5. 一个装满水的正方体容器,棱长是4分米。把它里
面的水倒入底面长8分米、宽6分米的长方体鱼缸
内(水未溢出),水面有多高?
面的水倒入底面长8分米、宽6分米的长方体鱼缸
内(水未溢出),水面有多高?
答案：5. $\boldsymbol{\frac{4}{3}}$分米
解析：
【分析】
解题的关键是抓住水的体积不变这一核心。首先，正方体容器装满水，水的体积等于正方体的容积，我们可以利用正方体体积公式算出这个体积；接着，水倒入长方体鱼缸后，水的形状变为长方体，已知长方体的长和宽，根据长方体体积公式的变形（高=体积÷底面积），就能求出水面的高度。
【解析】
1. 计算正方体容器中水的体积：
正方体体积公式：$V = a^3$（$a$为棱长）
则水的体积$V = 4×4×4 = 64$（立方分米）
2. 计算长方体鱼缸的底面积：
长方体底面积公式：$S = 长×宽$
则底面积$S = 8×6 = 48$（平方分米）
3. 计算水面高度：
根据长方体体积公式$V = S×h$（$h$为高），变形得$h = V÷S$
则水面高度$h = 64÷48 = \frac{4}{3}$（分米）
【答案】
$\boldsymbol{\frac{4}{3}}$分米
【知识点】
正方体体积计算、长方体体积计算、体积不变原理
【点评】
本题主要考查立体图形体积公式的灵活运用，核心是理解“水的体积不变”这一转化关系，通过正方体体积求出水的总量，再结合长方体底面积计算水面高度，锻炼学生的转化思维和对基础体积公式的掌握能力。
【难度系数】
0.7
解题的关键是抓住水的体积不变这一核心。首先，正方体容器装满水，水的体积等于正方体的容积，我们可以利用正方体体积公式算出这个体积；接着，水倒入长方体鱼缸后，水的形状变为长方体，已知长方体的长和宽，根据长方体体积公式的变形（高=体积÷底面积），就能求出水面的高度。
【解析】
1. 计算正方体容器中水的体积：
正方体体积公式：$V = a^3$（$a$为棱长）
则水的体积$V = 4×4×4 = 64$（立方分米）
2. 计算长方体鱼缸的底面积：
长方体底面积公式：$S = 长×宽$
则底面积$S = 8×6 = 48$（平方分米）
3. 计算水面高度：
根据长方体体积公式$V = S×h$（$h$为高），变形得$h = V÷S$
则水面高度$h = 64÷48 = \frac{4}{3}$（分米）
【答案】
$\boldsymbol{\frac{4}{3}}$分米
【知识点】
正方体体积计算、长方体体积计算、体积不变原理
【点评】
本题主要考查立体图形体积公式的灵活运用，核心是理解“水的体积不变”这一转化关系，通过正方体体积求出水的总量，再结合长方体底面积计算水面高度，锻炼学生的转化思维和对基础体积公式的掌握能力。
【难度系数】
0.7
6. 一个圆柱形花瓶,底面半径8厘米,
高25厘米。这个花瓶的外包装盒
是一个长方体,做这样一个包装盒,
至少需要多少平方厘米的硬纸?
高25厘米。这个花瓶的外包装盒
是一个长方体,做这样一个包装盒,
至少需要多少平方厘米的硬纸?
答案：6. 2112 平方厘米
解析：
【分析】
要解决这个问题，首先要确定能容纳圆柱形花瓶的最小长方体包装盒的尺寸：为了使用最少的硬纸，长方体的底面应为正方形，其边长等于圆柱的底面直径，长方体的高等于圆柱的高。接下来根据长方体表面积公式（表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2）计算所需硬纸的面积。具体步骤为：先求出圆柱底面直径，确定长方体的长、宽、高，再代入表面积公式计算。
【解析】
1. 计算圆柱底面直径：
已知圆柱底面半径为8厘米，所以底面直径为 $ 8×2 = 16 $ 厘米，即长方体包装盒的长和宽均为16厘米，高与圆柱的高相同，为25厘米。
2. 计算长方体包装盒的表面积：
根据长方体表面积公式：
$\begin{aligned}\mathrm{表面积}&=(长×宽 + 长×高 + 宽×高)×2\\&=(16×16 + 16×25 + 16×25)×2\\&=(256 + 400 + 400)×2\\&=1056×2\\&=2112（平方厘米）\end{aligned}$
【答案】
2112平方厘米
【知识点】
长方体表面积计算、圆柱与长方体空间适配
【点评】
本题重点考查空间想象能力，需要明确最小长方体包装盒与圆柱的尺寸对应关系，熟练运用长方体表面积公式进行计算，是几何图形在实际生活中的典型应用。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先要确定能容纳圆柱形花瓶的最小长方体包装盒的尺寸：为了使用最少的硬纸，长方体的底面应为正方形，其边长等于圆柱的底面直径，长方体的高等于圆柱的高。接下来根据长方体表面积公式（表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2）计算所需硬纸的面积。具体步骤为：先求出圆柱底面直径，确定长方体的长、宽、高，再代入表面积公式计算。
【解析】
1. 计算圆柱底面直径：
已知圆柱底面半径为8厘米，所以底面直径为 $ 8×2 = 16 $ 厘米，即长方体包装盒的长和宽均为16厘米，高与圆柱的高相同，为25厘米。
2. 计算长方体包装盒的表面积：
根据长方体表面积公式：
$\begin{aligned}\mathrm{表面积}&=(长×宽 + 长×高 + 宽×高)×2\\&=(16×16 + 16×25 + 16×25)×2\\&=(256 + 400 + 400)×2\\&=1056×2\\&=2112（平方厘米）\end{aligned}$
【答案】
2112平方厘米
【知识点】
长方体表面积计算、圆柱与长方体空间适配
【点评】
本题重点考查空间想象能力，需要明确最小长方体包装盒与圆柱的尺寸对应关系，熟练运用长方体表面积公式进行计算，是几何图形在实际生活中的典型应用。
【难度系数】
0.6
7. 用一个长和宽都是60厘米、高30厘米的长方体纸
箱装底面直径12厘米、高15厘米的圆柱形罐头，
最多可以装多少个罐头?(纸盒的厚度不计)
8 *. 如图1,把一张长10厘米、宽6厘米的长方形
纸板分成两个相同的直角三角形。
→
(1) 如图2,把甲三角形旋转一周,可以形成一个
怎样的几何体? 它的体积是多少立方厘米?
(2) 如图3,把乙三角形旋转一周,可以形成一个
怎样的几何体? 它的体积是多少立方厘米?
箱装底面直径12厘米、高15厘米的圆柱形罐头，
最多可以装多少个罐头?(纸盒的厚度不计)
8 *. 如图1,把一张长10厘米、宽6厘米的长方形
纸板分成两个相同的直角三角形。
→
(1) 如图2,把甲三角形旋转一周,可以形成一个
怎样的几何体? 它的体积是多少立方厘米?
(2) 如图3,把乙三角形旋转一周,可以形成一个
怎样的几何体? 它的体积是多少立方厘米?
答案：7. 50 个
8*. (1) 把甲三角形旋转一周，可以形成一个圆锥，它的体积是$\frac{1}{3}×3.14×6^{2}×10=376.8$（立方厘米）。
(2)把乙三角形旋转一周，可以形成一个圆柱挖去一个圆锥形状的几何体，也可以看作是从圆柱中截去一个最大的圆锥剩下的部分，体积是$3.14×6^{2}×10-\frac{1}{3}×3.14×6^{2}×10=753.6$（立方厘米）。这个几何体的体积是把甲三角形旋转一周形成的圆锥体积的2倍。
8*. (1) 把甲三角形旋转一周，可以形成一个圆锥，它的体积是$\frac{1}{3}×3.14×6^{2}×10=376.8$（立方厘米）。
(2)把乙三角形旋转一周，可以形成一个圆柱挖去一个圆锥形状的几何体，也可以看作是从圆柱中截去一个最大的圆锥剩下的部分，体积是$3.14×6^{2}×10-\frac{1}{3}×3.14×6^{2}×10=753.6$（立方厘米）。这个几何体的体积是把甲三角形旋转一周形成的圆锥体积的2倍。
解析：
【分析】
第7题：
要确定长方体纸箱最多能装多少个圆柱形罐头，需分别计算纸箱的长、宽、高三个方向可容纳的罐头数量，再相乘得到总数。
先看底面：罐头底面直径12厘米，纸箱长和宽都是60厘米，用纸箱的长（宽）除以罐头直径，得到长（宽）方向可放的罐头数；
再看高度：罐头高15厘米，纸箱高30厘米，用纸箱高度除以罐头高度，得到可放的层数；
最后将三个方向的数量相乘，得到总罐头数。
第8题：
(1) 甲是直角三角形，绕一条直角边旋转一周，根据立体图形的形成规律，直角三角形绕直角边旋转会形成圆锥。计算体积时，确定圆锥的底面半径和高，代入圆锥体积公式即可。
(2) 乙是直角三角形，绕着与甲不同的直角边旋转一周，相当于以长方形的长为轴旋转形成圆柱后，挖去甲旋转形成的圆锥，所以体积是圆柱体积减去等底等高的圆锥体积，也可以用圆柱体积的$\frac{2}{3}$计算。
【解析】
第7题：
1. 计算长、宽方向可放的罐头数量：
长方向：$60÷12=5$（个）
宽方向：$60÷12=5$（个）
2. 计算高度方向可放的层数：
$30÷15=2$（层）
3. 计算总罐头数：
$5×5×2=50$（个）
第8题：
(1) 甲三角形旋转一周形成圆锥：
圆锥底面半径$r=6$厘米，高$h=10$厘米，根据圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}πr²h$：
$V=\frac{1}{3}×3.14×6²×10$
$=\frac{1}{3}×3.14×36×10$
$=376.8$（立方厘米）
(2) 乙三角形旋转一周形成圆柱挖去一个等底等高圆锥的几何体：
先计算圆柱体积：$V_{圆柱}=3.14×6²×10=1130.4$（立方厘米）
再减去圆锥体积：
$V=1130.4 - 376.8=753.6$（立方厘米）
或直接计算：$V=\frac{2}{3}×3.14×6²×10=753.6$（立方厘米）
【答案】
7. $\boldsymbol{50}$个
8*. (1) 可以形成一个圆锥，体积是$\boldsymbol{376.8}$立方厘米。
(2) 可以形成一个圆柱挖去一个圆锥的几何体（或圆柱截去最大圆锥的剩余部分），体积是$\boldsymbol{753.6}$立方厘米。
【知识点】
1. 空间容纳问题（长方体与圆柱）
2. 圆锥体积计算
3. 圆柱与圆锥体积关系
【点评】
第7题考查空间想象能力，需结合长方体和圆柱的尺寸，分方向计算容纳量；第8题考查平面图形旋转形成立体图形的规律，以及圆柱、圆锥的体积计算，理解等底等高的圆柱与圆锥体积关系是解题关键。
【难度系数】
0.6
第7题：
要确定长方体纸箱最多能装多少个圆柱形罐头，需分别计算纸箱的长、宽、高三个方向可容纳的罐头数量，再相乘得到总数。
先看底面：罐头底面直径12厘米，纸箱长和宽都是60厘米，用纸箱的长（宽）除以罐头直径，得到长（宽）方向可放的罐头数；
再看高度：罐头高15厘米，纸箱高30厘米，用纸箱高度除以罐头高度，得到可放的层数；
最后将三个方向的数量相乘，得到总罐头数。
第8题：
(1) 甲是直角三角形，绕一条直角边旋转一周，根据立体图形的形成规律，直角三角形绕直角边旋转会形成圆锥。计算体积时，确定圆锥的底面半径和高，代入圆锥体积公式即可。
(2) 乙是直角三角形，绕着与甲不同的直角边旋转一周，相当于以长方形的长为轴旋转形成圆柱后，挖去甲旋转形成的圆锥，所以体积是圆柱体积减去等底等高的圆锥体积，也可以用圆柱体积的$\frac{2}{3}$计算。
【解析】
第7题：
1. 计算长、宽方向可放的罐头数量：
长方向：$60÷12=5$（个）
宽方向：$60÷12=5$（个）
2. 计算高度方向可放的层数：
$30÷15=2$（层）
3. 计算总罐头数：
$5×5×2=50$（个）
第8题：
(1) 甲三角形旋转一周形成圆锥：
圆锥底面半径$r=6$厘米，高$h=10$厘米，根据圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}πr²h$：
$V=\frac{1}{3}×3.14×6²×10$
$=\frac{1}{3}×3.14×36×10$
$=376.8$（立方厘米）
(2) 乙三角形旋转一周形成圆柱挖去一个等底等高圆锥的几何体：
先计算圆柱体积：$V_{圆柱}=3.14×6²×10=1130.4$（立方厘米）
再减去圆锥体积：
$V=1130.4 - 376.8=753.6$（立方厘米）
或直接计算：$V=\frac{2}{3}×3.14×6²×10=753.6$（立方厘米）
【答案】
7. $\boldsymbol{50}$个
8*. (1) 可以形成一个圆锥，体积是$\boldsymbol{376.8}$立方厘米。
(2) 可以形成一个圆柱挖去一个圆锥的几何体（或圆柱截去最大圆锥的剩余部分），体积是$\boldsymbol{753.6}$立方厘米。
【知识点】
1. 空间容纳问题（长方体与圆柱）
2. 圆锥体积计算
3. 圆柱与圆锥体积关系
【点评】
第7题考查空间想象能力，需结合长方体和圆柱的尺寸，分方向计算容纳量；第8题考查平面图形旋转形成立体图形的规律，以及圆柱、圆锥的体积计算，理解等底等高的圆柱与圆锥体积关系是解题关键。
【难度系数】
0.6