8. 在$△ ABC$中，$AB=4\sqrt{5}$，$AC=5$，高$AD=4$，则底边$BC$的长是
11或5
.答案：8.11或5
9. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=16$，$BC=12$，$AB$的垂直平分线分别交$AB$，$AC$于点$D$，$E$. 求$AB$，$EC$的长.
答案：
9.解:如答图,连接BE.
在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=
16,BC=12,
∴AB=$\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$=20.
∵AB的垂直平分线分别交AB,
AC于点D,E,
∴AE=BE.
设EC=x,则BE=AE=16-x.
∵在Rt△BCE中,∠C=90°,BC=12,
∴$(16-x)^{2}=12^{2}+x^{2}$,解得x=$\frac{7}{2}$,即EC=$\frac{7}{2}$.
9.解:如答图,连接BE.
在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=
16,BC=12,
∴AB=$\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$=20.
∵AB的垂直平分线分别交AB,
AC于点D,E,
∴AE=BE.
设EC=x,则BE=AE=16-x.
∵在Rt△BCE中,∠C=90°,BC=12,
∴$(16-x)^{2}=12^{2}+x^{2}$,解得x=$\frac{7}{2}$,即EC=$\frac{7}{2}$.
10. 如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“美丽三角形”.
(1)如图①，在$△ ABC$中，$AB=AC=2\sqrt{5}$，$BC=4$，求证:$△ ABC$是“美丽三角形”；
(2)如图②，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=4\sqrt{3}$，若$△ ABC$是“美丽三角形”，求$BC$的长.
(1)如图①，在$△ ABC$中，$AB=AC=2\sqrt{5}$，$BC=4$，求证:$△ ABC$是“美丽三角形”；
(2)如图②，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=4\sqrt{3}$，若$△ ABC$是“美丽三角形”，求$BC$的长.
答案：
10.(1)证明:过点A作AD⊥BC于点D,如答图①.
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=2.
由勾股定理得,AD=$\sqrt{AB^{2}-BD^{2}}$=4,
∴AD=BC,即△ABC是"美丽三角形".
(2)解:如答图②,分别作AC,BC边上的中线BD,AE.
当AC边上的中线BD等于AC时,
BC=$\sqrt{BD^{2}-CD^{2}}$=6.
当BC边上的中线AE等于BC时,$AC^{2}=AE^{2}-CE^{2}$,即
$BC^{2}-\left ( \frac{1}{2}BC \right )^{2}=(4\sqrt{3})^{2}$,
∴BC=8.
在直角三角形中,易知斜边AB上的中线不可能等
于AB.
综上所述,BC的长是6或8.
10.(1)证明:过点A作AD⊥BC于点D,如答图①.
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=2.
由勾股定理得,AD=$\sqrt{AB^{2}-BD^{2}}$=4,
∴AD=BC,即△ABC是"美丽三角形".
(2)解:如答图②,分别作AC,BC边上的中线BD,AE.
当AC边上的中线BD等于AC时,
BC=$\sqrt{BD^{2}-CD^{2}}$=6.
当BC边上的中线AE等于BC时,$AC^{2}=AE^{2}-CE^{2}$,即
$BC^{2}-\left ( \frac{1}{2}BC \right )^{2}=(4\sqrt{3})^{2}$,
∴BC=8.
在直角三角形中,易知斜边AB上的中线不可能等
于AB.
综上所述,BC的长是6或8.
11. (2025·松江区期末)已知:在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CA=CB$. 点$D$，$E$在线段$AB$上.
(1)如图①，如果$CD=CE$，求证:$AD=BE$；
(2)如图②，如果$∠ DCE=45°$，求证:$DE^{2}=AD^{2}+BE^{2}$.
(1)如图①，如果$CD=CE$，求证:$AD=BE$；
(2)如图②，如果$∠ DCE=45°$，求证:$DE^{2}=AD^{2}+BE^{2}$.
答案：
11.证明:(1)如答图①,过点C作CF⊥AB于点F.
∵CA=CB,CD=CE,CF⊥AB,
∴AF=BF,DF=EF.
∴AF-DF=BF-EF,即AD=BE.
(2)如答图②,过点C作CF⊥CD,并使CF=CD,连接
BF,EF,则∠DCF=∠ACB=90°,
∴∠ACD=∠BCF.
又
∵CA=CB,
∴△ACD≌△BCF(SAS).
∴BF=AD,∠A=∠CBF=∠ABC=45°.
∵∠DCE=45°,∠DCF=90°,
∴∠ECF=∠DCE=45°.
又
∵CE=CE,CD=CF,
∴△DCE≌△FCE(SAS).
∴EF=DE.
∵∠EBF=∠ABC+∠CBF=90°,
∴$EF^{2}=BF^{2}+BE^{2}$,
∴$DE^{2}=AD^{2}+BE^{2}$.
11.证明:(1)如答图①,过点C作CF⊥AB于点F.
∵CA=CB,CD=CE,CF⊥AB,
∴AF=BF,DF=EF.
∴AF-DF=BF-EF,即AD=BE.
(2)如答图②,过点C作CF⊥CD,并使CF=CD,连接
BF,EF,则∠DCF=∠ACB=90°,
∴∠ACD=∠BCF.
又
∵CA=CB,
∴△ACD≌△BCF(SAS).
∴BF=AD,∠A=∠CBF=∠ABC=45°.
∵∠DCE=45°,∠DCF=90°,
∴∠ECF=∠DCE=45°.
又
∵CE=CE,CD=CF,
∴△DCE≌△FCE(SAS).
∴EF=DE.
∵∠EBF=∠ABC+∠CBF=90°,
∴$EF^{2}=BF^{2}+BE^{2}$,
∴$DE^{2}=AD^{2}+BE^{2}$.