1. 如图，点 C 为线段 AB 的中点，D，E 分别为线段 AC，BC 上的一点，且 $ AD + BE = m $，$ AE + BD = \frac{7}{3}m $，若分别用含 m 的代数式来表示 DE 与 CB 的长，则 $ DE = $
$\boldsymbol{\frac{2}{3}m}$
，$ CB = $ $\boldsymbol{\frac{5}{6}m}$
。答案：因为 $ AE + BD = \frac{7}{3}m $，
所以 $ AD + BE + 2DE = \frac{7}{3}m $。
因为 $ AD + BE = m $，
所以 $ 2DE = \frac{7}{3}m - m = \frac{4}{3}m $，即 $ DE = \frac{2}{3}m $，
所以 $ AB = AD + BE + DE = m + \frac{2}{3}m = \frac{5}{3}m $。
因为点 C 为线段 AB 的中点，所以 $ CB = \frac{1}{2}AB = \frac{5}{6}m $。
所以 $ AD + BE + 2DE = \frac{7}{3}m $。
因为 $ AD + BE = m $，
所以 $ 2DE = \frac{7}{3}m - m = \frac{4}{3}m $，即 $ DE = \frac{2}{3}m $，
所以 $ AB = AD + BE + DE = m + \frac{2}{3}m = \frac{5}{3}m $。
因为点 C 为线段 AB 的中点，所以 $ CB = \frac{1}{2}AB = \frac{5}{6}m $。
2.如图，B，C两点把线段AD分成2：3：4三部分，M是AD的中点，CD=8，求MC的长.
（第2题）
（第2题）答案：设 $ AB=2x $，$ BC=3x $，$ CD=4x $。
所以 $ AD=2x+3x+4x=9x $。
因为 M 是 AD 的中点，所以 $ MD=\frac{9}{2}x $，
所以 $ MC=MD-CD=\frac{9}{2}x - 4x=\frac{1}{2}x $。
因为 $ CD=8 $，所以 $ 4x=8 $，
解得 $ x=2 $，
所以 $ MC=\frac{1}{2} × 2 = 1 $。
所以 $ AD=2x+3x+4x=9x $。
因为 M 是 AD 的中点，所以 $ MD=\frac{9}{2}x $，
所以 $ MC=MD-CD=\frac{9}{2}x - 4x=\frac{1}{2}x $。
因为 $ CD=8 $，所以 $ 4x=8 $，
解得 $ x=2 $，
所以 $ MC=\frac{1}{2} × 2 = 1 $。
3.如图，已知线段$AB=8\ \mathrm{cm}$，点$C$是线段$AB$上一点，$AC=3\ \mathrm{cm}$，$M$是$AB$的中点，$N$是$AC$的中点。
(1)求线段$CM$的长；
(2)求线段$MN$的长。
(1)求线段$CM$的长；
(2)求线段$MN$的长。
答案：(1)因为 $ AB=8\ \mathrm{cm} $，M 是 AB 的中点，
所以 $ AM=\frac{1}{2}AB=4\ \mathrm{cm} $。
因为 $ AC=3\ \mathrm{cm} $，所以 $ CM=AM-AC=4-3=1(\mathrm{cm}) $。
(2)因为 $ AB=8\ \mathrm{cm} $，$ AC=3\ \mathrm{cm} $，M 是 AB 的中点，N 是 AC 的中点，所以 $ AM=\frac{1}{2}AB=4\ \mathrm{cm} $，$ AN=\frac{1}{2}AC=1.5\ \mathrm{cm} $，
所以 $ MN=AM-AN=4-1.5=2.5(\mathrm{cm}) $。
所以 $ AM=\frac{1}{2}AB=4\ \mathrm{cm} $。
因为 $ AC=3\ \mathrm{cm} $，所以 $ CM=AM-AC=4-3=1(\mathrm{cm}) $。
(2)因为 $ AB=8\ \mathrm{cm} $，$ AC=3\ \mathrm{cm} $，M 是 AB 的中点，N 是 AC 的中点，所以 $ AM=\frac{1}{2}AB=4\ \mathrm{cm} $，$ AN=\frac{1}{2}AC=1.5\ \mathrm{cm} $，
所以 $ MN=AM-AN=4-1.5=2.5(\mathrm{cm}) $。
4. 方程思想(2026·四川成都期中)已知线段$AB=24$，P为线段AB的中点，E为线段AB上一点，D为线段AE的中点。
(1)若$PE=3$，求线段PD的长；
(2)若$AD=3PE$，求线段EB的长。
(1)若$PE=3$，求线段PD的长；
(2)若$AD=3PE$，求线段EB的长。
答案：
(1)因为 $ PE=3 $，E 在线段 AB 上，所以分两种情况讨论：
①当点 E 在点 P 的右侧时，如题图，
所以 $ AE=AP+PE=\frac{1}{2}AB+PE=12+3=15 $。
因为 D 为线段 AE 的中点，
所以 $ AD=\frac{1}{2}AE=\frac{15}{2} $，
所以 $ PD=AP-AD=\frac{9}{2} $；
②当点 E 在点 P 的左侧时，如图
，
所以 $ AE=AP-PE=\frac{1}{2}AB-PE=12-3=9 $。
因为 D 为线段 AE 的中点，所以 $ AD=\frac{1}{2}AE=\frac{9}{2} $，
所以 $ PD=AP-AD=\frac{15}{2} $。故线段 PD 的长为 $ \frac{9}{2} $ 或 $ \frac{15}{2} $。
(2)设 $ PE=x $，则 $ AD=3PE=3x $，$ AE=2AD=6x $。
因为 E 在线段 AB 上，所以分两种情况讨论：
①当点 E 在点 P 的右侧时，如题图，
所以 $ AP=AE-PE=5x $。
因为 P 为线段 AB 的中点，$ AB=24 $，
所以 $ AB=2AP=10x=24 $，解得 $ x=\frac{12}{5} $，
所以 $ AE=6x=\frac{72}{5} $，
所以 $ EB=AB-AE=\frac{48}{5} $；
②当点 E 在点 P 的左侧时，如(1)中图，
所以 $ AP=AE+PE=7x $。
因为 P 为线段 AB 的中点，$ AB=24 $，
所以 $ AB=2AP=14x=24 $，解得 $ x=\frac{12}{7} $，
所以 $ AE=6x=\frac{72}{7} $，所以 $ EB=AB-AE=\frac{96}{7} $。
故线段 EB 的长为 $ \frac{48}{5} $ 或 $ \frac{96}{7} $。
(1)因为 $ PE=3 $，E 在线段 AB 上，所以分两种情况讨论：
①当点 E 在点 P 的右侧时，如题图，
所以 $ AE=AP+PE=\frac{1}{2}AB+PE=12+3=15 $。
因为 D 为线段 AE 的中点，
所以 $ AD=\frac{1}{2}AE=\frac{15}{2} $，
所以 $ PD=AP-AD=\frac{9}{2} $；
②当点 E 在点 P 的左侧时，如图
，所以 $ AE=AP-PE=\frac{1}{2}AB-PE=12-3=9 $。
因为 D 为线段 AE 的中点，所以 $ AD=\frac{1}{2}AE=\frac{9}{2} $，
所以 $ PD=AP-AD=\frac{15}{2} $。故线段 PD 的长为 $ \frac{9}{2} $ 或 $ \frac{15}{2} $。
(2)设 $ PE=x $，则 $ AD=3PE=3x $，$ AE=2AD=6x $。
因为 E 在线段 AB 上，所以分两种情况讨论：
①当点 E 在点 P 的右侧时，如题图，
所以 $ AP=AE-PE=5x $。
因为 P 为线段 AB 的中点，$ AB=24 $，
所以 $ AB=2AP=10x=24 $，解得 $ x=\frac{12}{5} $，
所以 $ AE=6x=\frac{72}{5} $，
所以 $ EB=AB-AE=\frac{48}{5} $；
②当点 E 在点 P 的左侧时，如(1)中图，
所以 $ AP=AE+PE=7x $。
因为 P 为线段 AB 的中点，$ AB=24 $，
所以 $ AB=2AP=14x=24 $，解得 $ x=\frac{12}{7} $，
所以 $ AE=6x=\frac{72}{7} $，所以 $ EB=AB-AE=\frac{96}{7} $。
故线段 EB 的长为 $ \frac{48}{5} $ 或 $ \frac{96}{7} $。
5. 分类讨论思想已知线段$AB=8\ \mathrm{cm}$，在直线$AB$上画线段$BC=3\ \mathrm{cm}$，求$AC$的长.
答案：因为 $ AB=8\ \mathrm{cm} $，$ BC=3\ \mathrm{cm} $，
所以当点 C 在线段 AB 上时，$ AC=AB-BC=8-3=5(\mathrm{cm}) $；
当点 C 在线段 AB 的延长线上时，$ AC=AB+BC=8+3=11(\mathrm{cm}) $。
故 AC 的长为 5 cm 或 11 cm。
所以当点 C 在线段 AB 上时，$ AC=AB-BC=8-3=5(\mathrm{cm}) $；
当点 C 在线段 AB 的延长线上时，$ AC=AB+BC=8+3=11(\mathrm{cm}) $。
故 AC 的长为 5 cm 或 11 cm。