12. 如图(1),两个体积相同的圆柱形铁块A和B,圆柱A的底面半径为2厘米,高为20厘米,且比圆柱B高$\frac{1}{4}$.(π取3)
(1)求圆柱B的底面积是多少平方厘米.
(2)如图(2),一个底面长8厘米,宽6厘米的长方体水箱里有一些水,将圆柱A和B立放于水箱里,水面恰好与圆柱A高度相同,求将圆柱A,B放入之前水面的高度是多少厘米.
(3)若要使水面下降至与圆柱B高度相同,需将圆柱A提起多少厘米?
(1)求圆柱B的底面积是多少平方厘米.
(2)如图(2),一个底面长8厘米,宽6厘米的长方体水箱里有一些水,将圆柱A和B立放于水箱里,水面恰好与圆柱A高度相同,求将圆柱A,B放入之前水面的高度是多少厘米.
(3)若要使水面下降至与圆柱B高度相同,需将圆柱A提起多少厘米?
答案：12. (1)设 B 的底面半径为 r 厘米,B 的高为 $20÷(1+\frac{1}{4})=16$(厘米).
因为 A 与 B 体积相同，
所以 $π×2^2×20=π×r^2×16$,解得 $r^2=5$.
因为 $π=3$,所以 B 的底面积$=π r^2=15$(平方厘米).
故圆柱 B 的底面积是 15 平方厘米.
(2)$V_总=8×6×20=960$(立方厘米),
由 $V_A=V_B$，
则 $V_A+V_B=2V_B=15×16×2=480$(立方厘米),
故 $V_{之前}=V_总-2V_B=480$(立方厘米),
则之前高度为 $\frac{480}{6×8}=10$(厘米).
故放入圆柱 A,B 之前的水面高度为 10 厘米.
(3)当水面与 B 等高时,$V_{水箱}=8×6×16=768$(立方厘米),所以相较于水面高度等于圆柱 A 高度时的体积相差$V=960-768=192$(立方厘米),
所以需将 A 提起的高度为 $\frac{V}{S_{A底面积}}=\frac{192}{π×2^2}=16$(厘米).
故需要将圆柱 A 提起 16 厘米.
因为 A 与 B 体积相同，
所以 $π×2^2×20=π×r^2×16$,解得 $r^2=5$.
因为 $π=3$,所以 B 的底面积$=π r^2=15$(平方厘米).
故圆柱 B 的底面积是 15 平方厘米.
(2)$V_总=8×6×20=960$(立方厘米),
由 $V_A=V_B$，
则 $V_A+V_B=2V_B=15×16×2=480$(立方厘米),
故 $V_{之前}=V_总-2V_B=480$(立方厘米),
则之前高度为 $\frac{480}{6×8}=10$(厘米).
故放入圆柱 A,B 之前的水面高度为 10 厘米.
(3)当水面与 B 等高时,$V_{水箱}=8×6×16=768$(立方厘米),所以相较于水面高度等于圆柱 A 高度时的体积相差$V=960-768=192$(立方厘米),
所以需将 A 提起的高度为 $\frac{V}{S_{A底面积}}=\frac{192}{π×2^2}=16$(厘米).
故需要将圆柱 A 提起 16 厘米.
13. 归纳法 数学文化了解欧拉公式 欧拉为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献.他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数$ V $、棱数$ E $、面数$ F $之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式.
请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：
(1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
| 多面体 | 顶点数($ V $) | 面数($ F $) | 棱数($ E $) |
|----------|----------------|--------------|--------------|
| 四面体 | 4 | 4 |
| 长方体 | 8 | 6 | 12 |
| 八面体 |
| 十二面体 | 20 | 12 | 30 |
你发现顶点数($ V $)、面数($ F $)、棱数($ E $)之间存在的关系式是
(2)一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是
(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表面三角形的个数为$ x $个，八边形的个数为$ y $个，求$ x+y $的值.
请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：
(1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
| 多面体 | 顶点数($ V $) | 面数($ F $) | 棱数($ E $) |
|----------|----------------|--------------|--------------|
| 四面体 | 4 | 4 |
6
|| 长方体 | 8 | 6 | 12 |
| 八面体 |
6
| 8 | 12 || 十二面体 | 20 | 12 | 30 |
你发现顶点数($ V $)、面数($ F $)、棱数($ E $)之间存在的关系式是
$V+F-E=2$
.(2)一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是
20
.(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表面三角形的个数为$ x $个，八边形的个数为$ y $个，求$ x+y $的值.
答案：13. (1)表格补充如下：
| 多面体 | 顶点数(V) | 面数(F) | 棱数(E) |
|----------|-----------|---------|---------|
| 四面体 | 4 | 4 | 6 |
| 长方体 | 8 | 6 | 12 |
| 八面体 | 6 | 8 | 12 |
| 十二面体 | 20 | 12 | 30 |
$V+F-E=2$
(2)20 [解析]由题意,得 $F-8+F-30=2$,解得 $F=20$.
(3)因为有 24 个顶点,每个顶点处都有 3 条棱,两点确定一条直线,所以共有 $24×3÷2=36$(条)棱.
由(1)可知,$24+F-36=2$,解得 $F=14$,
所以 $x+y=14$.
| 多面体 | 顶点数(V) | 面数(F) | 棱数(E) |
|----------|-----------|---------|---------|
| 四面体 | 4 | 4 | 6 |
| 长方体 | 8 | 6 | 12 |
| 八面体 | 6 | 8 | 12 |
| 十二面体 | 20 | 12 | 30 |
$V+F-E=2$
(2)20 [解析]由题意,得 $F-8+F-30=2$,解得 $F=20$.
(3)因为有 24 个顶点,每个顶点处都有 3 条棱,两点确定一条直线,所以共有 $24×3÷2=36$(条)棱.
由(1)可知,$24+F-36=2$,解得 $F=14$,
所以 $x+y=14$.