6是3的倍数，所以只需计算6和8的最小公倍数。分解质因数：$6 = 2×3$，$8 = 2×2×2$，最小公倍数为$2×2×2×3 = 24$。
2. 验证范围：24≤30，符合总数不超过30的要求，下一个公倍数48＞30，不符合条件，因此这袋糖有24颗。
【答案】
4. 最多要准备17个塑料袋，每个塑料袋中有5个橘子、3个苹果；
5. 这袋糖有24颗。
【知识点】
1. 最大公因数的应用
2. 公倍数的应用
【点评】
这两道题均考查公因数与公倍数的实际应用，需要学生将实际问题转化为数学问题，掌握分解质因数求最大公因数和最小公倍数的方法，提升用数学知识解决生活问题的能力。
【难度系数】
0.6