1.(2025·烟台期末)如图,在平面直角坐标系中,直线$l$:$y=2x+b$,点$A,B$的坐标分别为$(1,1),(1,4)$.
(1)直线$l$与线段$AB$有公共点,则$b$的取值范围是
(2)若点$C(2,0)$,直线$l$与$△ ABC$的边有公共点,则$b$的取值范围是
(1)直线$l$与线段$AB$有公共点,则$b$的取值范围是
-1≤b≤2
;(2)若点$C(2,0)$,直线$l$与$△ ABC$的边有公共点,则$b$的取值范围是
-4≤b≤2
.答案：1. (1) $-1≤ b≤ 2$ (2) $-4≤ b≤ 2$
2.(2025·海门期末)如图,在平面直角坐标系中,过点$B(6,0)$的直线$AB$与直线$OA$相交于点$A(4,2)$.
(1)求直线$AB$的函数解析式;
(2)求$△ OAC$的面积;
(3)动点$M$在线段$OA$上运动,若$△ OMC$的面积是$△ OAC$的面积的$\frac{1}{3}$,求点$M$的坐标.
(1)求直线$AB$的函数解析式;
(2)求$△ OAC$的面积;
(3)动点$M$在线段$OA$上运动,若$△ OMC$的面积是$△ OAC$的面积的$\frac{1}{3}$,求点$M$的坐标.
答案：2.解:(1)设直线AB的函数解析式为$y=kx+b$,则
$\begin{cases} 6k+b=0,\\ 4k+b=2,\\ \end{cases}$解得$\begin{cases} k=-1,\\ b=6.\\ \end{cases}$
$\therefore$直线AB的函数解析式为$y=-x+6$.
(2)易知直线AB交$y$轴于点$C(0,6)$,于是$OC=6$,
$\because$点$A(4,2)$,$\therefore S_{△ OAC}=\dfrac{1}{2}OC· |x_{A}|=\dfrac{1}{2} × 6× 4=12$.
(3)设直线OA的函数解析式为$y=ax$,则$4a=2$,解得
$a=\dfrac{1}{2}$,$\therefore$直线OA的函数解析式为$y=\dfrac{1}{2}x$.
设$M(m,\dfrac{1}{2}m)$,
$\because △ OMC$的面积是$△ OAC$的面积的$\dfrac{1}{3}$,
$\therefore \dfrac{1}{2}OC· m=\dfrac{1}{2} × 6× m=\dfrac{1}{3} × 12=4$,$\therefore m=\dfrac{4}{3}$,
$\therefore \dfrac{1}{2}m=\dfrac{2}{3}$,$\therefore$点M的坐标为$(\dfrac{4}{3},\dfrac{2}{3})$.
$\begin{cases} 6k+b=0,\\ 4k+b=2,\\ \end{cases}$解得$\begin{cases} k=-1,\\ b=6.\\ \end{cases}$
$\therefore$直线AB的函数解析式为$y=-x+6$.
(2)易知直线AB交$y$轴于点$C(0,6)$,于是$OC=6$,
$\because$点$A(4,2)$,$\therefore S_{△ OAC}=\dfrac{1}{2}OC· |x_{A}|=\dfrac{1}{2} × 6× 4=12$.
(3)设直线OA的函数解析式为$y=ax$,则$4a=2$,解得
$a=\dfrac{1}{2}$,$\therefore$直线OA的函数解析式为$y=\dfrac{1}{2}x$.
设$M(m,\dfrac{1}{2}m)$,
$\because △ OMC$的面积是$△ OAC$的面积的$\dfrac{1}{3}$,
$\therefore \dfrac{1}{2}OC· m=\dfrac{1}{2} × 6× m=\dfrac{1}{3} × 12=4$,$\therefore m=\dfrac{4}{3}$,
$\therefore \dfrac{1}{2}m=\dfrac{2}{3}$,$\therefore$点M的坐标为$(\dfrac{4}{3},\dfrac{2}{3})$.
3.在平面直角坐标系$xOy$中,将点$A(2,1)$先向右平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度得到点$B$.
(1)求直线$AB$的函数解析式;
(2)将直线$AB$
①向右平移6个单位长度;
②向下平移6个单位长度;
③绕点$(0,4)$按逆时针方向旋转$180°$;
④先向左平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度.
(1)求直线$AB$的函数解析式;
(2)将直线$AB$
②③④
可以得到函数$y=-3x+1$的图象.(填写所有正确的序号)①向右平移6个单位长度;
②向下平移6个单位长度;
③绕点$(0,4)$按逆时针方向旋转$180°$;
④先向左平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度.
答案：3.(1)解:将点$A(2,1)$先向右平移1个单位长度,再向下平
移3个单位长度得到点B,则点B的坐标为$(3,-2)$,
设直线AB的函数解析式为$y=kx+b$,
将$A(2,1)$,$B(3,-2)$分别代入$y=kx+b$,
得$\begin{cases} 2k+b=1,\\ 3k+b=-2,\\ \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=-3,\\ b=7,\\ \end{cases}$ $\therefore$直线AB的函数解析式为$y=-3x+7$.
(2)②③④
移3个单位长度得到点B,则点B的坐标为$(3,-2)$,
设直线AB的函数解析式为$y=kx+b$,
将$A(2,1)$,$B(3,-2)$分别代入$y=kx+b$,
得$\begin{cases} 2k+b=1,\\ 3k+b=-2,\\ \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=-3,\\ b=7,\\ \end{cases}$ $\therefore$直线AB的函数解析式为$y=-3x+7$.
(2)②③④