1. (2025·湖北武汉期末)下列说法正确的是(
A.一个角的补角一定大于这个角
B.任何一个角都有余角
C.若$∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°$, 则$∠1, ∠2, ∠3$互补
D.若一个角有余角, 则这个角的补角与这个角的余角的差为$90°$
D
).A.一个角的补角一定大于这个角
B.任何一个角都有余角
C.若$∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°$, 则$∠1, ∠2, ∠3$互补
D.若一个角有余角, 则这个角的补角与这个角的余角的差为$90°$
答案：A. 一个角的补角不一定大于这个角,选项说法错误,不符合题意；
B. 任何一个锐角都有余角,选项说法错误,不符合题意；
C. 若两角的和等于$180°$,则这两角互补,选项说法错误,不符合题意；
D. 若一个角有余角,则这个角的补角与这个角的余角的差为$90°$,选项说法正确,符合题意.故选 D.
B. 任何一个锐角都有余角,选项说法错误,不符合题意；
C. 若两角的和等于$180°$,则这两角互补,选项说法错误,不符合题意；
D. 若一个角有余角,则这个角的补角与这个角的余角的差为$90°$,选项说法正确,符合题意.故选 D.
2.（2025·浙江杭州西湖区期末）已知∠1与∠2互为余角，∠1与∠3互为补角，有以下三个结论：
①∠3=90°+∠2；②∠3=2∠1+∠2；③∠3−∠1＞∠2。其中正确的结论是（
A.①③
B.①
C.③
D.①②③
①∠3=90°+∠2；②∠3=2∠1+∠2；③∠3−∠1＞∠2。其中正确的结论是（
A
）。A.①③
B.①
C.③
D.①②③
答案：由题意,得$∠1+∠2=90°,∠1+∠3=180°$,
所以$∠3=180°-∠1=2∠1+2∠2-∠1=∠1+2∠2$,
所以$∠3-∠1＞∠2$,所以②错误,③正确.
因为$∠1+∠2=90°,∠1+∠3=180°$,所以$∠3=∠2+90°$,所以①正确.故选 A.
所以$∠3=180°-∠1=2∠1+2∠2-∠1=∠1+2∠2$,
所以$∠3-∠1＞∠2$,所以②错误,③正确.
因为$∠1+∠2=90°,∠1+∠3=180°$,所以$∠3=∠2+90°$,所以①正确.故选 A.
3.（2026·安徽芜湖期末）如果$∠α$和$∠β$互补，且$∠α＜∠β$，下列表达式：①$90°-∠α$；②$∠β-90°$；③$\frac{1}{2}(∠β+∠α)$；④$\frac{1}{2}(∠β-∠α)$，其中能表示$∠α$的余角的式子是
①②④
.（请把所有正确的序号填在横线上）答案：因为$∠α$和$∠β$互补，
所以$∠β=180°-∠α$.
因为$∠α＜∠β$,所以$0°＜∠α＜90°$,所以$∠α$的余角是$90°-∠α$,①正确；
$∠β-90°=180°-∠α-90°=90°-∠α$,②正确；
$\frac{1}{2}(∠β+∠α)=\frac{1}{2}(180°-∠α+∠α)=90°$,③错误；
$\frac{1}{2}(∠β-∠α)=\frac{1}{2}(180°-∠α-∠α)=90°-∠α$,④正确,故能表示$∠α$的余角的式子是①②④.
所以$∠β=180°-∠α$.
因为$∠α＜∠β$,所以$0°＜∠α＜90°$,所以$∠α$的余角是$90°-∠α$,①正确；
$∠β-90°=180°-∠α-90°=90°-∠α$,②正确；
$\frac{1}{2}(∠β+∠α)=\frac{1}{2}(180°-∠α+∠α)=90°$,③错误；
$\frac{1}{2}(∠β-∠α)=\frac{1}{2}(180°-∠α-∠α)=90°-∠α$,④正确,故能表示$∠α$的余角的式子是①②④.
4. 方程思想（2026·陕西西安阎良区期末）已知一个角的余角比这个角的补角的$\frac{1}{2}$小$18.75°$，先求出这个角的度数，再用度、分、秒的形式表示。
答案：设这个角的度数为$x$,则这个角的余角为$90°-x$,补角为$180°-x$,
根据题意,得 $90°-x=\frac{1}{2}(180°-x)-18.75°$,
解得 $x=37.5°$.
即这个角的度数为$37.5°=37°30'$,
即用度、分、秒的形式表示为$37°30'$.
根据题意,得 $90°-x=\frac{1}{2}(180°-x)-18.75°$,
解得 $x=37.5°$.
即这个角的度数为$37.5°=37°30'$,
即用度、分、秒的形式表示为$37°30'$.
5. (2025·河南信阳期末)如图,两个直角三角形的直角顶点重合.
(1)若∠BOD=40°,求∠AOC的度数.
解:因为∠AOC + ∠COB = 90°,∠COB + ∠BOD=90°,…①
所以∠AOC=
因为∠BOD=40°,
所以∠AOC=
把上面过程补充完整,并回答:
在上面由①到②的推导过程中,理论依据是
(2)写出图中互为补角的角:
(3)若OB平分∠COD,求∠AOD的度数.
(1)若∠BOD=40°,求∠AOC的度数.
解:因为∠AOC + ∠COB = 90°,∠COB + ∠BOD=90°,…①
所以∠AOC=
∠BOD
.…②因为∠BOD=40°,
所以∠AOC=
40
°.把上面过程补充完整,并回答:
在上面由①到②的推导过程中,理论依据是
同角的余角相等
;(2)写出图中互为补角的角:
∠AOB 与 ∠COD, ∠AOD 与 ∠BOC
;(3)若OB平分∠COD,求∠AOD的度数.
答案：(1)$∠BOD$ 40 同角的余角相等
(2)$∠AOB$ 与 $∠COD$, $∠AOD$ 与 $∠BOC$
解析:因为$∠AOB=90°,∠COD=90°$,所以$∠AOB+∠COD=180°$,即$∠AOB$与$∠COD$互为补角,所以$∠AOC+∠COD+∠BOC=180°$,所以$∠AOD+∠BOC=180°$,即$∠AOD$与$∠BOC$互为补角.
(3)因为$∠COD=90°$,且$OB$平分$∠COD$,所以$∠BOC=∠BOD=\frac{1}{2}∠COD=45°$,
所以$∠AOD=∠AOB+∠BOD=90°+45°=135°$.
(2)$∠AOB$ 与 $∠COD$, $∠AOD$ 与 $∠BOC$
解析:因为$∠AOB=90°,∠COD=90°$,所以$∠AOB+∠COD=180°$,即$∠AOB$与$∠COD$互为补角,所以$∠AOC+∠COD+∠BOC=180°$,所以$∠AOD+∠BOC=180°$,即$∠AOD$与$∠BOC$互为补角.
(3)因为$∠COD=90°$,且$OB$平分$∠COD$,所以$∠BOC=∠BOD=\frac{1}{2}∠COD=45°$,
所以$∠AOD=∠AOB+∠BOD=90°+45°=135°$.