1. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ B=90°$,$AB=6$,$BC=9$,将$△ ABC$折叠,使点$C$与$AB$的中点$D$重合,折痕交$AC$于点$M$,交$BC$于点$N$,则线段$BN$的长为 (
A.3
B.4
C.5
D.6
B
)A.3
B.4
C.5
D.6
答案：1. B
2. 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=6$,$BC=8$,点$D$,$E$分别在$AC$,$BC$上且$DE// AB$,将$△ ABC$沿$DE$折叠,使点$C$落在斜边$AB$上的点$F$处,则$AF$的长是 (
A.3.6
B.4
C.4.8
D.6.4
A
)A.3.6
B.4
C.4.8
D.6.4
答案：2. A
3. (2024·甘孜州)如图,$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=8$,$BC=4$,折叠$△ ABC$,使点$A$与点$B$重合,折痕$DE$与$AB$交于点$D$,与$AC$交于点$E$,则$CE$的长为
3
。答案：3. 3
4. 如图,折叠等腰三角形纸片$ABC$,使点$C$落在$AB$边上的点$F$处,折痕为$DE$.已知$AB=AC$,$FD⊥ BC$.
(1)求证:$∠ AFE=90°$.
(2)$AF=4$,$BF=6$,求$AE$的长.
(1)求证:$∠ AFE=90°$.
(2)$AF=4$,$BF=6$,求$AE$的长.
答案：4.(1)证明:由折叠的性质,知∠C=∠EFD,EF=CE.
∵AB=AC,
∴∠B=∠C=∠EFD.
∵FD⊥BC,
∴∠B+∠BFD=90°,
∴∠EFD+∠BFD=90°,
∴∠AFE=180°−∠EFD−∠BFD=90°.
(2)解:
∵AF=4,BF=6,AB=AC,
∴AC=AB=4+6=10,
∴EF=CE=AC−AE=10−AE.
在Rt△AFE中,$AF^{2}+EF^{2}=AE^{2}$,
∴$4^{2}+(10-AE)^{2}=AE^{2}$,解得$AE=\frac{29}{5}$,
即AE的长为$\frac{29}{5}$.
∵AB=AC,
∴∠B=∠C=∠EFD.
∵FD⊥BC,
∴∠B+∠BFD=90°,
∴∠EFD+∠BFD=90°,
∴∠AFE=180°−∠EFD−∠BFD=90°.
(2)解:
∵AF=4,BF=6,AB=AC,
∴AC=AB=4+6=10,
∴EF=CE=AC−AE=10−AE.
在Rt△AFE中,$AF^{2}+EF^{2}=AE^{2}$,
∴$4^{2}+(10-AE)^{2}=AE^{2}$,解得$AE=\frac{29}{5}$,
即AE的长为$\frac{29}{5}$.
5. (2025·石景山区期末)如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$CA=4$,$CB=6$,$D$是$BC$的中点,$E$是$AC$边上一点,连接$DA$,$DE$.将$△ DCE$沿直线$DE$翻折,点$C$恰好落在$DA$上的点$F$处.
(1)求$AD$的长;
(2)求$CE$的长.
(1)求$AD$的长;
(2)求$CE$的长.
答案：5.解:(1)
∵CB=6,D是BC的中点,
∴$CD=\frac{1}{2}BC=3$.
在Rt△ACD中,由勾股定理,得$AD=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$.
(2)由折叠知EF=EC,DF=CD=3,∠EFD=∠C=90°.
设CE=EF=x,设AE=AC−CE=4−x,AF=AD−DF
=5−3=2.
在Rt△AEF中,由勾股定理,得$AE^{2}=AF^{2}+EF^{2}$,
∴$(4-x)^{2}=x^{2}+2^{2}$,解得$x=\frac{3}{2}$.
∴CE的长为$\frac{3}{2}$.
∵CB=6,D是BC的中点,
∴$CD=\frac{1}{2}BC=3$.
在Rt△ACD中,由勾股定理,得$AD=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$.
(2)由折叠知EF=EC,DF=CD=3,∠EFD=∠C=90°.
设CE=EF=x,设AE=AC−CE=4−x,AF=AD−DF
=5−3=2.
在Rt△AEF中,由勾股定理,得$AE^{2}=AF^{2}+EF^{2}$,
∴$(4-x)^{2}=x^{2}+2^{2}$,解得$x=\frac{3}{2}$.
∴CE的长为$\frac{3}{2}$.