8. (2024·广州)如图,$□ ABCD$中,$BC=2$,点$E$在$DA$的延长线上,$BE=3$,若$BA$平分$∠ EBC$,则$DE=\underline{\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}}$.
5
答案：8. 5
9. 在平面直角坐标系$xOy$中,$□ ABCO$的顶点$A$,$C$的坐标分别是$(3,0)$,$(1,2)$,则顶点$B$的坐标是$\underline{\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}}$.
(4,2)
答案：9. (4,2)
10. 如图,在平行四边形$ABCD$中,$AB=3$,$∠ ABC$的平分线与$∠ BCD$的平分线交于点$E$,若点$E$恰好在边$AD$上,则$BE^{2}+CE^{2}$的值为$\underline{\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}}$.
36
答案：10. 36
11. 如图,在平行四边形$ABCD$中,$E$为$BC$边上一点,且$∠ B=∠ AEB$.
(1)求证:$AE=CD$;
(2)试判断$AC$与$ED$的数量关系,并说明理由.
(1)求证:$AE=CD$;
(2)试判断$AC$与$ED$的数量关系,并说明理由.
答案：11.(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,
∵∠B=∠AEB,
∴AE=AB,
∴AE=CD.
(2)解:AC=ED.
理由:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,∠B=∠ADC,AD//BC,
∴∠DAE=∠AEB,
∵∠B=∠AEB,
∴AE=AB,∠B=∠AEB=∠DAE=∠ADC,
∴AE=CD,
∴∠DAE=∠ADC,AD=AD,
∴△ADC≌△DAE(SAS),
∴AC=ED.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,
∵∠B=∠AEB,
∴AE=AB,
∴AE=CD.
(2)解:AC=ED.
理由:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,∠B=∠ADC,AD//BC,
∴∠DAE=∠AEB,
∵∠B=∠AEB,
∴AE=AB,∠B=∠AEB=∠DAE=∠ADC,
∴AE=CD,
∴∠DAE=∠ADC,AD=AD,
∴△ADC≌△DAE(SAS),
∴AC=ED.
12. 如图,在$□ ABCD$中,$DF$平分$∠ ADC$,交$BC$于点$E$,交$AB$的延长线于点$F$.
(1)求证:$AD=AF$;
(2)若$AD=6$,$AB=3$,$∠ A=120°$,求$BF$的长和$△ ADF$的面积.
(1)求证:$AD=AF$;
(2)若$AD=6$,$AB=3$,$∠ A=120°$,求$BF$的长和$△ ADF$的面积.
答案：
12.(1)证明:在□ABCD中,AB//CD,
∴∠CDE=∠F.
∵DF平分∠ADC,
∴∠ADE=∠CDE,
∴∠F=∠ADF,
∴AD=AF.
(2)解:由(1)知AD=AF,
∵AD=6,AB=3,
∴BF=AF-AB=3.
过点D作DH⊥AF交FA的延长线于点H,如答图.
∵∠BAD=120°,
∴∠DAH=60°.
∴∠ADH=30°,
∴$AH=\frac{1}{2}AD=3$,
∴$DH=\sqrt{AD^{2}-AH^{2}}=3\sqrt{3}$,
∴△ADF的面积=$\frac{1}{2}AF· DH=\frac{1}{2}×6×3\sqrt{3}=9\sqrt{3}$.
12.(1)证明:在□ABCD中,AB//CD,
∴∠CDE=∠F.
∵DF平分∠ADC,
∴∠ADE=∠CDE,
∴∠F=∠ADF,
∴AD=AF.
(2)解:由(1)知AD=AF,
∵AD=6,AB=3,
∴BF=AF-AB=3.
过点D作DH⊥AF交FA的延长线于点H,如答图.
∵∠BAD=120°,
∴∠DAH=60°.
∴∠ADH=30°,
∴$AH=\frac{1}{2}AD=3$,
∴$DH=\sqrt{AD^{2}-AH^{2}}=3\sqrt{3}$,
∴△ADF的面积=$\frac{1}{2}AF· DH=\frac{1}{2}×6×3\sqrt{3}=9\sqrt{3}$.