5. (2025·海淀区期中)在现代化的智能工厂中,机械臂的精准操作依赖于精确的方向控制.如图①,有两条平行的机械轨道AB与CD,即$AB// CD$,将机械臂与轨道AB的接触点记为M,机械臂与轨道CD的接触点记为N,为了实现复杂的操作任务,通过关节P和关节Q来调节三个机械臂PM,PQ和QN的位置,在实际运行过程中,为确保稳定,三个机械臂PM,PQ和QN不共线.
(1)如图②,当机械臂$PM// QN$时,求证:$∠ AMP=∠ QND$;
(2)如图③,当$∠ AMP=30°$,$∠ QND=45°$,$∠ MPQ=α$时,$∠ PQN=$
(1)如图②,当机械臂$PM// QN$时,求证:$∠ AMP=∠ QND$;
(2)如图③,当$∠ AMP=30°$,$∠ QND=45°$,$∠ MPQ=α$时,$∠ PQN=$
$α +15°$
.(用含α的式子表示)答案：
5.(1)证明:如答图,延长NQ交AB于点E.
$\because PM// QN,\therefore ∠AMP=∠AEN,$
$\because AB// CD,\therefore ∠QND=∠AEN,\therefore ∠AMP=∠QND.$
(2)$α +15°$
5.(1)证明:如答图,延长NQ交AB于点E.
$\because PM// QN,\therefore ∠AMP=∠AEN,$
$\because AB// CD,\therefore ∠QND=∠AEN,\therefore ∠AMP=∠QND.$
(2)$α +15°$
6. 直线$AB// CD$,点P在两条平行线之间,点E,F分别在AB,CD上,连接PE,PF.尝试探究并解答:
(1)若图①中$∠ 1=36°$,$∠ 2=60°$,则$∠ 3=$
(2)探究图①中$∠ 1$,$∠ 2$与$∠ 3$之间的数量关系,并说明理由;
(3)如图②,$∠ 1$与$∠ 3$的平分线交于点$P_{1}$,若$∠ 2=α$,试求$∠ EP_{1}F$的度数.(用含α的代数式表示)
(1)若图①中$∠ 1=36°$,$∠ 2=60°$,则$∠ 3=$
$24°$
;(2)探究图①中$∠ 1$,$∠ 2$与$∠ 3$之间的数量关系,并说明理由;
(3)如图②,$∠ 1$与$∠ 3$的平分线交于点$P_{1}$,若$∠ 2=α$,试求$∠ EP_{1}F$的度数.(用含α的代数式表示)
答案：
6.(1)$24°$
(2)解:$∠2=∠1+∠3$.理由如下:
如答图,过点P作$PM// AB.$
$\because AB// CD,AB// PM,\therefore AB// PM// CD,$
$\therefore ∠1=∠MPE,∠3=∠MPF.$
$\because ∠2=∠MPE+∠MPF,\therefore ∠2=∠1+∠3.$
(3)解:由(2)得$∠2=∠1+∠3,$
同理可得$∠EP_{1}F=∠BEP_{1}+∠DFP_{1}.$
$\because ∠1$与$∠3$的平分线交于点$P_{1},$
$\therefore ∠BEP_{1}=\frac{1}{2}∠1,∠DFP_{1}=\frac{1}{2}∠3,$
$\therefore ∠EP_{1}F=\frac{1}{2}(∠1+∠3)=\frac{1}{2}∠2.$
$\because ∠2=α ,\therefore ∠EP_{1}F=\frac{1}{2}α .$
6.(1)$24°$
(2)解:$∠2=∠1+∠3$.理由如下:
如答图,过点P作$PM// AB.$
$\because AB// CD,AB// PM,\therefore AB// PM// CD,$
$\therefore ∠1=∠MPE,∠3=∠MPF.$
$\because ∠2=∠MPE+∠MPF,\therefore ∠2=∠1+∠3.$
(3)解:由(2)得$∠2=∠1+∠3,$
同理可得$∠EP_{1}F=∠BEP_{1}+∠DFP_{1}.$
$\because ∠1$与$∠3$的平分线交于点$P_{1},$
$\therefore ∠BEP_{1}=\frac{1}{2}∠1,∠DFP_{1}=\frac{1}{2}∠3,$
$\therefore ∠EP_{1}F=\frac{1}{2}(∠1+∠3)=\frac{1}{2}∠2.$
$\because ∠2=α ,\therefore ∠EP_{1}F=\frac{1}{2}α .$
7. 从特殊到一般是数学研究的常用方法,有助于我们发现规律,探索问题.
(1)如图①,$AB// CD$,点E为AB,CD之间的一点,求证:$∠ 1+∠ MEN+∠ 2=360°$;
(2)如图②,$AB// CD$,点E,F,G,H为AB,CD之间的四点,则$∠ 1+∠ 2+∠ 3+∠ 4+∠ 5+∠ 6=$
(3)如图③,$AB// CD$,则$∠ 1+∠ 2+∠ 3+\dots +∠ n=$
(1)如图①,$AB// CD$,点E为AB,CD之间的一点,求证:$∠ 1+∠ MEN+∠ 2=360°$;
(2)如图②,$AB// CD$,点E,F,G,H为AB,CD之间的四点,则$∠ 1+∠ 2+∠ 3+∠ 4+∠ 5+∠ 6=$
$900$
$°$;(3)如图③,$AB// CD$,则$∠ 1+∠ 2+∠ 3+\dots +∠ n=$
$180(n-1)$
$°$.答案：
7.(1)证明:如答图①,过点E作$EF// CD.$
$\because AB// CD,\therefore AB// EF// CD,$
$\therefore ∠1+∠MEF=180° ,∠2+∠NEF=180° ,$
$\therefore ∠1+∠MEF+∠NEF+∠2=360° ,$
即$∠1+∠MEN+∠2=360° .$
(2)$900$ 点拨:如答图②,过点E作$EQ// CD$,过点F作
$FW// CD$,过点G作$GR// CD$,过点H作$HY// CD,$
$\because CD// AB,\therefore EQ// FW// GR// HY// AB// CD,$
$\therefore ∠1+∠MEQ=180° ,∠QEF+∠EFW=180° ,$
$∠WFG+∠FGR=180° ,∠RGH+∠GHY=180° ,$
$∠YHN+∠6=180° ,$
$\therefore ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=5×180° =900° .$
(3)$180(n-1)$
7.(1)证明:如答图①,过点E作$EF// CD.$
$\because AB// CD,\therefore AB// EF// CD,$
$\therefore ∠1+∠MEF=180° ,∠2+∠NEF=180° ,$
$\therefore ∠1+∠MEF+∠NEF+∠2=360° ,$
即$∠1+∠MEN+∠2=360° .$
(2)$900$ 点拨:如答图②,过点E作$EQ// CD$,过点F作
$FW// CD$,过点G作$GR// CD$,过点H作$HY// CD,$
$\because CD// AB,\therefore EQ// FW// GR// HY// AB// CD,$
$\therefore ∠1+∠MEQ=180° ,∠QEF+∠EFW=180° ,$
$∠WFG+∠FGR=180° ,∠RGH+∠GHY=180° ,$
$∠YHN+∠6=180° ,$
$\therefore ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=5×180° =900° .$
(3)$180(n-1)$