三、解答题
9. 如图,Rt△ABC中,∠B=90°,AB=6,BC=4,以斜边AC为底边作等腰三角形ACD,腰AD刚好满足AD//BC,并作腰上的高AE.
(1)求证:AB=AE;
(2)求等腰三角形ACD的腰CD的长.
9. 如图,Rt△ABC中,∠B=90°,AB=6,BC=4,以斜边AC为底边作等腰三角形ACD,腰AD刚好满足AD//BC,并作腰上的高AE.
(1)求证:AB=AE;
(2)求等腰三角形ACD的腰CD的长.
答案：9.(1)证明:$\because DA=DC,\therefore ∠DAC=∠DCA.$
$\because AD// BC,\therefore ∠DAC=∠BCA,\therefore ∠ACB=∠DCA.$
又$\because AE⊥CD,\therefore ∠AEC=90^{\circ },$
$\therefore ∠B=∠AEC=90^{\circ }.$
在$△ ABC$和$△ AEC$中,$\{\begin{array}{l} ∠B=∠AEC,\\ ∠ACB=∠ACE,\\ AC=AC,\end{array} $
$\therefore △ ABC≌ △ AEC(AAS),\therefore AB=AE.$
(2)解:由(1)得$AE=AB=6,CE=CB=4.$
设$DC=x$,则$DA=x,DE=x-4.$
在$Rt△ ADE$中,由勾股定理得$DE^{2}+AE^{2}=DA^{2},$
即$(x-4)^{2}+6^{2}=x^{2}$,解得$x=\frac {13}{2}$,即$CD=\frac {13}{2}.$
$\because AD// BC,\therefore ∠DAC=∠BCA,\therefore ∠ACB=∠DCA.$
又$\because AE⊥CD,\therefore ∠AEC=90^{\circ },$
$\therefore ∠B=∠AEC=90^{\circ }.$
在$△ ABC$和$△ AEC$中,$\{\begin{array}{l} ∠B=∠AEC,\\ ∠ACB=∠ACE,\\ AC=AC,\end{array} $
$\therefore △ ABC≌ △ AEC(AAS),\therefore AB=AE.$
(2)解:由(1)得$AE=AB=6,CE=CB=4.$
设$DC=x$,则$DA=x,DE=x-4.$
在$Rt△ ADE$中,由勾股定理得$DE^{2}+AE^{2}=DA^{2},$
即$(x-4)^{2}+6^{2}=x^{2}$,解得$x=\frac {13}{2}$,即$CD=\frac {13}{2}.$
10. (2025·东城区期末)“儿童散学归来早,忙趁东风放纸鸢.”又到了放风筝的最佳时节.如图,某校八年级(1)班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后,为了测得风筝的垂直高度CE,他们进行了如下操作:①测得水平距离BD的长为15米;②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米;③牵线放风筝的小明拿线的手到地面的距离为1.6米(即AB=DE=1.6米).
(1)求风筝的垂直高度CE;
(2)如果小明想风筝沿CD方向下降12米,则他应该往回收线多少米?
(1)求风筝的垂直高度CE;
(2)如果小明想风筝沿CD方向下降12米,则他应该往回收线多少米?
答案：
10.解:(1)在$Rt△ CDB$中,由勾股定理得$CD=\sqrt {BC^{2}-BD^{2}}=$
$\sqrt {25^{2}-15^{2}}=20$(米),
$\therefore CE=CD+DE=20+1.6=21.6$(米).
$\therefore$风筝的垂直高度$CE$为21.6米.
(2)如答图,由题意得$CM=12$米,从而$DM=8$米.
在$Rt△ BDM$中,$BM=\sqrt {BD^{2}+DM^{2}}=\sqrt {15^{2}+8^{2}}=$
17(米),
$\therefore BC-BM=25-17=8$(米),
$\therefore$他应该往回收线8米.
10.解:(1)在$Rt△ CDB$中,由勾股定理得$CD=\sqrt {BC^{2}-BD^{2}}=$
$\sqrt {25^{2}-15^{2}}=20$(米),
$\therefore CE=CD+DE=20+1.6=21.6$(米).
$\therefore$风筝的垂直高度$CE$为21.6米.
(2)如答图,由题意得$CM=12$米,从而$DM=8$米.
在$Rt△ BDM$中,$BM=\sqrt {BD^{2}+DM^{2}}=\sqrt {15^{2}+8^{2}}=$
17(米),
$\therefore BC-BM=25-17=8$(米),
$\therefore$他应该往回收线8米.
11. 如图①,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D,E是BC边上的任意两点,且∠DAE=45°.
(1)将△ABD绕点A逆时针旋转90°,得到△ACF,请在图①中画出△ACF.
(2)在(1)中,连接EF,探究线段BD,EC和DE之间有怎样的数量关系? 写出猜想,并说明理由.
(3)如图②,M,N分别是正方形ABCD的边BC,CD上的点,且BM+DN=MN,试求∠MAN的大小.
(1)将△ABD绕点A逆时针旋转90°,得到△ACF,请在图①中画出△ACF.
(2)在(1)中,连接EF,探究线段BD,EC和DE之间有怎样的数量关系? 写出猜想,并说明理由.
(3)如图②,M,N分别是正方形ABCD的边BC,CD上的点,且BM+DN=MN,试求∠MAN的大小.
答案：
11.解:(1)完成图形,如答图①.
(2)$DE^{2}=EC^{2}+BD^{2}$.理由:如答图①.
由旋转的性质可知,$AF=AD,CF=BD,∠DAF=90^{\circ }.$
$\because ∠DAE=45^{\circ },\therefore ∠DAE=∠FAE=45^{\circ }.$
在$△ DAE$和$△ FAE$中,$\{\begin{array}{l} AD=AF,\\ ∠DAE=∠FAE=45^{\circ },\\ AE=AE,\end{array} $
$\therefore △ DAE≌ △ FAE(SAS),\therefore EF=DE.$
$\because AB=AC,∠BAC=90^{\circ },\therefore ∠B=∠ACB=45^{\circ },$
$\therefore ∠ACF=45^{\circ },\therefore ∠ECF=∠ACB+∠ACF=90^{\circ },$
$\therefore EF^{2}=EC^{2}+FC^{2},\therefore DE^{2}=EC^{2}+BD^{2}.$
(3)将$△ ADN$绕点A顺时针旋转$90^{\circ }$,得到$△ ABE$,如答图②.
由旋转的性质得$∠NAE=90^{\circ },AN=AE,BE=DN,$
$∠ABE=∠D=90^{\circ },\therefore E,B,M$三点共线.
$\because BM+DN=MN,\therefore BM+BE=ME=MN.$
在$△ AEM$和$△ ANM$中,
$\{\begin{array}{l} AE=AN,\\ EM=NM,\therefore △ AEM≌ △ ANM(SSS),\\ AM=AM,\end{array} $
$\therefore ∠MAE=∠MAN,\therefore ∠MAN=\frac {1}{2}∠NAE=45^{\circ }.$
11.解:(1)完成图形,如答图①.
(2)$DE^{2}=EC^{2}+BD^{2}$.理由:如答图①.
由旋转的性质可知,$AF=AD,CF=BD,∠DAF=90^{\circ }.$
$\because ∠DAE=45^{\circ },\therefore ∠DAE=∠FAE=45^{\circ }.$
在$△ DAE$和$△ FAE$中,$\{\begin{array}{l} AD=AF,\\ ∠DAE=∠FAE=45^{\circ },\\ AE=AE,\end{array} $
$\therefore △ DAE≌ △ FAE(SAS),\therefore EF=DE.$
$\because AB=AC,∠BAC=90^{\circ },\therefore ∠B=∠ACB=45^{\circ },$
$\therefore ∠ACF=45^{\circ },\therefore ∠ECF=∠ACB+∠ACF=90^{\circ },$
$\therefore EF^{2}=EC^{2}+FC^{2},\therefore DE^{2}=EC^{2}+BD^{2}.$
(3)将$△ ADN$绕点A顺时针旋转$90^{\circ }$,得到$△ ABE$,如答图②.
由旋转的性质得$∠NAE=90^{\circ },AN=AE,BE=DN,$
$∠ABE=∠D=90^{\circ },\therefore E,B,M$三点共线.
$\because BM+DN=MN,\therefore BM+BE=ME=MN.$
在$△ AEM$和$△ ANM$中,
$\{\begin{array}{l} AE=AN,\\ EM=NM,\therefore △ AEM≌ △ ANM(SSS),\\ AM=AM,\end{array} $
$\therefore ∠MAE=∠MAN,\therefore ∠MAN=\frac {1}{2}∠NAE=45^{\circ }.$