7. 甲、乙两艘轮船同时从相距260千米的两个码头相对开出，甲船每小时行27.5千米，乙船每小时行24.5千米。几小时后两船相遇？
答案：7. 5小时
解析：
【分析】
这是一道典型的相遇问题，解题思路如下：首先明确相遇问题的核心公式：相遇时间=总路程÷速度和。题目中给出了两个码头的距离（即两船相遇时行驶的总路程）260千米，以及甲、乙两船各自的速度，我们需要先计算出两船的速度和，再用总路程除以速度和，就能得到相遇时间。
【解析】
1. 计算甲、乙两船的速度和：
$27.5 + 24.5 = 52$（千米/小时）
2. 根据相遇问题公式计算相遇时间：
$260 ÷ 52 = 5$（小时）
【答案】
5小时
【知识点】
相遇问题、路程速度时间关系
【点评】
本题是基础的相遇问题，主要考查对相遇问题核心公式的理解与运用，计算过程涉及小数加法和整数除法，需要注意计算的准确性，是巩固行程问题基本概念的典型题目。
【难度系数】
0.8
这是一道典型的相遇问题，解题思路如下：首先明确相遇问题的核心公式：相遇时间=总路程÷速度和。题目中给出了两个码头的距离（即两船相遇时行驶的总路程）260千米，以及甲、乙两船各自的速度，我们需要先计算出两船的速度和，再用总路程除以速度和，就能得到相遇时间。
【解析】
1. 计算甲、乙两船的速度和：
$27.5 + 24.5 = 52$（千米/小时）
2. 根据相遇问题公式计算相遇时间：
$260 ÷ 52 = 5$（小时）
【答案】
5小时
【知识点】
相遇问题、路程速度时间关系
【点评】
本题是基础的相遇问题，主要考查对相遇问题核心公式的理解与运用，计算过程涉及小数加法和整数除法，需要注意计算的准确性，是巩固行程问题基本概念的典型题目。
【难度系数】
0.8
8. 用边长1 cm的小正方形像下面这样拼成长方形。
(1)像这样，用5个小正方形拼成的长方形的周长是多少厘米？
(2)像这样，用m个小正方形拼成的长方形的周长是多少厘米？
(1)像这样，用5个小正方形拼成的长方形的周长是多少厘米？
(2)像这样，用m个小正方形拼成的长方形的周长是多少厘米？
答案：8. (1)12厘米 (2) $2(m+1)$厘米
解析：
【分析】
对于第(1)问，首先明确用5个边长1cm的小正方形拼长方形，只能排成一行，因此长方形的长为5个小正方形边长之和，即5cm，宽为小正方形的边长1cm，再利用长方形周长公式计算即可；
对于第(2)问，同理，用m个小正方形拼成长方形，长为m cm，宽为1cm，将长和宽代入长方形周长公式，推导得出周长的表达式。
【解析】
(1) 用5个边长1cm的小正方形拼成长方形：
长方形的长：$5×1=5$（厘米），宽：$1$厘米
根据长方形周长公式$C=(a+b)×2$（$C$为周长，$a$为长，$b$为宽），代入得：
$(5+1)×2=6×2=12$（厘米）
(2) 用$m$个边长1cm的小正方形拼成长方形：
长方形的长为$m×1=m$（厘米），宽为$1$厘米
代入周长公式得：
$(m+1)×2=2(m+1)$（厘米）
【答案】
(1)12厘米 (2)$2(m+1)$厘米
【知识点】
长方形周长公式，用字母表示数
【点评】
本题通过小正方形拼长方形的情境，考查长方形周长计算及用字母表示数量关系，需要先理清拼组后长方形的长、宽与小正方形个数的关系，再结合公式计算和推导，有助于提升学生的观察归纳能力。
【难度系数】
0.8
对于第(1)问，首先明确用5个边长1cm的小正方形拼长方形，只能排成一行，因此长方形的长为5个小正方形边长之和，即5cm，宽为小正方形的边长1cm，再利用长方形周长公式计算即可；
对于第(2)问，同理，用m个小正方形拼成长方形，长为m cm，宽为1cm，将长和宽代入长方形周长公式，推导得出周长的表达式。
【解析】
(1) 用5个边长1cm的小正方形拼成长方形：
长方形的长：$5×1=5$（厘米），宽：$1$厘米
根据长方形周长公式$C=(a+b)×2$（$C$为周长，$a$为长，$b$为宽），代入得：
$(5+1)×2=6×2=12$（厘米）
(2) 用$m$个边长1cm的小正方形拼成长方形：
长方形的长为$m×1=m$（厘米），宽为$1$厘米
代入周长公式得：
$(m+1)×2=2(m+1)$（厘米）
【答案】
(1)12厘米 (2)$2(m+1)$厘米
【知识点】
长方形周长公式，用字母表示数
【点评】
本题通过小正方形拼长方形的情境，考查长方形周长计算及用字母表示数量关系，需要先理清拼组后长方形的长、宽与小正方形个数的关系，再结合公式计算和推导，有助于提升学生的观察归纳能力。
【难度系数】
0.8
下面图形中的点子是怎样排列的？你能画出第5个图形吗？
根据每个图形中点子的排列规律，想一想：可以怎样计算每个图形中的点子数？把下表填写完整。
观察表中数据，你能发现什么规律？
如果用A表示第n个图形中的点子数，A和n之间的关系可以表示成：
A=
像这样构造的点子数的序列，叫作三角形数。用同样的方法还可以构造四边形数、五边形数、六边形数……
下面是五边形数的序列，你能找到其中的规律吗？
根据每个图形中点子的排列规律，想一想：可以怎样计算每个图形中的点子数？把下表填写完整。
观察表中数据，你能发现什么规律？
如果用A表示第n个图形中的点子数，A和n之间的关系可以表示成：
A=
$n×(n+1)÷2$
像这样构造的点子数的序列，叫作三角形数。用同样的方法还可以构造四边形数、五边形数、六边形数……
下面是五边形数的序列，你能找到其中的规律吗？
答案：做一做. 画图略 $1+2+3$，$1+2+3+4$，$1+2+3+4+5$，3，6，10，15 我发现：图形中的点子数等于从1到图形序号的自然数连加 $A=n×(n+1)÷2$
解析：
【分析】
首先观察图形的点子排列：第1个图形有1个点，第2个图形是在第1个基础上增加2个点，共$1+2$个；第3个图形在第2个基础上增加3个点，共$1+2+3$个。由此可推，第n个图形的点子数是从1开始到n的连续自然数相加的和。
思考步骤：1. 逐个分析前几个图形的点子组成，找到“第几个图形就从1加到几”的规律；2. 根据规律计算每个图形的点子数并填表；3. 利用等差数列求和公式推导点子数A与图形序号n的关系式；4. 第5个图形按照“每层依次比上一层多1个点，共5层”的规律画出。
【解析】
1. 图形点子排列规律：
第1个图形：1个点；
第2个图形：$1+2=3$个点；
第3个图形：$1+2+3=6$个点；
第4个图形：$1+2+3+4=10$个点；
第5个图形：$1+2+3+4+5=15$个点（画图略，为5层，每层点数依次为1、2、3、4、5）。
2. 填表：根据上述计算，对应图形的点子数依次为3，6，10，15。
3. 规律总结：每个图形中的点子数等于从1到图形序号的自然数连加。
4. 推导A与n的关系：
从1到n的连续自然数求和，利用等差数列求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2，即$A=(1+n)×n÷2=n×(n+1)÷2$。
【答案】
画图略；$1+2+3$，$1+2+3+4$，$1+2+3+4+5$；3，6，10，15；我发现：图形中的点子数等于从1到图形序号的自然数连加；$A=n×(n+1)÷2$
【知识点】
等差数列求和；图形规律探究；用字母表示数
【点评】
本题通过观察点子图形的排列，引导学生从具象图形中抽象出数字规律，既锻炼了观察归纳能力，又巩固了等差数列求和公式的应用，为后续数列相关知识的学习奠定基础，同时帮助学生理解用字母表示数量关系的简洁性。
【难度系数】
0.6
首先观察图形的点子排列：第1个图形有1个点，第2个图形是在第1个基础上增加2个点，共$1+2$个；第3个图形在第2个基础上增加3个点，共$1+2+3$个。由此可推，第n个图形的点子数是从1开始到n的连续自然数相加的和。
思考步骤：1. 逐个分析前几个图形的点子组成，找到“第几个图形就从1加到几”的规律；2. 根据规律计算每个图形的点子数并填表；3. 利用等差数列求和公式推导点子数A与图形序号n的关系式；4. 第5个图形按照“每层依次比上一层多1个点，共5层”的规律画出。
【解析】
1. 图形点子排列规律：
第1个图形：1个点；
第2个图形：$1+2=3$个点；
第3个图形：$1+2+3=6$个点；
第4个图形：$1+2+3+4=10$个点；
第5个图形：$1+2+3+4+5=15$个点（画图略，为5层，每层点数依次为1、2、3、4、5）。
2. 填表：根据上述计算，对应图形的点子数依次为3，6，10，15。
3. 规律总结：每个图形中的点子数等于从1到图形序号的自然数连加。
4. 推导A与n的关系：
从1到n的连续自然数求和，利用等差数列求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2，即$A=(1+n)×n÷2=n×(n+1)÷2$。
【答案】
画图略；$1+2+3$，$1+2+3+4$，$1+2+3+4+5$；3，6，10，15；我发现：图形中的点子数等于从1到图形序号的自然数连加；$A=n×(n+1)÷2$
【知识点】
等差数列求和；图形规律探究；用字母表示数
【点评】
本题通过观察点子图形的排列，引导学生从具象图形中抽象出数字规律，既锻炼了观察归纳能力，又巩固了等差数列求和公式的应用，为后续数列相关知识的学习奠定基础，同时帮助学生理解用字母表示数量关系的简洁性。
【难度系数】
0.6