三、解答题(共52分)
9.(16分)如图,直线AB,CD相交于点O,$OE⊥ AB$,OF平分$∠ AOD$.
(1)若$∠ BOD=40°$,求$∠ COF$的度数;
(2)若$∠ AOC:∠ COE=2:3$,求$∠ DOF$的度数.
9.(16分)如图,直线AB,CD相交于点O,$OE⊥ AB$,OF平分$∠ AOD$.
(1)若$∠ BOD=40°$,求$∠ COF$的度数;
(2)若$∠ AOC:∠ COE=2:3$,求$∠ DOF$的度数.
答案：9.解:(1)
∵OF平分∠AOD,∠BOD=40°,
∴∠AOF=∠DOF=(180°-40°)÷2=70°.
∵∠COA=∠BOD=40°,
∴∠COF=∠COA+∠AOF=40°+70°=110°.
(2)
∵∠AOC:∠COE=2:3,
∴可设∠AOC=x,则∠COE=$\frac{3}{2}x$.
∵OE⊥AB,
∴∠AOE=90°,
∴$x+\frac{3}{2}x=90°$,解得x=36°,
∴∠AOC=36°.
由(1)知∠AOF=∠DOF,
∴∠DOF=$\frac{1}{2}×(180°-36°)=72°$.
∵OF平分∠AOD,∠BOD=40°,
∴∠AOF=∠DOF=(180°-40°)÷2=70°.
∵∠COA=∠BOD=40°,
∴∠COF=∠COA+∠AOF=40°+70°=110°.
(2)
∵∠AOC:∠COE=2:3,
∴可设∠AOC=x,则∠COE=$\frac{3}{2}x$.
∵OE⊥AB,
∴∠AOE=90°,
∴$x+\frac{3}{2}x=90°$,解得x=36°,
∴∠AOC=36°.
由(1)知∠AOF=∠DOF,
∴∠DOF=$\frac{1}{2}×(180°-36°)=72°$.
10.(14分)如图,已知点E为AB的延长线上一点,点F为CD的延长线上一点,连接EF,交BC于点G,交AD于点H,若$∠ 1=∠ 2$,$∠ A=∠ C$,求证:$∠ E=∠ F$.
证明:$\because ∠ 1=∠ 3$(
$\therefore$
$\therefore$
$\therefore ∠ A+∠ 4=180°$(
$\because ∠ A=∠ C$(已知),
$\therefore ∠ C+∠ 4=180°$(等量代换),
$\therefore$
$\therefore ∠ E=∠ F$(
证明:$\because ∠ 1=∠ 3$(
对顶角相等
),$∠ 1=∠ 2$(已知),$\therefore$
∠2
=∠3
(等量代换),$\therefore$
AD
$//$BC
(同位角相等,两直线平行
),$\therefore ∠ A+∠ 4=180°$(
两直线平行,同旁内角互补
).$\because ∠ A=∠ C$(已知),
$\therefore ∠ C+∠ 4=180°$(等量代换),
$\therefore$
CF
$//$EA
(同旁内角互补,两直线平行),$\therefore ∠ E=∠ F$(
两直线平行,内错角相等
).答案：10.对顶角相等 ∠2 ∠3 AD BC 同位角相等,两直
线平行 两直线平行,同旁内角互补 CF EA 两直
线平行,内错角相等
线平行 两直线平行,同旁内角互补 CF EA 两直
线平行,内错角相等
11.(22分)已知E,F分别是AB,CD上的动点,P也是平面内的一动点.
(1)如图①,若$AB// CD$,求证:$∠ EPF=∠ BEP+∠ PFD$;
(2)如图②,若$∠ EPF=∠ PFD-∠ BEP$,求证:$AB// CD$;
(3)如图③,$AB// CD$,移动点E,F,使$∠ EPF=90°$,$∠ PEG=∠ PEB$,试探究$∠ AEG$与$∠ PFD$之间的数量关系,并说明理由.
(1)如图①,若$AB// CD$,求证:$∠ EPF=∠ BEP+∠ PFD$;
(2)如图②,若$∠ EPF=∠ PFD-∠ BEP$,求证:$AB// CD$;
(3)如图③,$AB// CD$,移动点E,F,使$∠ EPF=90°$,$∠ PEG=∠ PEB$,试探究$∠ AEG$与$∠ PFD$之间的数量关系,并说明理由.
答案：
(1)证明:如答图①,过点P作PG//AB,
则∠EPG=∠BEP.
第11题答图①
又
∵AB//CD,
∴PG//CD,
∴∠FPG=∠PFD.
∴∠EPF=∠EPG+∠FPG=∠BEP+∠PFD,
即∠EPF=∠BEP+∠PFD.
(2)证明:如答图②,过点P作PQ//AB,
第11题答图②
∴∠QPE=∠BEP.
∵∠EPF=∠PFD-∠BEP,
∴∠PFD=∠EPF+∠BEP=∠EPF+∠QPE=
∠FPQ,
∴DC//PQ,
∴AB//CD.
(3)解:∠AEG=2∠PFD.理由如下:
如答图③,过点P作PH//AB.
第11题答图③
∵AB//CD,
∴AB//PH//CD,
∴∠PFD=∠FPH,∠EPH=∠PEB.
∵∠FPH+∠EPH=∠EPF=90°,∠PEG=∠PEB,
∠PEB+∠PEG+∠AEG=180°,
∴∠PFD+∠PEB=90°,∠AEG+2∠PEB=180°,
∴2∠PFD+2∠PEB=180°,
∴∠AEG=2∠PFD.
(1)证明:如答图①,过点P作PG//AB,
则∠EPG=∠BEP.
第11题答图①
又
∵AB//CD,
∴PG//CD,
∴∠FPG=∠PFD.
∴∠EPF=∠EPG+∠FPG=∠BEP+∠PFD,
即∠EPF=∠BEP+∠PFD.
(2)证明:如答图②,过点P作PQ//AB,
第11题答图②
∴∠QPE=∠BEP.
∵∠EPF=∠PFD-∠BEP,
∴∠PFD=∠EPF+∠BEP=∠EPF+∠QPE=
∠FPQ,
∴DC//PQ,
∴AB//CD.
(3)解:∠AEG=2∠PFD.理由如下:
如答图③,过点P作PH//AB.
第11题答图③
∵AB//CD,
∴AB//PH//CD,
∴∠PFD=∠FPH,∠EPH=∠PEB.
∵∠FPH+∠EPH=∠EPF=90°,∠PEG=∠PEB,
∠PEB+∠PEG+∠AEG=180°,
∴∠PFD+∠PEB=90°,∠AEG+2∠PEB=180°,
∴2∠PFD+2∠PEB=180°,
∴∠AEG=2∠PFD.