4. 在平面直角坐标系中,$O$为原点,点$A(0,2),B(-2,0),C(4,0).$
(1)如图①,三角形$ABC$的面积为
(2)如图②,将点$B$向右平移7个单位长度,再向上平移4个单位长度,得到对应点$D.$
①求三角形$ACD$的面积;
②点$P(m,3)$是一动点,若三角形$PAO$的面积等于三角形$CAO$的面积,请求点$P$的坐标.
(1)如图①,三角形$ABC$的面积为
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.(2)如图②,将点$B$向右平移7个单位长度,再向上平移4个单位长度,得到对应点$D.$
①求三角形$ACD$的面积;
②点$P(m,3)$是一动点,若三角形$PAO$的面积等于三角形$CAO$的面积,请求点$P$的坐标.
答案：4.(1)6
(2)解:①由题意得点D的坐标为(5,4),连接OD.
S$_{三角形ACD}$=S$_{三角形AOD}$+S$_{三角形COD}$-S$_{三角形AOC}$=$\frac{1}{2}$×2×5+$\frac{1}{2}$×4×4-$\frac{1}{2}$×2×4=9.
②
∵S$_{三角形CAO}$=$\frac{1}{2}$×2×4=4,S$_{三角形PAO}$=S$_{三角形CAO}$,
∴$\frac{1}{2}$×2|m|=4,
∴m=±4,
∴点P的坐标为(-4,3)或(4,3).
(2)解:①由题意得点D的坐标为(5,4),连接OD.
S$_{三角形ACD}$=S$_{三角形AOD}$+S$_{三角形COD}$-S$_{三角形AOC}$=$\frac{1}{2}$×2×5+$\frac{1}{2}$×4×4-$\frac{1}{2}$×2×4=9.
②
∵S$_{三角形CAO}$=$\frac{1}{2}$×2×4=4,S$_{三角形PAO}$=S$_{三角形CAO}$,
∴$\frac{1}{2}$×2|m|=4,
∴m=±4,
∴点P的坐标为(-4,3)或(4,3).
5. 如图,在平面直角坐标系中,$A(a,c),B(b,0)$,且$a,b$满足$|a+2|+\sqrt{4-b}=0$,$c$是$\sqrt{10}$的整数部分,过点$A$作$AC⊥x$轴于点$C$,$AB$交$y$轴于点$D.$
(1)求$A,B,C$三点的坐标.
(2)坐标轴上是否存在点$P$(点$P$与点$C$不重合),使三角形$ABP$与三角形$ABC$的面积相等?若存在,请求点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求$A,B,C$三点的坐标.
(2)坐标轴上是否存在点$P$(点$P$与点$C$不重合),使三角形$ABP$与三角形$ABC$的面积相等?若存在,请求点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.
答案：5.解:(1)
∵|a+2|+$\sqrt{4-b}$=0,
∴a+2=0,4-b=0,
解得a=-2,b=4.
∵3＜$\sqrt{10}$＜4,c是$\sqrt{10}$的整数部分,
∴c=3.
又
∵AC⊥BC,
∴A(-2,3),B(4,0),C(-2,0).
(2)
∵A(-2,3),B(4,0),C(-2,0),
∴AC=3,BC=6,
∴S$_{三角形ABC}$=$\frac{1}{2}$×6×3=9,易得D(0,2).
当点P在x轴上时,设P(x,0),则BP=|x-4|,
∴S$_{三角形ABP}$=$\frac{1}{2}$×3×|x-4|=9,
解得x=10或x=-2(不符合题意,舍去),
∴点P的坐标为(10,0);
当点P在y轴上时,设P(0,y),
则DP=|y-2|,
∴$\frac{1}{2}$|y-2|×(4+2)=9,
解得y=5或y=-1,
∴点P的坐标为(0,-1)或(0,5).
综上可得,点P的坐标为(10,0),(0,5)或(0,-1).
∵|a+2|+$\sqrt{4-b}$=0,
∴a+2=0,4-b=0,
解得a=-2,b=4.
∵3＜$\sqrt{10}$＜4,c是$\sqrt{10}$的整数部分,
∴c=3.
又
∵AC⊥BC,
∴A(-2,3),B(4,0),C(-2,0).
(2)
∵A(-2,3),B(4,0),C(-2,0),
∴AC=3,BC=6,
∴S$_{三角形ABC}$=$\frac{1}{2}$×6×3=9,易得D(0,2).
当点P在x轴上时,设P(x,0),则BP=|x-4|,
∴S$_{三角形ABP}$=$\frac{1}{2}$×3×|x-4|=9,
解得x=10或x=-2(不符合题意,舍去),
∴点P的坐标为(10,0);
当点P在y轴上时,设P(0,y),
则DP=|y-2|,
∴$\frac{1}{2}$|y-2|×(4+2)=9,
解得y=5或y=-1,
∴点P的坐标为(0,-1)或(0,5).
综上可得,点P的坐标为(10,0),(0,5)或(0,-1).