三、解答题
9. 如图,$O$是$△ ABC$内一点,连接$OB,OC$,线段$AB,OB,OC,AC$的中点分别为$D,E,F,G$,连接$DE,EF,FG,DG$.
(1)判断四边形$DEFG$的形状,并说明理由;
(2)若$M$为$EF$的中点,$OM=2$,$∠ OBC$和$∠ OCB$互余,求线段$BC$的长.
9. 如图,$O$是$△ ABC$内一点,连接$OB,OC$,线段$AB,OB,OC,AC$的中点分别为$D,E,F,G$,连接$DE,EF,FG,DG$.
(1)判断四边形$DEFG$的形状,并说明理由;
(2)若$M$为$EF$的中点,$OM=2$,$∠ OBC$和$∠ OCB$互余,求线段$BC$的长.
答案：9.解:(1)四边形DEFG是平行四边形.
理由如下:
∵E,F分别为线段OB,OC的中点,
$\therefore EF=\frac{1}{2}BC,EF// BC,$
同理$DG=\frac{1}{2}BC,DG// BC,\therefore EF=DG,EF// DG,$
∴四边形DEFG是平行四边形.
(2)$\because ∠OBC$和$∠OCB$互余,$\therefore ∠BOC=90°.$
∵M为EF的中点,$OM=2,$
$\therefore EF=2OM=4,\therefore BC=2EF=8.$
理由如下:
∵E,F分别为线段OB,OC的中点,
$\therefore EF=\frac{1}{2}BC,EF// BC,$
同理$DG=\frac{1}{2}BC,DG// BC,\therefore EF=DG,EF// DG,$
∴四边形DEFG是平行四边形.
(2)$\because ∠OBC$和$∠OCB$互余,$\therefore ∠BOC=90°.$
∵M为EF的中点,$OM=2,$
$\therefore EF=2OM=4,\therefore BC=2EF=8.$
10. (2024·兰州)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$D$是$BC$的中点,$CE// AD$,$AE⊥ AD$,$EF⊥ AC$.
(1)求证:四边形$ADCE$是矩形;
(2)若$BC=4$,$CE=3$,求$EF$的长.
(1)求证:四边形$ADCE$是矩形;
(2)若$BC=4$,$CE=3$,求$EF$的长.
答案：10.(1)证明:
∵在$△ABC$中,$AB=AC$,D是BC的中点,
$\therefore AD⊥BC$,即$∠ADC=∠ADB=90°.$
$\because CE// AD,\therefore ∠ECD=∠ADB=90°,$
$\because AE⊥AD,\therefore ∠EAD=90°,$
$\therefore ∠ADC=∠ECD=∠EAD=90°,$
∴四边形ADCE是矩形.
(2)解:
∵在$△ABC$中,$AB=AC$,D是BC的中点,$BC=$
4,$\therefore BD=CD=\frac{1}{2}BC=2,$
由(1)可知,四边形ADCE是矩形,
$\therefore AE=CD=2,∠AEC=90°.$
在$Rt△AEC$中,$AE=2,CE=3,$
由勾股定理得$AC=\sqrt{AE^{2}+CE^{2}}=\sqrt{13}.$
$\because EF⊥AC,\therefore S_{△AEC}=\frac{1}{2}AC· EF=\frac{1}{2}AE· CE,$
$\therefore EF=\frac{AE· CE}{AC}=\frac{2×3}{\sqrt{13}}=\frac{6\sqrt{13}}{13}.$
∵在$△ABC$中,$AB=AC$,D是BC的中点,
$\therefore AD⊥BC$,即$∠ADC=∠ADB=90°.$
$\because CE// AD,\therefore ∠ECD=∠ADB=90°,$
$\because AE⊥AD,\therefore ∠EAD=90°,$
$\therefore ∠ADC=∠ECD=∠EAD=90°,$
∴四边形ADCE是矩形.
(2)解:
∵在$△ABC$中,$AB=AC$,D是BC的中点,$BC=$
4,$\therefore BD=CD=\frac{1}{2}BC=2,$
由(1)可知,四边形ADCE是矩形,
$\therefore AE=CD=2,∠AEC=90°.$
在$Rt△AEC$中,$AE=2,CE=3,$
由勾股定理得$AC=\sqrt{AE^{2}+CE^{2}}=\sqrt{13}.$
$\because EF⊥AC,\therefore S_{△AEC}=\frac{1}{2}AC· EF=\frac{1}{2}AE· CE,$
$\therefore EF=\frac{AE· CE}{AC}=\frac{2×3}{\sqrt{13}}=\frac{6\sqrt{13}}{13}.$
11. 已知正方形$ABCD$,点$F$是射线$DC$上一动点(不与点$C,D$重合).作直线$AF$交直线$BC$于点$E$,交$BD$于点$H$,连接$CH$,过点$C$作$CG⊥ HC$交$AE$于点$G$.
(1)若点$F$在边$CD$上,如图.
①证明:$∠ DAH=∠ DCH$;
②猜想$△ GFC$的形状并说明理由.
(2)取$DF$的中点$M$,连接$MG$.若$MG=2.5$,正方形的边长为4,求$BE$的长.
(1)若点$F$在边$CD$上,如图.
①证明:$∠ DAH=∠ DCH$;
②猜想$△ GFC$的形状并说明理由.
(2)取$DF$的中点$M$,连接$MG$.若$MG=2.5$,正方形的边长为4,求$BE$的长.
答案：
11.(1)①证明:
∵四边形ABCD是正方形,
$\therefore ∠ADB=∠CDB=45°,DA=DC.$
在$△DAH$和$△DCH$中,$\{\begin{array}{l} DA=DC,\\ ∠ADH=∠CDH,\\ DH=DH,\end{array} $
$\therefore △DAH≌ △DCH,\therefore ∠DAH=∠DCH.$
②解:$△GFC$是等腰三角形.
理由:由①知$∠DAF=∠DCH.$
$\because CG⊥HC,\therefore ∠FCG+∠DCH=90°,$
$\therefore ∠FCG+∠DAF=90°.$
$\because ∠DFA+∠DAF=90°,∠DFA=∠CFG,$
$\therefore ∠CFG=∠FCG,\therefore GF=GC,$
$\therefore △GFC$是等腰三角形.
(2)解:如图①,当点F在线段CD上时,连接DE.
$\because ∠GFC=∠GCF,∠GEC+∠GFC=90°,∠GCF+$
$∠GCE=90°,\therefore ∠GCE=∠GEC,\therefore EG=GC=FG.$
$\because FG=GE,FM=MD,\therefore DE=2MG=5.$
在$Rt△DCE$中,$CE=\sqrt{DE^{2}-DC^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=3,$
$\therefore BE=BC+CE=4+3=7.$
如图②,当点F在线段DC的延长线上时,连接DE.
同法可证GM是$△DEF$的中位线,$\therefore DE=2GM=5,$
在$Rt△DCE$中,$CE=\sqrt{DE^{2}-DC^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=3,$
$\therefore BE=BC-CE=4-3=1.$
综上所述,BE的长为7或1.
11.(1)①证明:
∵四边形ABCD是正方形,
$\therefore ∠ADB=∠CDB=45°,DA=DC.$
在$△DAH$和$△DCH$中,$\{\begin{array}{l} DA=DC,\\ ∠ADH=∠CDH,\\ DH=DH,\end{array} $
$\therefore △DAH≌ △DCH,\therefore ∠DAH=∠DCH.$
②解:$△GFC$是等腰三角形.
理由:由①知$∠DAF=∠DCH.$
$\because CG⊥HC,\therefore ∠FCG+∠DCH=90°,$
$\therefore ∠FCG+∠DAF=90°.$
$\because ∠DFA+∠DAF=90°,∠DFA=∠CFG,$
$\therefore ∠CFG=∠FCG,\therefore GF=GC,$
$\therefore △GFC$是等腰三角形.
(2)解:如图①,当点F在线段CD上时,连接DE.
$\because ∠GFC=∠GCF,∠GEC+∠GFC=90°,∠GCF+$
$∠GCE=90°,\therefore ∠GCE=∠GEC,\therefore EG=GC=FG.$
$\because FG=GE,FM=MD,\therefore DE=2MG=5.$
在$Rt△DCE$中,$CE=\sqrt{DE^{2}-DC^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=3,$
$\therefore BE=BC+CE=4+3=7.$
如图②,当点F在线段DC的延长线上时,连接DE.
同法可证GM是$△DEF$的中位线,$\therefore DE=2GM=5,$
在$Rt△DCE$中,$CE=\sqrt{DE^{2}-DC^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=3,$
$\therefore BE=BC-CE=4-3=1.$
综上所述,BE的长为7或1.