11.(每小题6分,共12分)计算:
(1)$\frac{2}{b}\sqrt{ab}· (-\frac{3}{2}\sqrt{a^{3}b})÷\frac{1}{3}\sqrt{\frac{b}{a}}(a＞0)$; (2)
(1)$\frac{2}{b}\sqrt{ab}· (-\frac{3}{2}\sqrt{a^{3}b})÷\frac{1}{3}\sqrt{\frac{b}{a}}(a＞0)$; (2)
答案：11.解:(1)原式=$-\frac{3}{b}· a^{2}b÷\frac{1}{3}\sqrt{\frac{b}{a}}=-9a^{2}\sqrt{\frac{a}{b}}$
$=-\frac{9a^{2}}{b}\sqrt{ab}$.
(2)原式=$\sqrt{\frac{ab}{(a+b)(a-b)}·\frac{a-b}{a+b}·\frac{a+b}{a}}$
$=\sqrt{\frac{b}{a+b}}=\frac{\sqrt{ab+b^{2}}}{a+b}$.
$=-\frac{9a^{2}}{b}\sqrt{ab}$.
(2)原式=$\sqrt{\frac{ab}{(a+b)(a-b)}·\frac{a-b}{a+b}·\frac{a+b}{a}}$
$=\sqrt{\frac{b}{a+b}}=\frac{\sqrt{ab+b^{2}}}{a+b}$.
12.(12分)(2025·泉州期末)阅读材料:
当$a＞0,b＞0$时,$\because (\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}≥ 0$,
$\therefore a-2\sqrt{ab}+b≥ 0$.
$\therefore a+b≥ 2\sqrt{ab}$.
结论:$a+b≥ 2\sqrt{ab}(a＞0,b＞0)$,当$a=b$时,等号成立.
你可以直接利用上述结论解答下列问题:
(1)为做好防范某种病毒工作,某校在一片空地建了一个$10\ \mathrm{m}^{2}$的长方形隔离室,求这个长方形周长的最小值.
(2)若正数a,b满足$ab=1$,求$y=\frac{a}{a+4}+\frac{b}{b+1}$的最小值.
当$a＞0,b＞0$时,$\because (\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}≥ 0$,
$\therefore a-2\sqrt{ab}+b≥ 0$.
$\therefore a+b≥ 2\sqrt{ab}$.
结论:$a+b≥ 2\sqrt{ab}(a＞0,b＞0)$,当$a=b$时,等号成立.
你可以直接利用上述结论解答下列问题:
(1)为做好防范某种病毒工作,某校在一片空地建了一个$10\ \mathrm{m}^{2}$的长方形隔离室,求这个长方形周长的最小值.
(2)若正数a,b满足$ab=1$,求$y=\frac{a}{a+4}+\frac{b}{b+1}$的最小值.
答案：12.解:(1)设长方形的长和宽分别为a,b,
则$a＞0,b＞0,ab=10$.
由题意知,$a+b≥2\sqrt{ab}$,即$a+b≥2\sqrt{10}$.
$\therefore$长方形的周长=$2(a+b)≥4\sqrt{10}$,当$a=b=\sqrt{10}$时,
等号成立.
$\therefore$长方形周长的最小值为$4\sqrt{10}$.
(2)$y=\frac{a}{a+4}+\frac{b}{b+1}=\frac{a(b+1)+b(a+4)}{(a+4)(b+1)}=$
$\frac{ab+a+ab+4b}{ab+a+4b+4}=\frac{a+4b+2}{a+4b+5}=\frac{a+4b+5-3}{a+4b+5}=1-\frac{3}{a+4b+5}$,
$\because a＞0,b＞0,ab=1$,$\therefore a+4b≥2\sqrt{a·4b}=4$.
$\therefore a+4b+5≥9$,$\frac{3}{a+4b+5}≤\frac{1}{3}$.$\therefore1-\frac{3}{a+4b+5}≥\frac{2}{3}$.
$\therefore y=\frac{a}{a+4}+\frac{b}{b+1}$的最小值为$\frac{2}{3}$.
则$a＞0,b＞0,ab=10$.
由题意知,$a+b≥2\sqrt{ab}$,即$a+b≥2\sqrt{10}$.
$\therefore$长方形的周长=$2(a+b)≥4\sqrt{10}$,当$a=b=\sqrt{10}$时,
等号成立.
$\therefore$长方形周长的最小值为$4\sqrt{10}$.
(2)$y=\frac{a}{a+4}+\frac{b}{b+1}=\frac{a(b+1)+b(a+4)}{(a+4)(b+1)}=$
$\frac{ab+a+ab+4b}{ab+a+4b+4}=\frac{a+4b+2}{a+4b+5}=\frac{a+4b+5-3}{a+4b+5}=1-\frac{3}{a+4b+5}$,
$\because a＞0,b＞0,ab=1$,$\therefore a+4b≥2\sqrt{a·4b}=4$.
$\therefore a+4b+5≥9$,$\frac{3}{a+4b+5}≤\frac{1}{3}$.$\therefore1-\frac{3}{a+4b+5}≥\frac{2}{3}$.
$\therefore y=\frac{a}{a+4}+\frac{b}{b+1}$的最小值为$\frac{2}{3}$.