1. 将一副直角三角尺叠放如图所示，现将含$30°$角的三角尺ABC固定不动，将含$45°$角的三角尺BDE绕顶点B逆时针转动，点E始终在直线AB的上方，当两块三角尺至少有一组边互相平行时，$∠ ABE$所有符合条件的度数为 (
A.$45°,75°,120°,165°$
B.$45°,60°,105°,135°$
C.$15°,60°,105°,135°$
D.$30°,60°,90°,120°$
A
)A.$45°,75°,120°,165°$
B.$45°,60°,105°,135°$
C.$15°,60°,105°,135°$
D.$30°,60°,90°,120°$
答案：1. A
2. 如图，已知$AB// CD,EF// MN,∠ 1=115°.$
(1)求$∠ 2$和$∠ 3$的度数；
(2)本题隐含着一个规律，请你根据(1)的结果进行归纳：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角的关系如何？
(3)利用(2)的结论解答：如果两个角的两边分别平行，其中一个角是另一个角的2倍少$60°$，求这两个角的度数.
(1)求$∠ 2$和$∠ 3$的度数；
(2)本题隐含着一个规律，请你根据(1)的结果进行归纳：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角的关系如何？
(3)利用(2)的结论解答：如果两个角的两边分别平行，其中一个角是另一个角的2倍少$60°$，求这两个角的度数.
答案：2.解:(1)因为$AB// CD$,$∠ 1=115°$,所以$∠ 2=∠ 1=115°$.
又因为$EF// MN$,所以$∠ 3+∠ 2=180°$,
所以$∠ 3=180°-∠ 2=65°$.
(2)由(1)可知如果一个角的两边分别平行于另一个角的
两边,那么这两个角相等或互补.
(3)由(2)可知这两个角互补或相等,设一个角为$x$,则另
一个角为$2x-60°$,
根据两个角互补可得$x+2x-60°=180°$,解得$x=80°$,
所以$2x-60°=100°$.
根据两个角相等可得$x=2x-60°$,解得$x=60°$,
所以$2x-60°=60°$.
综上可知,这两个角分别为$80°,100°$或$60°,60°$.
又因为$EF// MN$,所以$∠ 3+∠ 2=180°$,
所以$∠ 3=180°-∠ 2=65°$.
(2)由(1)可知如果一个角的两边分别平行于另一个角的
两边,那么这两个角相等或互补.
(3)由(2)可知这两个角互补或相等,设一个角为$x$,则另
一个角为$2x-60°$,
根据两个角互补可得$x+2x-60°=180°$,解得$x=80°$,
所以$2x-60°=100°$.
根据两个角相等可得$x=2x-60°$,解得$x=60°$,
所以$2x-60°=60°$.
综上可知,这两个角分别为$80°,100°$或$60°,60°$.
3.(2024·启东期中)已知点D是$∠ ABC$的边AB上一点，过点D作直线$EF// BC$，BM是$∠ ABC$的平分线，以点D为端点作线段DN，连接MN.
(1)如图①，若DN是$∠ ADF$的平分线，试探究$∠ M$与$∠ N$的数量关系，并说明理由.
(2)如图②，若DN是$∠ BDE$的平分线，则$∠ M$与$∠ N$又有怎样的数量关系？并说明理由.
(3)如图③，若DN是$∠ ADE$的平分线，$∠ N=15°$，请求出$∠ M$的度数.
(1)如图①，若DN是$∠ ADF$的平分线，试探究$∠ M$与$∠ N$的数量关系，并说明理由.
(2)如图②，若DN是$∠ BDE$的平分线，则$∠ M$与$∠ N$又有怎样的数量关系？并说明理由.
(3)如图③，若DN是$∠ ADE$的平分线，$∠ N=15°$，请求出$∠ M$的度数.
答案：
3.解:(1)$∠ M+∠ N=180°$.理由如下:
$\because EF// BC$,$\therefore ∠ ADF=∠ ABC$.
$\because BM$是$∠ ABC$的平分线,$DN$是$∠ ADF$的平分线,
$\therefore ∠ ABM=\frac{1}{2}∠ ABC$,$∠ ADN=\frac{1}{2}∠ ADF$,
$\therefore ∠ ABM=∠ ADN$,$\therefore DN// BM$,$\therefore ∠ M+∠ N=180°$.
(2)$∠ M=∠ N$.理由如下:
$\because EF// BC$,$\therefore ∠ ABC=∠ BDE$.
$\because BM$是$∠ ABC$的平分线,$DN$是$∠ BDE$的平分线,
$\therefore ∠ ABM=\frac{1}{2}∠ ABC$,$∠ BDN=\frac{1}{2}∠ BDE$,
$\therefore ∠ ABM=∠ BDN$,$\therefore BM// DN$,$\therefore ∠ M=∠ N$.
(3)如图,延长$ND,BM$交于点$G$.
$\because EF// BC$,
$\therefore ∠ BDF+∠ ABC=180°$.
$\because DN$是$∠ ADE$的平分线,
$\therefore ∠ ADN=\frac{1}{2}∠ ADE$.
$\because ∠ ADN=∠ BDG$,$∠ ADE=∠ BDF$,
$\therefore ∠ BDG=\frac{1}{2}∠ BDF$.
$\because BM$是$∠ ABC$的平分线,
$\therefore ∠ ABM=\frac{1}{2}∠ ABC$,
$\therefore ∠ BDG+∠ ABM=\frac{1}{2}∠ BDF+\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}(∠ BDF+$
$∠ ABC)=\frac{1}{2}× 180°=90°$,
$\therefore ∠ G=180°-(∠ BDG+∠ ABM)=90°$.
$\because ∠ N=15°$,$\therefore ∠ NMG=180°-90°-15°=75°$,
$\therefore ∠ BMN=180°-75°=105°$.
3.解:(1)$∠ M+∠ N=180°$.理由如下:
$\because EF// BC$,$\therefore ∠ ADF=∠ ABC$.
$\because BM$是$∠ ABC$的平分线,$DN$是$∠ ADF$的平分线,
$\therefore ∠ ABM=\frac{1}{2}∠ ABC$,$∠ ADN=\frac{1}{2}∠ ADF$,
$\therefore ∠ ABM=∠ ADN$,$\therefore DN// BM$,$\therefore ∠ M+∠ N=180°$.
(2)$∠ M=∠ N$.理由如下:
$\because EF// BC$,$\therefore ∠ ABC=∠ BDE$.
$\because BM$是$∠ ABC$的平分线,$DN$是$∠ BDE$的平分线,
$\therefore ∠ ABM=\frac{1}{2}∠ ABC$,$∠ BDN=\frac{1}{2}∠ BDE$,
$\therefore ∠ ABM=∠ BDN$,$\therefore BM// DN$,$\therefore ∠ M=∠ N$.
(3)如图,延长$ND,BM$交于点$G$.
$\because EF// BC$,
$\therefore ∠ BDF+∠ ABC=180°$.
$\because DN$是$∠ ADE$的平分线,
$\therefore ∠ ADN=\frac{1}{2}∠ ADE$.
$\because ∠ ADN=∠ BDG$,$∠ ADE=∠ BDF$,
$\therefore ∠ BDG=\frac{1}{2}∠ BDF$.
$\because BM$是$∠ ABC$的平分线,
$\therefore ∠ ABM=\frac{1}{2}∠ ABC$,
$\therefore ∠ BDG+∠ ABM=\frac{1}{2}∠ BDF+\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}(∠ BDF+$
$∠ ABC)=\frac{1}{2}× 180°=90°$,
$\therefore ∠ G=180°-(∠ BDG+∠ ABM)=90°$.
$\because ∠ N=15°$,$\therefore ∠ NMG=180°-90°-15°=75°$,
$\therefore ∠ BMN=180°-75°=105°$.