6. 如图,四边形ABCD中,$AD=DC,∠ ADC=∠ ABC=90°,DE⊥ AB$,若四边形ABCD的面积为16,则DE的长为 (
A.3
B.2
C.4
D.8
C
)A.3
B.2
C.4
D.8
答案：6.C
7. (2025·西安期末)如图,E,F,G,H分别是四边形ABCD的边AB,BC,CD,AD的中点,四边形ABCD的两条对角线:满足条件
AC=BD
时,四边形EFGH是菱形;满足条件AC⊥BD
时,四边形EFGH是矩形;满足条件AC=BD且AC⊥BD
时,四边形EFGH是正方形.答案：7.AC=BD AC⊥BD AC=BD且AC⊥BD
8. (2025·泗阳期中)已知:如图,在菱形ABCD中,E,O,F分别为AB,AC,AD的中点,连接CE,CF,OE,OF.
(1)求证:$△ BCE≌△ DCF$;
(2)当AB与BC满足什么位置关系时,四边形AEOF是正方形? 请说明理由.
(1)求证:$△ BCE≌△ DCF$;
(2)当AB与BC满足什么位置关系时,四边形AEOF是正方形? 请说明理由.
答案：8.(1)证明:
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=DA,∠B=∠D.
∵E,F分别为AB,AD的中点,
∴BE=$\frac{1}{2}AB$,DF=$\frac{1}{2}AD$.
∴BE=DF,
∴△BCE≌△DCF(SAS).
(2)解:当AB⊥BC时,四边形AEOF是正方形,理由如下:
∵E,O,F分别为AB,AC,AD的中点,
∴OE=$\frac{1}{2}BC$,OF=$\frac{1}{2}CD$,AE=$\frac{1}{2}AB$,AF=$\frac{1}{2}AD$,
OE//BC.
∴AE=AF=OE=OF,
∴四边形AEOF是菱形.
∵AB⊥BC,OE//BC,
∴∠AEO=∠B=90°.
∴菱形AEOF是正方形.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=DA,∠B=∠D.
∵E,F分别为AB,AD的中点,
∴BE=$\frac{1}{2}AB$,DF=$\frac{1}{2}AD$.
∴BE=DF,
∴△BCE≌△DCF(SAS).
(2)解:当AB⊥BC时,四边形AEOF是正方形,理由如下:
∵E,O,F分别为AB,AC,AD的中点,
∴OE=$\frac{1}{2}BC$,OF=$\frac{1}{2}CD$,AE=$\frac{1}{2}AB$,AF=$\frac{1}{2}AD$,
OE//BC.
∴AE=AF=OE=OF,
∴四边形AEOF是菱形.
∵AB⊥BC,OE//BC,
∴∠AEO=∠B=90°.
∴菱形AEOF是正方形.
9. 如图,正方形ABCD中,$AB=3\sqrt{2}$,E是对角线AC上的一点,连接DE.过点E作$EF⊥ ED$,交AB于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接AG.
(1)求证:矩形DEFG是正方形;
(2)求$AG+AE$的值;
(3)若F恰为AB的中点,求正方形DEFG的面积.
(1)求证:矩形DEFG是正方形;
(2)求$AG+AE$的值;
(3)若F恰为AB的中点,求正方形DEFG的面积.
答案：
9.(1)证明:如答图①,过点E作EM⊥AD于点M,EN⊥AB于点N.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠EAD=∠EAB.
∵EM⊥AD,EN⊥AB,
∴EM=EN.
∵∠EMA=∠ENA=∠DAB=90°,
∴四边形ANEM是矩形.
∵EF⊥DE,
∴∠MEN=∠DEF=90°,
∴∠DEM=∠FEN.
∵∠EMD=∠ENF=90°,
∴△EMD≌△ENF(ASA),
∴ED=EF.
∵四边形DEFG是矩形,
∴四边形DEFG是正方形.
(2)解:
∵四边形DEFG是正方形,四边形ABCD是正方形,
∴DG=DE,DC=DA=AB=3$\sqrt{2}$,∠GDE=∠ADC=90°,
∴∠ADG=∠CDE,
∴△ADG≌△CDE(SAS),
∴AG=CE,
∴AE+AG=AE+EC=AC=$\sqrt{2}AD$=6.
(3)解:连接DF,如答图②.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD=3$\sqrt{2}$,AB//CD.
∵F是AB的中点,
∴AF=FB=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$,
∴DF=$\sqrt{AD^{2}+AF^{2}}=\sqrt{(3\sqrt{2})^{2}+(\frac{3\sqrt{2}}{2})^{2}}=\frac{3\sqrt{10}}{2}$,
∴正方形DEFG的面积=$\frac{1}{2}DF^{2}=\frac{1}{2}×(\frac{3\sqrt{10}}{2})^{2}=\frac{45}{4}$.
9.(1)证明:如答图①,过点E作EM⊥AD于点M,EN⊥AB于点N.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠EAD=∠EAB.
∵EM⊥AD,EN⊥AB,
∴EM=EN.
∵∠EMA=∠ENA=∠DAB=90°,
∴四边形ANEM是矩形.
∵EF⊥DE,
∴∠MEN=∠DEF=90°,
∴∠DEM=∠FEN.
∵∠EMD=∠ENF=90°,
∴△EMD≌△ENF(ASA),
∴ED=EF.
∵四边形DEFG是矩形,
∴四边形DEFG是正方形.
(2)解:
∵四边形DEFG是正方形,四边形ABCD是正方形,
∴DG=DE,DC=DA=AB=3$\sqrt{2}$,∠GDE=∠ADC=90°,
∴∠ADG=∠CDE,
∴△ADG≌△CDE(SAS),
∴AG=CE,
∴AE+AG=AE+EC=AC=$\sqrt{2}AD$=6.
(3)解:连接DF,如答图②.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD=3$\sqrt{2}$,AB//CD.
∵F是AB的中点,
∴AF=FB=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$,
∴DF=$\sqrt{AD^{2}+AF^{2}}=\sqrt{(3\sqrt{2})^{2}+(\frac{3\sqrt{2}}{2})^{2}}=\frac{3\sqrt{10}}{2}$,
∴正方形DEFG的面积=$\frac{1}{2}DF^{2}=\frac{1}{2}×(\frac{3\sqrt{10}}{2})^{2}=\frac{45}{4}$.