4.我们知道一次函数$y=mx+n$与$y=-mx+n(m≠0)$的图象关于$y$轴对称,所以我们定义:函数$y=mx+n$与$y=-mx+n(m≠0)$互为“M”函数.
(1)请直接写出函数$y=2x+5$的“M”函数;
(2)如果一对“M”函数$y=mx+n$与$y=-mx+n(m＞0)$的图象交于点$A$,且分别与$x$轴交于点$B,C$,如图,若$∠ BAC=90°$,且$△ ABC$的面积是8,求这对“M”函数的解析式;
(3)在(2)的条件下,若点$D$是$y$轴上的一个动点,当$△ ABD$为等腰三角形时,请求出点$D$的坐标.
(1)请直接写出函数$y=2x+5$的“M”函数;
(2)如果一对“M”函数$y=mx+n$与$y=-mx+n(m＞0)$的图象交于点$A$,且分别与$x$轴交于点$B,C$,如图,若$∠ BAC=90°$,且$△ ABC$的面积是8,求这对“M”函数的解析式;
(3)在(2)的条件下,若点$D$是$y$轴上的一个动点,当$△ ABD$为等腰三角形时,请求出点$D$的坐标.
答案：4.解:(1)根据互为"M"函数的定义,得
函数$y=2x+5$的"M"函数为$y=-2x+5$.
(2)$\because y=mx+n$和$y=-mx+n$为一对"M"函数,
$\therefore AB=AC$,
又$\because ∠ BAC=90^{ \circ }$,$\therefore △ ABC$为等腰直角三角形,
$\therefore ∠ ABC= ∠ ACB=45^{ \circ }$.
$\because AO ⊥ BC$,$\therefore AO$为BC边上的中线,
$\therefore OA=OB=OC=\dfrac{1}{2}BC$.
又$\because S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}BC× AO=8$且$OA=\dfrac{1}{2}BC$,
$\therefore AO=2\sqrt{2}$.
$\because A$,$B$,$C$是一次函数$y=mx+n$与$y=-mx+n(m ＞ 0)$
的图象与坐标轴的交点,
$\therefore A(0,n)$,$B(-\dfrac{n}{m},0)$,$C(\dfrac{n}{m},0)$,
$\because OA=OB=n=2\sqrt{2}$,$\therefore \dfrac{n}{m}=2\sqrt{2}$,$\therefore m=1$,
$\therefore y=x+2\sqrt{2}$和$y=-x+2\sqrt{2}$.
(3)由(2)知,$AO=BO=2\sqrt{2}$,
$\therefore AB=4$,$A(0,2\sqrt{2})$,$B(-2\sqrt{2},0)$.
根据等腰三角形的性质,分以下情况.
①以A为顶点,则$AB=AD$,
当点D在点A上方时,$OD=2\sqrt{2}+4$.
当点D在点A下方时,$OD=4-2\sqrt{2}$,
$\therefore D_{1}(0,2\sqrt{2}+4)$,$D_{2}(0,2\sqrt{2}-4)$.
②以B为顶点,则$BA=BD$,
此时点D在$y$轴负半轴上,$\therefore D_{3}(0,-2\sqrt{2})$.
③以D为顶点,则$DA=DB$,
此时D与原点O重合,$\therefore D_{4}(0,0)$.
$\therefore$点D的坐标为$(0,2\sqrt{2}+4)$,$(0,2\sqrt{2}-4)$,$(0,-2\sqrt{2})$
或$(0,0)$.
函数$y=2x+5$的"M"函数为$y=-2x+5$.
(2)$\because y=mx+n$和$y=-mx+n$为一对"M"函数,
$\therefore AB=AC$,
又$\because ∠ BAC=90^{ \circ }$,$\therefore △ ABC$为等腰直角三角形,
$\therefore ∠ ABC= ∠ ACB=45^{ \circ }$.
$\because AO ⊥ BC$,$\therefore AO$为BC边上的中线,
$\therefore OA=OB=OC=\dfrac{1}{2}BC$.
又$\because S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}BC× AO=8$且$OA=\dfrac{1}{2}BC$,
$\therefore AO=2\sqrt{2}$.
$\because A$,$B$,$C$是一次函数$y=mx+n$与$y=-mx+n(m ＞ 0)$
的图象与坐标轴的交点,
$\therefore A(0,n)$,$B(-\dfrac{n}{m},0)$,$C(\dfrac{n}{m},0)$,
$\because OA=OB=n=2\sqrt{2}$,$\therefore \dfrac{n}{m}=2\sqrt{2}$,$\therefore m=1$,
$\therefore y=x+2\sqrt{2}$和$y=-x+2\sqrt{2}$.
(3)由(2)知,$AO=BO=2\sqrt{2}$,
$\therefore AB=4$,$A(0,2\sqrt{2})$,$B(-2\sqrt{2},0)$.
根据等腰三角形的性质,分以下情况.
①以A为顶点,则$AB=AD$,
当点D在点A上方时,$OD=2\sqrt{2}+4$.
当点D在点A下方时,$OD=4-2\sqrt{2}$,
$\therefore D_{1}(0,2\sqrt{2}+4)$,$D_{2}(0,2\sqrt{2}-4)$.
②以B为顶点,则$BA=BD$,
此时点D在$y$轴负半轴上,$\therefore D_{3}(0,-2\sqrt{2})$.
③以D为顶点,则$DA=DB$,
此时D与原点O重合,$\therefore D_{4}(0,0)$.
$\therefore$点D的坐标为$(0,2\sqrt{2}+4)$,$(0,2\sqrt{2}-4)$,$(0,-2\sqrt{2})$
或$(0,0)$.
5.(2025·沭阳期末)(1)如图①,已知等腰$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=BC$,点$C$的坐标为$(0,-2)$,点$A$的坐标为$(4,0)$,求点$B$的坐标.
(2)如图②,直线$l_{1}$:$y=3x+6$分别与$y$轴、$x$轴交于点$A,B$,将直线$l_{1}$绕点$A$顺时针旋转$45°$得到直线$l_{2}$,求直线$l_{2}$的函数解析式.
(3)如图③,点$B(6,4)$,过点$B$作$BA⊥ y$轴于点$A$,作$BC⊥ x$轴于点$C$,$P$为线段$BC$上的一个动点,点$M$在直线$y=x+2$上.问点$A,P,M$能否构成以$AM$为腰的等腰直角三角形? 若能,请直接写出点$M$的坐标;若不能,请说明理由.
(2)如图②,直线$l_{1}$:$y=3x+6$分别与$y$轴、$x$轴交于点$A,B$,将直线$l_{1}$绕点$A$顺时针旋转$45°$得到直线$l_{2}$,求直线$l_{2}$的函数解析式.
(3)如图③,点$B(6,4)$,过点$B$作$BA⊥ y$轴于点$A$,作$BC⊥ x$轴于点$C$,$P$为线段$BC$上的一个动点,点$M$在直线$y=x+2$上.问点$A,P,M$能否构成以$AM$为腰的等腰直角三角形? 若能,请直接写出点$M$的坐标;若不能,请说明理由.
答案：
5.解:(1)$\because A(4,0)$,$C(0,-2)$,$\therefore OA=4$,$OC=2$.
如答图①,过点B作$BE ⊥ y$轴于点E,则$∠ BEC=$$∠ AOC=90^{ \circ }$.
$\because ∠ ACB=90^{ \circ }= ∠ BCE+ ∠ OCA= ∠ OCA+ ∠ OAC$,
$\therefore ∠ BCE= ∠ CAO$.
又$\because AC=BC$,$\therefore △ AOC≌△ CEB(\mathrm{AAS})$,
$\therefore CE=OA=4$,$BE=OC=2$,$\therefore OE=CE-OC=2$,
$\therefore B(-2,2)$.
(2)对于$y=3x+6$,当$x=0$时,$y=6$,$\therefore A(0,6)$,
$\therefore OA=6$;
当$y=0$时,$3x+6=0$,$\therefore x=-2$,$\therefore B(-2,0)$,$\therefore OB=2$.
如答图②,过点B作$BC ⊥ AB$交直线$l_{2}$于点C,过点C作
$CD ⊥ x$轴于点D,
则$∠ ABC=90^{ \circ }$.
$\because ∠ BAC=45^{ \circ }$,$\therefore △ ABC$为等腰直角三角形,
$\therefore AB=BC$.
同(1)可证$△ AOB≌△ BDC$,
$\therefore BD=OA=6$,$CD=OB=2$,
$\therefore OD=8$,$\therefore C(-8,2)$.
设直线$l_{2}$的函数解析式为$y=kx+6$,
将$C(-8,2)$代入,得$-8k+6=2$,解得$k=\dfrac{1}{2}$.
$\therefore$直线$l_{2}$的函数解析式为$y=\dfrac{1}{2}x+6$.
(3)能.点M的坐标为$(-4,-2)$或$(4,6)$.
点拨:如答图③,当点M在AB上方时,过点M作$MD ⊥$$y$轴于点D,交CB的延长线于点N,同(1)可证$△ MDA≌$$△ PNM$,$\therefore MD=PN$,$AD=MN$,设$M(t,t+2)$,则$DM=$$PN=t$,$AD=MN=t+2-4=t-2$,由$DN=DM+MN=$$6$,得$t+t-2=6$,解得$t=4$,故$M(4,6)$.
当点M在AB下方时,同理可得点$M(-4,-2)$.
综上,点M的坐标为$(-4,-2)$或$(4,6)$.
5.解:(1)$\because A(4,0)$,$C(0,-2)$,$\therefore OA=4$,$OC=2$.
如答图①,过点B作$BE ⊥ y$轴于点E,则$∠ BEC=$$∠ AOC=90^{ \circ }$.
$\because ∠ ACB=90^{ \circ }= ∠ BCE+ ∠ OCA= ∠ OCA+ ∠ OAC$,
$\therefore ∠ BCE= ∠ CAO$.
又$\because AC=BC$,$\therefore △ AOC≌△ CEB(\mathrm{AAS})$,
$\therefore CE=OA=4$,$BE=OC=2$,$\therefore OE=CE-OC=2$,
$\therefore B(-2,2)$.
(2)对于$y=3x+6$,当$x=0$时,$y=6$,$\therefore A(0,6)$,
$\therefore OA=6$;
当$y=0$时,$3x+6=0$,$\therefore x=-2$,$\therefore B(-2,0)$,$\therefore OB=2$.
如答图②,过点B作$BC ⊥ AB$交直线$l_{2}$于点C,过点C作
$CD ⊥ x$轴于点D,
则$∠ ABC=90^{ \circ }$.
$\because ∠ BAC=45^{ \circ }$,$\therefore △ ABC$为等腰直角三角形,
$\therefore AB=BC$.
同(1)可证$△ AOB≌△ BDC$,
$\therefore BD=OA=6$,$CD=OB=2$,
$\therefore OD=8$,$\therefore C(-8,2)$.
设直线$l_{2}$的函数解析式为$y=kx+6$,
将$C(-8,2)$代入,得$-8k+6=2$,解得$k=\dfrac{1}{2}$.
$\therefore$直线$l_{2}$的函数解析式为$y=\dfrac{1}{2}x+6$.
(3)能.点M的坐标为$(-4,-2)$或$(4,6)$.
点拨:如答图③,当点M在AB上方时,过点M作$MD ⊥$$y$轴于点D,交CB的延长线于点N,同(1)可证$△ MDA≌$$△ PNM$,$\therefore MD=PN$,$AD=MN$,设$M(t,t+2)$,则$DM=$$PN=t$,$AD=MN=t+2-4=t-2$,由$DN=DM+MN=$$6$,得$t+t-2=6$,解得$t=4$,故$M(4,6)$.
当点M在AB下方时,同理可得点$M(-4,-2)$.
综上,点M的坐标为$(-4,-2)$或$(4,6)$.