1.综合与实践:
【问题情境】
在综合与实践课上,数学老师让同学们以"两条平行线MN,PQ和一块含$45°$角的直角三角尺ABC"为主题展开数学活动.
【探究发现】
如图①,小明把三角尺中$45°$角的顶点B放在PQ上,边AB,AC与MN分别交于点D,E.
(1)若$∠ 1=70°$,则$∠ 2$的度数为
(2)如图②,请你探究$∠ α$与$∠ β$之间的数量关系,并说明理由;
【延伸拓展】
(3)如图③,$AB\bot PQ$,把三角尺ABC从图③的位置开始绕点B顺时针旋转$n°(0＜n＜180)$,当直线AC与MN相交所成的锐角是$63°$时,求$∠ PBA$的度数.
【问题情境】
在综合与实践课上,数学老师让同学们以"两条平行线MN,PQ和一块含$45°$角的直角三角尺ABC"为主题展开数学活动.
【探究发现】
如图①,小明把三角尺中$45°$角的顶点B放在PQ上,边AB,AC与MN分别交于点D,E.
(1)若$∠ 1=70°$,则$∠ 2$的度数为
20°
;(2)如图②,请你探究$∠ α$与$∠ β$之间的数量关系,并说明理由;
【延伸拓展】
(3)如图③,$AB\bot PQ$,把三角尺ABC从图③的位置开始绕点B顺时针旋转$n°(0＜n＜180)$,当直线AC与MN相交所成的锐角是$63°$时,求$∠ PBA$的度数.
答案：
1. (1)$20°$
(2)解:$∠α$与$∠β$之间的数量关系为$∠β=∠α+45°.$
理由如下:$\because MN// PQ,$
$\therefore ∠β=∠ADM.$
$\because ∠ADM+∠ADE=180^{\circ },∠A+∠AED+∠ADE=$
$180^{\circ },\therefore ∠ADM=∠A+∠AED.$
又$\because ∠A=45^{\circ },∠AED=∠α,$
$\therefore ∠β=∠α+45°.$
(3)解:分以下情况:
①当$0＜n＜45$时,如答图①,直线AC与MN相交所成
的锐角$∠NEC$的范围是$45^{\circ }＜∠NEC＜90^{\circ },∠NEC$可能
为$63°.$
当$∠NEC=63°$时,由(2)的结论可得,$∠PBA=∠NEC+$
$45°=63°+45°=108°.$
②当$45＜n＜90$时,如答图②,直线AC与MN相交所成
的锐角$∠FEN$的范围是$45^{\circ }＜∠FEN＜90^{\circ },∠FEN$可能
为$63°.$
当$∠FEN=63°$时,
$∠NEC=180°-63°=117°,$
由(2)的结论可得,$∠PBA=∠NEC+45°=117°+45°=$
$162°.$
③当$90＜n＜135$时,如答图③,直线AC与MN相交所
成的锐角$∠FEN$的范围是$0^{\circ }＜∠FEN＜45^{\circ },∠FEN$不
可能为$63°$,不满足题意.
④当$135＜n＜180$时,如答图④,直线AC与MN相交所
成的锐角$∠FEM$的范围是$0^{\circ }＜∠FEM＜45^{\circ },∠FEM$不
可能为$63°$,不满足题意.
综上所述,$∠PBA$的度数为$108°$或$162°.$
1. (1)$20°$
(2)解:$∠α$与$∠β$之间的数量关系为$∠β=∠α+45°.$
理由如下:$\because MN// PQ,$
$\therefore ∠β=∠ADM.$
$\because ∠ADM+∠ADE=180^{\circ },∠A+∠AED+∠ADE=$
$180^{\circ },\therefore ∠ADM=∠A+∠AED.$
又$\because ∠A=45^{\circ },∠AED=∠α,$
$\therefore ∠β=∠α+45°.$
(3)解:分以下情况:
①当$0＜n＜45$时,如答图①,直线AC与MN相交所成
的锐角$∠NEC$的范围是$45^{\circ }＜∠NEC＜90^{\circ },∠NEC$可能
为$63°.$
当$∠NEC=63°$时,由(2)的结论可得,$∠PBA=∠NEC+$
$45°=63°+45°=108°.$
②当$45＜n＜90$时,如答图②,直线AC与MN相交所成
的锐角$∠FEN$的范围是$45^{\circ }＜∠FEN＜90^{\circ },∠FEN$可能
为$63°.$
当$∠FEN=63°$时,
$∠NEC=180°-63°=117°,$
由(2)的结论可得,$∠PBA=∠NEC+45°=117°+45°=$
$162°.$
③当$90＜n＜135$时,如答图③,直线AC与MN相交所
成的锐角$∠FEN$的范围是$0^{\circ }＜∠FEN＜45^{\circ },∠FEN$不
可能为$63°$,不满足题意.
④当$135＜n＜180$时,如答图④,直线AC与MN相交所
成的锐角$∠FEM$的范围是$0^{\circ }＜∠FEM＜45^{\circ },∠FEM$不
可能为$63°$,不满足题意.
综上所述,$∠PBA$的度数为$108°$或$162°.$