7. 解下列方程组.
(1)$\begin{cases} x:y=3:4,\\ y:z=4:5,\\ x+y+z=36;\\ \end{cases}$
(2)$\begin{cases} \dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{5},\\ x+y+z=20.\\ \end{cases}$
(1)$\begin{cases} x:y=3:4,\\ y:z=4:5,\\ x+y+z=36;\\ \end{cases}$
(2)$\begin{cases} \dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{5},\\ x+y+z=20.\\ \end{cases}$
答案：7. (1) $\begin{cases} x=9 \\ y=12 \\ z=15 \end{cases}$ (2) $\begin{cases} x=4 \\ y=6 \\ z=10 \end{cases}$
8. 已知$\begin{cases}x=1,\\ y=2,\\ z=3\\\end{cases}$是方程组$\begin{cases}ax+by=2,\\ by+cz=3,\\ cx+az=7\\\end{cases}$的解,则$a+b+c$的值是 ______ .
答案：8. 3
9. (2025春·东阳月考)【数学问题】解方程组$\begin{cases} x+y=2\textcircled{1},\\ 5x-2(x+y)=6\textcircled{2}.\\ \end{cases}$
【思路分析】小明观察后发现可以把$x+y$视为一个整体,把方程①直接代入到方程②中,就可以将方程②直接转化为一元一次方程,从而达到“消元”的目的.
(1)【完成解答】请你按照小明的思路,完成解方程组的过程；
(2)【迁移运用】请你按照小明的方法,解方程组$\begin{cases} a+b=3,\\ 5a+3c=1,\\ a+b+c=0.\\ \end{cases}$
【思路分析】小明观察后发现可以把$x+y$视为一个整体,把方程①直接代入到方程②中,就可以将方程②直接转化为一元一次方程,从而达到“消元”的目的.
(1)【完成解答】请你按照小明的思路,完成解方程组的过程；
(2)【迁移运用】请你按照小明的方法,解方程组$\begin{cases} a+b=3,\\ 5a+3c=1,\\ a+b+c=0.\\ \end{cases}$
答案：9. 解:(1)按照小明的思路,完成解方程组的过程如下:
$\begin{cases} x+y=2①, \\ 5x-2(x+y)=6②, \end{cases}$
把①代入②,得$5x-2×2=6$,$\therefore x=2$.
把$x=2$代入①,得$2+y=2$,$\therefore y=0$.
$\therefore$原方程组的解为$\begin{cases} x=2, \\ y=0. \end{cases}$
(2) $\begin{cases} a+b=3①, \\ 5a+3c=1②, \\ a+b+c=0③, \end{cases}$
把①代入③,得$3+c=0$,$\therefore c=-3$.
把$c=-3$代入②,得$5a-9=1$,$\therefore a=2$.
把$a=2$代入①,得$2+b=3$,$\therefore b=1$.
$\therefore$原方程组的解为$\begin{cases} a=2, \\ b=1, \\ c=-3. \end{cases}$
$\begin{cases} x+y=2①, \\ 5x-2(x+y)=6②, \end{cases}$
把①代入②,得$5x-2×2=6$,$\therefore x=2$.
把$x=2$代入①,得$2+y=2$,$\therefore y=0$.
$\therefore$原方程组的解为$\begin{cases} x=2, \\ y=0. \end{cases}$
(2) $\begin{cases} a+b=3①, \\ 5a+3c=1②, \\ a+b+c=0③, \end{cases}$
把①代入③,得$3+c=0$,$\therefore c=-3$.
把$c=-3$代入②,得$5a-9=1$,$\therefore a=2$.
把$a=2$代入①,得$2+b=3$,$\therefore b=1$.
$\therefore$原方程组的解为$\begin{cases} a=2, \\ b=1, \\ c=-3. \end{cases}$
10. (2025春·上杭县期中)在平面直角坐标系$xOy$中,已知$A(a,-a)$,$B(b,c)$,且$a,b,c$满足方程组$\begin{cases} a+2b+3c=12,\\ 3a-2b+c=4.\\ \end{cases}$
(1)用含$a$的式子表示点$B$的坐标；
(2)连接$AB$,则线段$AB$的长为
(3)若点$P$为直线$AB$上的一点,且$OP$的最小值为3,求点$B$的坐标.
(1)用含$a$的式子表示点$B$的坐标；
(2)连接$AB$,则线段$AB$的长为
4
；(3)若点$P$为直线$AB$上的一点,且$OP$的最小值为3,求点$B$的坐标.
答案：10. (1)解: $\begin{cases} a+2b+3c=12①, \\ 3a-2b+c=4②, \end{cases}$
①+②,得$4a+4c=16$,即$a+c=4$,$\therefore c=4-a$.
将$c=4-a$代入①,得$a+2b+3(4-a)=12$,$\therefore b=a$,
$\therefore$点$B$的坐标为$(a,4-a)$.
(2)4
(3)解:$\because$直线$AB$平行于$y$轴,且点$A$的坐标为$(a,-a)$,
$\therefore$原点$O$到直线$AB$的距离为$|a|$.
$\because OP$的最小值为3,
$\therefore |a|=3$,解得$a=3$或$a=-3$.
当$a=3$时,$b=3$,$c=4-3=1$,点$B$的坐标为$(3,1)$;
当$a=-3$时,$b=-3$,$c=4-(-3)=7$,点$B$的坐标为$(-3,7)$.
综上可得,点$B$的坐标为$(3,1)$或$(-3,7)$.
①+②,得$4a+4c=16$,即$a+c=4$,$\therefore c=4-a$.
将$c=4-a$代入①,得$a+2b+3(4-a)=12$,$\therefore b=a$,
$\therefore$点$B$的坐标为$(a,4-a)$.
(2)4
(3)解:$\because$直线$AB$平行于$y$轴,且点$A$的坐标为$(a,-a)$,
$\therefore$原点$O$到直线$AB$的距离为$|a|$.
$\because OP$的最小值为3,
$\therefore |a|=3$,解得$a=3$或$a=-3$.
当$a=3$时,$b=3$,$c=4-3=1$,点$B$的坐标为$(3,1)$;
当$a=-3$时,$b=-3$,$c=4-(-3)=7$,点$B$的坐标为$(-3,7)$.
综上可得,点$B$的坐标为$(3,1)$或$(-3,7)$.