9. 若不等式组$\begin{cases}\frac{x-1}{2}≥ \frac{x-2}{3}, \\ 2x-m≥ x\end{cases}$的解集为$x≥ m$,则m的取值范围是 ______ 。
答案：9. $m≥ -1$
10. 已知关于x,y的方程组$\begin{cases} 3x-y=2m-6, \\ x+3y=4m+8 \end{cases}$的解为非负数,m-2n=3,z=2m+n,且n＜0,则z
的取值范围是
的取值范围是
$1≤ z＜6$
。答案：10. $1≤ z＜6$
11. 已知方程组$\begin{cases} x+y=-2m-3, \\ x-y=1+3m \end{cases}$的解满足x为非正数,y为负数.
(1)求m的取值范围;
(2)化简:$|m-3|-|m+2|$;
(3)在第(1)小题的取值范围内,当m为何整数时,不等式(2m-1)x＜2m-1的解集为x＞1?
(1)求m的取值范围;
(2)化简:$|m-3|-|m+2|$;
(3)在第(1)小题的取值范围内,当m为何整数时,不等式(2m-1)x＜2m-1的解集为x＞1?
答案：11.解:(1)解方程组$\{\begin{array}{l} x+y=-2m-3,\\ x-y=1+3m,\end{array} $得$\{\begin{array}{l} x=\frac {m}{2}-1,\\ y=-\frac {5}{2}m-2,\end{array} $
因为方程组的解满足x为非正数,y为负数,
所以$\{\begin{array}{l} \frac {m}{2}-1≤ 0,\\ -\frac {5}{2}m-2＜0,\end{array} $解得$-\frac {4}{5}＜m≤ 2.$
(2)因为$-\frac {4}{5}＜m≤ 2$,所以$m-3＜0,m+2＞0,$
则原式$=-(m-3)-(m+2)=-2m+1.$
(3)因为不等式$(2m-1)x＜2m-1$的解集为$x＞1,$
所以$2m-1＜0$,解得$m＜\frac {1}{2}$,所以$-\frac {4}{5}＜m＜\frac {1}{2}.$
又因为m为整数,所以$m=0.$
故当m为0时,不等式$(2m-1)x＜2m-1$的解集为$x＞1.$
因为方程组的解满足x为非正数,y为负数,
所以$\{\begin{array}{l} \frac {m}{2}-1≤ 0,\\ -\frac {5}{2}m-2＜0,\end{array} $解得$-\frac {4}{5}＜m≤ 2.$
(2)因为$-\frac {4}{5}＜m≤ 2$,所以$m-3＜0,m+2＞0,$
则原式$=-(m-3)-(m+2)=-2m+1.$
(3)因为不等式$(2m-1)x＜2m-1$的解集为$x＞1,$
所以$2m-1＜0$,解得$m＜\frac {1}{2}$,所以$-\frac {4}{5}＜m＜\frac {1}{2}.$
又因为m为整数,所以$m=0.$
故当m为0时,不等式$(2m-1)x＜2m-1$的解集为$x＞1.$
12. (2024·北京期末)若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内,则称该一元一次
方程为该不等式组的"友好方程".例如:方程3x-6=0的解为x=2,不等式组$\begin{cases} x-1＞0, \\ x＜4 \end{cases}$的
解集为1＜x＜4,因为1＜2＜4,所以称方程3x-6=0为不等式组$\begin{cases} x-1＞0, \\ x＜4 \end{cases}$的"友好方程".
(1)请你写出一个方程 ______ ,使它为不等式组$\begin{cases}2x-3＞x-2, \\ 3(x-1)-x≤ 5\end{cases}$的"友好方程";
(2)若关于x的方程2x-k=4是不等式组$\begin{cases} 3x+1＞2x, \\ 3(x-1)≥ 2(2x+1)-9 \end{cases}$的"友好方程",求k的取
值范围;
(3)若关于x的方程x+3-4m=0是关于x的不等式组$\begin{cases} x+3m＞3m, \\ x-m≤ 2m+1 \end{cases}$的"友好方程",且此
不等式组有3个整数解,求m的取值范围.
方程为该不等式组的"友好方程".例如:方程3x-6=0的解为x=2,不等式组$\begin{cases} x-1＞0, \\ x＜4 \end{cases}$的
解集为1＜x＜4,因为1＜2＜4,所以称方程3x-6=0为不等式组$\begin{cases} x-1＞0, \\ x＜4 \end{cases}$的"友好方程".
(1)请你写出一个方程 ______ ,使它为不等式组$\begin{cases}2x-3＞x-2, \\ 3(x-1)-x≤ 5\end{cases}$的"友好方程";
(2)若关于x的方程2x-k=4是不等式组$\begin{cases} 3x+1＞2x, \\ 3(x-1)≥ 2(2x+1)-9 \end{cases}$的"友好方程",求k的取
值范围;
(3)若关于x的方程x+3-4m=0是关于x的不等式组$\begin{cases} x+3m＞3m, \\ x-m≤ 2m+1 \end{cases}$的"友好方程",且此
不等式组有3个整数解,求m的取值范围.
答案：12.(1)$x-3=0$(答案不唯一)
(2)解:解不等式组$\{\begin{array}{l} 3x+1＞2x,\\ 3(x-1)≥ 2(2x+1)-9,\end{array} $得$-1＜x≤ 4.$
解方程$2x-k=4$,得$x=\frac {4+k}{2}.$
∵关于x的方程$2x-k=4$是不等式组
$\{\begin{array}{l} 3x+1＞2x,\\ 3(x-1)≥ 2(2x+1)-9\end{array} $的“友好方程”，
$\therefore -1＜\frac {4+k}{2}≤ 4$,解得$-6＜k≤ 4,$
即k的取值范围是$-6＜k≤ 4.$
(3)解:解方程$x+3-4m=0$,得$x=4m-3.$
解关于x的不等式组$\{\begin{array}{l} x+3m＞3m,\\ x-m≤ 2m+1,\end{array} $得$0＜x≤ 3m+1.$
∵不等式组有3个整数解,
$\therefore 3≤ 3m+1＜4,\therefore \frac {2}{3}≤ m＜1.$
∵关于x的方程$x+3-4m=0$是关于x的不等式组
$\{\begin{array}{l} x+3m＞3m,\\ x-m≤ 2m+1\end{array} $的“友好方程”，
$\therefore 0＜4m-3≤ 3m+1$,解得$\frac {3}{4}≤ m≤ 4,$
$\therefore m$的取值范围是$\frac {3}{4}＜m＜1.$
(2)解:解不等式组$\{\begin{array}{l} 3x+1＞2x,\\ 3(x-1)≥ 2(2x+1)-9,\end{array} $得$-1＜x≤ 4.$
解方程$2x-k=4$,得$x=\frac {4+k}{2}.$
∵关于x的方程$2x-k=4$是不等式组
$\{\begin{array}{l} 3x+1＞2x,\\ 3(x-1)≥ 2(2x+1)-9\end{array} $的“友好方程”，
$\therefore -1＜\frac {4+k}{2}≤ 4$,解得$-6＜k≤ 4,$
即k的取值范围是$-6＜k≤ 4.$
(3)解:解方程$x+3-4m=0$,得$x=4m-3.$
解关于x的不等式组$\{\begin{array}{l} x+3m＞3m,\\ x-m≤ 2m+1,\end{array} $得$0＜x≤ 3m+1.$
∵不等式组有3个整数解,
$\therefore 3≤ 3m+1＜4,\therefore \frac {2}{3}≤ m＜1.$
∵关于x的方程$x+3-4m=0$是关于x的不等式组
$\{\begin{array}{l} x+3m＞3m,\\ x-m≤ 2m+1\end{array} $的“友好方程”，
$\therefore 0＜4m-3≤ 3m+1$,解得$\frac {3}{4}≤ m≤ 4,$
$\therefore m$的取值范围是$\frac {3}{4}＜m＜1.$