9.(2026·浙江杭州滨江区期末)如图,点E是线段AB的中点,C是EB上一点,且$EC:CB=1:4$,AC=12 cm.
(1)求AB的长;
(2)若F为CB的中点,求EF的长.
(1)求AB的长;
(2)若F为CB的中点,求EF的长.
答案：9. (1)设$EC$的长为$x\ \mathrm{cm}$.
因为$EC:CB=1:4$,所以$BC=4x\ \mathrm{cm}$.
因为$BE=BC+CE$,所以$BE=5x\ \mathrm{cm}$.
因为$E$为线段$AB$的中点,
所以$AE=BE=5x\ \mathrm{cm}$.
因为$AC=AE+EC,AC=12\ \mathrm{cm}$,
所以$5x+x=12$,解得$x=2$,
所以$AB=AE+BE=10x=20\ \mathrm{cm}$.
(2)因为$F$为线段$CB$的中点,
所以$CF=\dfrac{1}{2}BC=2x\ \mathrm{cm}$.
因为$EF=EC+CF$,所以$EF=3x=6\ \mathrm{cm}$.
因为$EC:CB=1:4$,所以$BC=4x\ \mathrm{cm}$.
因为$BE=BC+CE$,所以$BE=5x\ \mathrm{cm}$.
因为$E$为线段$AB$的中点,
所以$AE=BE=5x\ \mathrm{cm}$.
因为$AC=AE+EC,AC=12\ \mathrm{cm}$,
所以$5x+x=12$,解得$x=2$,
所以$AB=AE+BE=10x=20\ \mathrm{cm}$.
(2)因为$F$为线段$CB$的中点,
所以$CF=\dfrac{1}{2}BC=2x\ \mathrm{cm}$.
因为$EF=EC+CF$,所以$EF=3x=6\ \mathrm{cm}$.
10. 数形结合思想（2025·福建厦门思明区期末）如图，C是线段AB的中点。
(1)若点D在线段CB上，且$DB=1.5\ \mathrm{cm}$，$AD=6.5\ \mathrm{cm}$，求线段CD的长度；
(2)若将(1)中的“点D在线段CB上”改为“点D在CB的延长线上”，其他条件不变，请画出相应的示意图，并求出此时线段CD的长度。
（第10题）
(1)若点D在线段CB上，且$DB=1.5\ \mathrm{cm}$，$AD=6.5\ \mathrm{cm}$，求线段CD的长度；
(2)若将(1)中的“点D在线段CB上”改为“点D在CB的延长线上”，其他条件不变，请画出相应的示意图，并求出此时线段CD的长度。
（第10题）答案：
10. (1)$AB=AD+BD=6.5+1.5=8(\mathrm{cm})$.
因为$C$是线段$AB$的中点,所以$CB=\dfrac{1}{2}AB=4\ \mathrm{cm}$,
所以$CD=CB-BD=4-1.5=2.5(\mathrm{cm})$.
(2)示意图如图所示:
$AB=AD-BD=6.5-1.5=5(\mathrm{cm})$.
因为$C$是线段$AB$的中点,所以$CB=\dfrac{1}{2}AB=2.5\ \mathrm{cm}$,
所以$CD=CB+BD=2.5+1.5=4(\mathrm{cm})$.
10. (1)$AB=AD+BD=6.5+1.5=8(\mathrm{cm})$.
因为$C$是线段$AB$的中点,所以$CB=\dfrac{1}{2}AB=4\ \mathrm{cm}$,
所以$CD=CB-BD=4-1.5=2.5(\mathrm{cm})$.
(2)示意图如图所示:
$AB=AD-BD=6.5-1.5=5(\mathrm{cm})$.
因为$C$是线段$AB$的中点,所以$CB=\dfrac{1}{2}AB=2.5\ \mathrm{cm}$,
所以$CD=CB+BD=2.5+1.5=4(\mathrm{cm})$.
11.(2025·辽宁沈阳铁西区期中)(1)如图,点C在线段AB上,点M在线段AC上,点N在线段BC上.
①已知$AC=13$,$CB=8$,若点$M$,$N$分别是$AC$,$BC$的中点,求线段$MN$的长；
②已知$AC=13$,$CB=8$,若点$M$是$AC$的中点,$BN=\frac{3}{4}BC$,求线段$MN$的长；
③已知$AC=a$,$CB=b$,若$AM=\frac{2}{3}AC$,$BN=\frac{1}{3}BC$,请直接写出线段$MN$的长(用含$a$,$b$的式子表示).
(2)若点$C$在直线$AB$上,(1)中其他条件不变,已知$AC=a$,$CB=\frac{3}{5}a$,$5AM=3CM$,$3BN=2CN$,请直接写出线段$MN$的长.
①已知$AC=13$,$CB=8$,若点$M$,$N$分别是$AC$,$BC$的中点,求线段$MN$的长；
②已知$AC=13$,$CB=8$,若点$M$是$AC$的中点,$BN=\frac{3}{4}BC$,求线段$MN$的长；
③已知$AC=a$,$CB=b$,若$AM=\frac{2}{3}AC$,$BN=\frac{1}{3}BC$,请直接写出线段$MN$的长(用含$a$,$b$的式子表示).
(2)若点$C$在直线$AB$上,(1)中其他条件不变,已知$AC=a$,$CB=\frac{3}{5}a$,$5AM=3CM$,$3BN=2CN$,请直接写出线段$MN$的长.
答案：11. (1)①因为点$M,N$分别是$AC,BC$的中点,
所以$CM=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}×13=6.5,CN=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}×8=4$,
所以$MN=CM+CN=6.5+4=10.5$.
②因为点$M$是$AC$的中点,$BN=\dfrac{3}{4}BC$,
所以$CM=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}×13=6.5,CN=\dfrac{1}{4}BC=\dfrac{1}{4}×8=2$,
所以$MN=CM+CN=6.5+2=8.5$.
③因为$AM=\dfrac{2}{3}AC,BN=\dfrac{1}{3}BC$,
所以$CM=\dfrac{1}{3}AC=\dfrac{1}{3}a,CN=\dfrac{2}{3}BC=\dfrac{2}{3}b$,
所以$MN=CM+CN=\dfrac{1}{3}a+\dfrac{2}{3}b$.
(2)因为$5AM=3CM,3BN=2CN$,
所以$CM=\dfrac{5}{8}AC=\dfrac{5}{8}a,CN=\dfrac{3}{5}BC=\dfrac{3}{5}×\dfrac{3}{5}a=\dfrac{9}{25}a$.
当点$C$在线段$AB$上时,
$MN=CM+CN=(\dfrac{5}{8}+\dfrac{9}{25})a=\dfrac{197}{200}a$;
当点$C$在线段$AB$的延长线上时,
$MN=CM-CN=\dfrac{5}{8}a-\dfrac{9}{25}a=\dfrac{53}{200}a$.
综上所述,$MN$的长为$\dfrac{197}{200}a$或$\dfrac{53}{200}a$.
所以$CM=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}×13=6.5,CN=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}×8=4$,
所以$MN=CM+CN=6.5+4=10.5$.
②因为点$M$是$AC$的中点,$BN=\dfrac{3}{4}BC$,
所以$CM=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}×13=6.5,CN=\dfrac{1}{4}BC=\dfrac{1}{4}×8=2$,
所以$MN=CM+CN=6.5+2=8.5$.
③因为$AM=\dfrac{2}{3}AC,BN=\dfrac{1}{3}BC$,
所以$CM=\dfrac{1}{3}AC=\dfrac{1}{3}a,CN=\dfrac{2}{3}BC=\dfrac{2}{3}b$,
所以$MN=CM+CN=\dfrac{1}{3}a+\dfrac{2}{3}b$.
(2)因为$5AM=3CM,3BN=2CN$,
所以$CM=\dfrac{5}{8}AC=\dfrac{5}{8}a,CN=\dfrac{3}{5}BC=\dfrac{3}{5}×\dfrac{3}{5}a=\dfrac{9}{25}a$.
当点$C$在线段$AB$上时,
$MN=CM+CN=(\dfrac{5}{8}+\dfrac{9}{25})a=\dfrac{197}{200}a$;
当点$C$在线段$AB$的延长线上时,
$MN=CM-CN=\dfrac{5}{8}a-\dfrac{9}{25}a=\dfrac{53}{200}a$.
综上所述,$MN$的长为$\dfrac{197}{200}a$或$\dfrac{53}{200}a$.