三、解答题(共60分)
9. (14分)如图,点O是$□ ABCD$对角线BD的中点,过点O的直线分别交AD,BC于点E,F,连接BE,DF.
(1)求证:$△ ODE≌△ OBF$;
(2)当$EF⊥ BD$时,$DE=15$ cm.求此时四边形BEDF的周长.
9. (14分)如图,点O是$□ ABCD$对角线BD的中点,过点O的直线分别交AD,BC于点E,F,连接BE,DF.
(1)求证:$△ ODE≌△ OBF$;
(2)当$EF⊥ BD$时,$DE=15$ cm.求此时四边形BEDF的周长.
答案：9.(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD//CB,
∴∠OED=∠OFB,
∵点O是□ABCD对角线BD的中点,
∴OD=OB.
在△ODE和△OBF中,
$\{\begin{array}{l} ∠OED=∠OFB,\\ ∠DOE=∠BOF,\\ OD=OB.\end{array} $
∴△ODE≌△OBF(AAS).
(2)解:由(1)得△ODE≌△OBF,
∴DE=BF.
∵DE//BF,
∴四边形BEDF是平行四边形.
∵OB=OD,EF⊥BD,
∴EF是线段BD的垂直平分线,
∴DF=BF=DE=BE=15 cm,
∴DF+BF+BE+DE=4DE=4×15=60(cm),
∴四边形BEDF的周长为60 cm.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD//CB,
∴∠OED=∠OFB,
∵点O是□ABCD对角线BD的中点,
∴OD=OB.
在△ODE和△OBF中,
$\{\begin{array}{l} ∠OED=∠OFB,\\ ∠DOE=∠BOF,\\ OD=OB.\end{array} $
∴△ODE≌△OBF(AAS).
(2)解:由(1)得△ODE≌△OBF,
∴DE=BF.
∵DE//BF,
∴四边形BEDF是平行四边形.
∵OB=OD,EF⊥BD,
∴EF是线段BD的垂直平分线,
∴DF=BF=DE=BE=15 cm,
∴DF+BF+BE+DE=4DE=4×15=60(cm),
∴四边形BEDF的周长为60 cm.
10. (14分)(2025·宜兴期中)如图,$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,点E,F分别是AD,AB的中点,$AD=BD$.求证:CF是$∠ ECB$的平分线.
答案：10.证明:
∵∠ACB=90°,点E是AD的中点,
∴$CE=\frac{1}{2}AD$.
∵点E,F分别是AD,AB的中点,
∴EF是△ADB的中位线.
∴EF//BC,$EF=\frac{1}{2}DB$.
∴∠BCF=∠EFC.
∵AD=BD,
∴CE=EF.
∴∠ECF=∠EFC.
∴∠ECF=∠FCB.
∴CF是∠ECB的平分线.
∵∠ACB=90°,点E是AD的中点,
∴$CE=\frac{1}{2}AD$.
∵点E,F分别是AD,AB的中点,
∴EF是△ADB的中位线.
∴EF//BC,$EF=\frac{1}{2}DB$.
∴∠BCF=∠EFC.
∵AD=BD,
∴CE=EF.
∴∠ECF=∠EFC.
∴∠ECF=∠FCB.
∴CF是∠ECB的平分线.
11. (16分)(2024·南京模拟)如图,在$□ ABCD$中,点E是BC边的中点,连接AE并延长与DC的延长线交于点F.
(1)求证:四边形ABFC是平行四边形;
(2)若AF平分$∠ BAD$,$∠ D=60°$,$AD=8$,求$□ ABCD$的面积.
(1)求证:四边形ABFC是平行四边形;
(2)若AF平分$∠ BAD$,$∠ D=60°$,$AD=8$,求$□ ABCD$的面积.
答案：11.(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB//CD,AB=CD,
∴∠ABE=∠FCE.
∵点E是BC边的中点,
∴BE=CE.
在△ABE和△FCE中,
$\{\begin{array}{l} ∠ABE=∠FCE,\\ BE=CE,\\ ∠AEB=∠FEC,\end{array} $
∴△ABE≌△FCE(ASA),
∴AB=CF.
又
∵AB//CF,
∴四边形ABFC是平行四边形.
(2)解:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠ABC=∠D=60°,BC=AD=8,AD//BC,
∴∠BEA=∠DAE.
∵AF平分∠BAD,
∴∠BAE=∠DAE,
∴∠BEA=∠BAE,
∴BA=BE,
∴△ABE是等边三角形,
∴∠BAE=∠AEB=60°,AE=BE.
∵点E是BC的中点,
∴BE=CE=4,
∴AE=CE=BE=BA=4,
∴$∠EAC=∠ECA=\frac{1}{2}∠AEB=30°$,
∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=90°,
∴$AC⊥AB,AC=\sqrt{BC^{2}-AB^{2}}=\sqrt{8^{2}-4^{2}}=4\sqrt{3}$,
∴□ABCD的面积=$AB·AC=4×4\sqrt{3}=16\sqrt{3}$.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB//CD,AB=CD,
∴∠ABE=∠FCE.
∵点E是BC边的中点,
∴BE=CE.
在△ABE和△FCE中,
$\{\begin{array}{l} ∠ABE=∠FCE,\\ BE=CE,\\ ∠AEB=∠FEC,\end{array} $
∴△ABE≌△FCE(ASA),
∴AB=CF.
又
∵AB//CF,
∴四边形ABFC是平行四边形.
(2)解:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠ABC=∠D=60°,BC=AD=8,AD//BC,
∴∠BEA=∠DAE.
∵AF平分∠BAD,
∴∠BAE=∠DAE,
∴∠BEA=∠BAE,
∴BA=BE,
∴△ABE是等边三角形,
∴∠BAE=∠AEB=60°,AE=BE.
∵点E是BC的中点,
∴BE=CE=4,
∴AE=CE=BE=BA=4,
∴$∠EAC=∠ECA=\frac{1}{2}∠AEB=30°$,
∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=90°,
∴$AC⊥AB,AC=\sqrt{BC^{2}-AB^{2}}=\sqrt{8^{2}-4^{2}}=4\sqrt{3}$,
∴□ABCD的面积=$AB·AC=4×4\sqrt{3}=16\sqrt{3}$.
12. (16分)在$□ ABCD$中,点O是对角线BD的中点,点E在边BC上,EO的延长线与边AD交于点F,连接BF,DE,如图①.
(1)求证:四边形BEDF是平行四边形;
(2)若$DE=DC$,$∠ CBD=45°$,如图②,过点C作DE的垂线,与DE,BD,BF分别交于点G,H,P.
①当$CD=6$,$CE=4$时,求BE的长;
②求证:$CD=CH$.
(1)求证:四边形BEDF是平行四边形;
(2)若$DE=DC$,$∠ CBD=45°$,如图②,过点C作DE的垂线,与DE,BD,BF分别交于点G,H,P.
①当$CD=6$,$CE=4$时,求BE的长;
②求证:$CD=CH$.
答案：
12.(1)证明:
∵在□ABCD中,点O是对角线BD的中点,
∴AD//BC,BO=DO,
∴∠ADB=∠CBD.
在△BOE与△DOF中,
$\{\begin{array}{l} ∠CBD=∠ADB,\\ BO=DO,\\ ∠BOE=∠DOF,\end{array} $
∴△BOE≌△DOF(ASA),
∴DF=BE,又DF//BE,
∴四边形BEDF是平行四边形.
(2)①解:如答图,过点D作DN⊥EC于点N.
∵DE=DC=6,DN⊥EC,CE=4,
∴EN=CN=2,
∴$DN=\sqrt{DC^{2}-CN^{2}}=\sqrt{36-4}=4\sqrt{2}$.
∵∠DBC=45°,DN⊥BC,
∴∠DBC=∠BDN=45°,
∴DN=BN=$4\sqrt{2}$,
∴$BE=BN-EN=4\sqrt{2}-2$.
②证明:
∵DN⊥EC,CG⊥DE,
∴∠CEG+∠ECG=90°,∠DEN+∠EDN=90°,
∴∠EDN=∠ECG.
∵DE=DC,DN⊥EC,
∴∠EDN=∠CDN,
∴∠ECG=∠CDN.
∵∠DHC=∠DBC+∠BCH=45°+∠BCH,∠CDB=
∠BDN+∠CDN=45°+∠CDN,
∴∠CDB=∠DHC,
∴CD=CH.
12.(1)证明:
∵在□ABCD中,点O是对角线BD的中点,
∴AD//BC,BO=DO,
∴∠ADB=∠CBD.
在△BOE与△DOF中,
$\{\begin{array}{l} ∠CBD=∠ADB,\\ BO=DO,\\ ∠BOE=∠DOF,\end{array} $
∴△BOE≌△DOF(ASA),
∴DF=BE,又DF//BE,
∴四边形BEDF是平行四边形.
(2)①解:如答图,过点D作DN⊥EC于点N.
∵DE=DC=6,DN⊥EC,CE=4,
∴EN=CN=2,
∴$DN=\sqrt{DC^{2}-CN^{2}}=\sqrt{36-4}=4\sqrt{2}$.
∵∠DBC=45°,DN⊥BC,
∴∠DBC=∠BDN=45°,
∴DN=BN=$4\sqrt{2}$,
∴$BE=BN-EN=4\sqrt{2}-2$.
②证明:
∵DN⊥EC,CG⊥DE,
∴∠CEG+∠ECG=90°,∠DEN+∠EDN=90°,
∴∠EDN=∠ECG.
∵DE=DC,DN⊥EC,
∴∠EDN=∠CDN,
∴∠ECG=∠CDN.
∵∠DHC=∠DBC+∠BCH=45°+∠BCH,∠CDB=
∠BDN+∠CDN=45°+∠CDN,
∴∠CDB=∠DHC,
∴CD=CH.