2.综合与实践:学习了相交线、平行线的相关知识后,某数学兴趣小组利用手中的一副三角尺进行了探究,发现并提出了一些数学问题.如图,他们将两把直角三角尺的两个直角顶点C叠放在一起,其中$∠ A=30°$,$∠ B=60°$,$∠ D=∠ E=45°$.
(1)猜想$∠ BCD$与$∠ ACE$之间的数量关系,并说明理由;
(2)若$∠ BCD=3∠ ACE$,求$∠ BCD$的度数;
(3)若按住三角尺ABC不动,将三角尺DCE绕顶点C转动,试探究$∠ BCD$等于多少度时,$CE// AB$.
(1)猜想$∠ BCD$与$∠ ACE$之间的数量关系,并说明理由;
(2)若$∠ BCD=3∠ ACE$,求$∠ BCD$的度数;
(3)若按住三角尺ABC不动,将三角尺DCE绕顶点C转动,试探究$∠ BCD$等于多少度时,$CE// AB$.
答案：
2. 解:(1)$∠BCD+∠ACE=180°.$理由如下:
$\because ∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD,$
$∠ACE=∠ECD-∠ACD=90°-∠ACD,$
$\therefore ∠BCD+∠ACE=90°+∠ACD+90°-∠ACD=180°.$
(2)设$∠ACE=α$,则$∠BCD=3α,$
$\because ∠BCD+∠ACE=180°,$
$\therefore 3α+α=180°,\therefore α=45°,$
$\therefore ∠BCD=3α=135°.$
(3)分两种情况:
①如答图①,
$\because AB// CE,\therefore ∠BCE+∠B=180°,$
$\because ∠B=60°,\therefore ∠BCE=120°.$
又$\because ∠DCE=90°,$
$\therefore ∠BCD=360°-120°-90°=150°.$
②如答图②,
$\because AB// CE,\therefore ∠BCE=∠B=60°.$
又$\because ∠DCE=90°,$
$\therefore ∠BCD=90°-60°=30°.$
综上所述,$∠BCD$等于$150°$或$30°$时,$CE// AB.$
2. 解:(1)$∠BCD+∠ACE=180°.$理由如下:
$\because ∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD,$
$∠ACE=∠ECD-∠ACD=90°-∠ACD,$
$\therefore ∠BCD+∠ACE=90°+∠ACD+90°-∠ACD=180°.$
(2)设$∠ACE=α$,则$∠BCD=3α,$
$\because ∠BCD+∠ACE=180°,$
$\therefore 3α+α=180°,\therefore α=45°,$
$\therefore ∠BCD=3α=135°.$
(3)分两种情况:
①如答图①,
$\because AB// CE,\therefore ∠BCE+∠B=180°,$
$\because ∠B=60°,\therefore ∠BCE=120°.$
又$\because ∠DCE=90°,$
$\therefore ∠BCD=360°-120°-90°=150°.$
②如答图②,
$\because AB// CE,\therefore ∠BCE=∠B=60°.$
又$\because ∠DCE=90°,$
$\therefore ∠BCD=90°-60°=30°.$
综上所述,$∠BCD$等于$150°$或$30°$时,$CE// AB.$