1. 如图,已知 $AC⊥ AB$,$EF⊥ BC$,$AD⊥ BC$,$∠ 1=∠ 2$,求证:$AC⊥ DG$.
答案：1. 证明:
∵EF//BC,AD⊥BC,
∴AD//EF,
∴∠2=∠3.
又
∵∠1=∠2,
∴∠1=∠3,
∴AB//DG.
∵AC⊥AB,
∴AC⊥DG.
∵EF//BC,AD⊥BC,
∴AD//EF,
∴∠2=∠3.
又
∵∠1=∠2,
∴∠1=∠3,
∴AB//DG.
∵AC⊥AB,
∴AC⊥DG.
2. 如图,已知 $∠ 1+∠ 2=180°$,$∠ B=∠ 3$,$∠ C=65°$,求 $∠ DEC$ 的度数.
答案：2. 解:
∵∠1+∠2=180°,
∴AB//EF,
∴∠ADE=∠3.
又
∵∠B=∠3,
∴∠ADE=∠B,
∴DE//BC,
∴∠C+∠DEC=180°.
又
∵∠C=65°,
∴∠DEC=180°−∠C=180°−65°=115°.
∵∠1+∠2=180°,
∴AB//EF,
∴∠ADE=∠3.
又
∵∠B=∠3,
∴∠ADE=∠B,
∴DE//BC,
∴∠C+∠DEC=180°.
又
∵∠C=65°,
∴∠DEC=180°−∠C=180°−65°=115°.
3. 如图,$EF// BC$,$∠ B=∠ 1$,$∠ BAD+∠ 2=180°$,求证:$∠ 3=∠ G$.
答案：3. 证明:
∵EF//BC,
∴∠1=∠2.
∵∠B=∠1,
∴∠B=∠2,
∴AB//CD,
∴∠BAD+∠D=180°.
∵∠BAD+∠2=180°,
∴∠D=∠2,
∴AD//BG,
∴∠3=∠G.
∵EF//BC,
∴∠1=∠2.
∵∠B=∠1,
∴∠B=∠2,
∴AB//CD,
∴∠BAD+∠D=180°.
∵∠BAD+∠2=180°,
∴∠D=∠2,
∴AD//BG,
∴∠3=∠G.
4. (2024·江阴期中)如图,已知 $∠ 2=∠ C$,$∠ 1+∠ EAB=180°$.
(1)求证:$AE// BD$;
(2)若 $∠ 1=65°$,$∠ 2=55°$,求 $∠ AFD$ 的度数.
(1)求证:$AE// BD$;
(2)若 $∠ 1=65°$,$∠ 2=55°$,求 $∠ AFD$ 的度数.
答案：4. (1)证明:
∵∠2=∠C,
∴AB//CE,
∴∠1=∠B.
∵∠1+∠EAB=180°,
∴∠B+∠EAB=180°,
∴AE//BD.
(2)解:
∵∠2=∠C,∠2=55°,
∴∠C=55°.
∵∠C+∠1+∠DFC=180°,
∴∠DFC=180°−∠C−∠1=180°−55°−65°=60°,
∴∠AFD=180°−∠DFC=120°.
∵∠2=∠C,
∴AB//CE,
∴∠1=∠B.
∵∠1+∠EAB=180°,
∴∠B+∠EAB=180°,
∴AE//BD.
(2)解:
∵∠2=∠C,∠2=55°,
∴∠C=55°.
∵∠C+∠1+∠DFC=180°,
∴∠DFC=180°−∠C−∠1=180°−55°−65°=60°,
∴∠AFD=180°−∠DFC=120°.