5. 如图,直线MD,CN相交于点O,OA是$∠ MOC$内的一条射线,OB是$∠ NOD$内的一条射线,
$∠ MON=70°$.
(1)若$∠ BOD=\frac{1}{2}∠ COD$,求$∠ BON$的度数;
(2)若$∠ AOD=2∠ BOD$,$∠ BOC=3∠ AOC$,求$∠ BON$的度数.
$∠ MON=70°$.
(1)若$∠ BOD=\frac{1}{2}∠ COD$,求$∠ BON$的度数;
(2)若$∠ AOD=2∠ BOD$,$∠ BOC=3∠ AOC$,求$∠ BON$的度数.
答案：5.解:(1)
∵∠MON=70°,
∴∠COD=∠MON=70°.
∵∠BOD=$\frac{1}{2}$∠COD,
∴∠BOD=$\frac{1}{2}$×70°=35°,
∴∠BON=180°-∠MON-∠BOD=180°-70°-35°=
75°.
(2)设∠AOC=x,则∠BOC=3x,
∵∠COD=∠MON=70°,
∴∠BOD=∠BOC-∠COD=3x-70°,
∠AOD=∠AOC+∠COD=x+70°.
∵∠AOD=2∠BOD,
∴x+70°=2(3x-70°),
解得x=42°,
∴∠BOD=3x-70°=3×42°-70°=56°,
∴∠BON=180°-∠MON-∠BOD=180°-70°-
56°=54°.
∵∠MON=70°,
∴∠COD=∠MON=70°.
∵∠BOD=$\frac{1}{2}$∠COD,
∴∠BOD=$\frac{1}{2}$×70°=35°,
∴∠BON=180°-∠MON-∠BOD=180°-70°-35°=
75°.
(2)设∠AOC=x,则∠BOC=3x,
∵∠COD=∠MON=70°,
∴∠BOD=∠BOC-∠COD=3x-70°,
∠AOD=∠AOC+∠COD=x+70°.
∵∠AOD=2∠BOD,
∴x+70°=2(3x-70°),
解得x=42°,
∴∠BOD=3x-70°=3×42°-70°=56°,
∴∠BON=180°-∠MON-∠BOD=180°-70°-
56°=54°.
6. 如图,射线OC,OD把$∠ AOB$分成三个角,且度数之比是$∠ AOC:∠ COD:∠ DOB=2:3:4$,射
线OM平分$∠ AOC$,射线ON平分$∠ BOD$.
(1)若$∠ AOB=144°$,求$∠ COM$的度数;
(2)若$OM⊥ ON$,求$∠ COD$的度数.
线OM平分$∠ AOC$,射线ON平分$∠ BOD$.
(1)若$∠ AOB=144°$,求$∠ COM$的度数;
(2)若$OM⊥ ON$,求$∠ COD$的度数.
答案：6.解:设∠AOC=2x,则∠COD=3x,∠DOB=4x.
(1)
∵∠AOB=144°,
∴2x+3x+4x=144°,
∴x=16°,
∴∠AOC=2x=32°.
∵OM平分∠AOC,
∴∠COM=$\frac{1}{2}$∠AOC=16°.
(2)
∵OM平分∠AOC,ON平分∠BOD,
∴∠MOC=x,∠NOD=2x,
∴∠MON=x+3x+2x=6x.
∵OM⊥ON,
∴∠MON=90°,
∴6x=90°,
∴x=15°,
∴∠COD=3x=45°.
(1)
∵∠AOB=144°,
∴2x+3x+4x=144°,
∴x=16°,
∴∠AOC=2x=32°.
∵OM平分∠AOC,
∴∠COM=$\frac{1}{2}$∠AOC=16°.
(2)
∵OM平分∠AOC,ON平分∠BOD,
∴∠MOC=x,∠NOD=2x,
∴∠MON=x+3x+2x=6x.
∵OM⊥ON,
∴∠MON=90°,
∴6x=90°,
∴x=15°,
∴∠COD=3x=45°.
7. (2024·吉林月考)如图,直线AB,CD相交于点O,作$∠ DOE=∠ BOD$,OF平分$∠ AOE$.
(1)判断OF与OD的位置关系;
(2)若$∠ AOC:∠ AOD=2:7$,$OG⊥ OE$,求$∠ GOF$的度数.
(1)判断OF与OD的位置关系;
(2)若$∠ AOC:∠ AOD=2:7$,$OG⊥ OE$,求$∠ GOF$的度数.
答案：
7.解:(1)
∵OF平分∠AOE,
∴∠AOF=∠EOF=$\frac{1}{2}$∠AOE.
∵∠EOD=∠BOD,
∴∠EOD=$\frac{1}{2}$∠EOB,
∴∠FOD=∠FOE+∠EOD=$\frac{1}{2}$∠AOE+$\frac{1}{2}$∠EOB=
$\frac{1}{2}$(∠AOE+∠EOB)=$\frac{1}{2}$∠AOB=90°,
∴OF⊥OD.
(2)
∵∠AOC:∠AOD=2:7,∠AOC+∠AOD=180°,
∴∠AOC=40°,∠AOD=140°,
∴∠EOD=∠BOD=∠AOC=40°.
由(1)知∠FOD=90°,
∴∠EOF=∠FOD-∠EOD=
90°-40°=50°.
当OG在直线AB的上方时,如答图①,
∵OG⊥OE,
∴∠GOE=90°,
∴∠GOF=∠GOE-∠EOF=40°;
当OG在直线AB的下方时,如答图②,
∵OG⊥OE,
∴∠GOE=90°,
∴∠GOF=∠GOE+∠EOF=140°.
综上,∠GOF的度数为40°或140°.
第7题答图
7.解:(1)
∵OF平分∠AOE,
∴∠AOF=∠EOF=$\frac{1}{2}$∠AOE.
∵∠EOD=∠BOD,
∴∠EOD=$\frac{1}{2}$∠EOB,
∴∠FOD=∠FOE+∠EOD=$\frac{1}{2}$∠AOE+$\frac{1}{2}$∠EOB=
$\frac{1}{2}$(∠AOE+∠EOB)=$\frac{1}{2}$∠AOB=90°,
∴OF⊥OD.
(2)
∵∠AOC:∠AOD=2:7,∠AOC+∠AOD=180°,
∴∠AOC=40°,∠AOD=140°,
∴∠EOD=∠BOD=∠AOC=40°.
由(1)知∠FOD=90°,
∴∠EOF=∠FOD-∠EOD=
90°-40°=50°.
当OG在直线AB的上方时,如答图①,
∵OG⊥OE,
∴∠GOE=90°,
∴∠GOF=∠GOE-∠EOF=40°;
当OG在直线AB的下方时,如答图②,
∵OG⊥OE,
∴∠GOE=90°,
∴∠GOF=∠GOE+∠EOF=140°.
综上,∠GOF的度数为40°或140°.
第7题答图