8. 分类讨论思想 定义:从一个钝角的顶点出发,在角的内部作一条射线,若该射线将这个钝角分得的两个角中有一个角与该钝角互为补角,则称该射线为此钝角的“割补线”.如图,点O在直线AB上,OC,OD在直线AB的上方,且$OC⊥ OD$,钝角$∠ AOD$的“割补线”记为OE.若$∠ BOD=40°$,求$∠ COE$的度数.
答案：
8.①如图(1),当OE在∠COD内部时，
因为射线OE是∠AOD的“割补线”，
所以∠DOE+∠AOD=180°.
因为∠AOD+∠BOD=180°,
所以∠DOE=∠BOD=40°.
因为OC⊥OD,所以∠COD=90°,
所以∠COE=90°-40°=50°；
②如图(2),当OE在∠COD外部时，
因为射线OE是∠AOD的“割补线”，
所以∠AOE+∠AOD=180°.
因为∠AOD+∠BOD=180°,
所以∠AOE=∠BOD=40°.
因为OC⊥OD,所以∠COD=90°,
所以∠COE=180-90°-40°-40°=10°.
综上所述,∠COE的度数为50°或10°.
8.①如图(1),当OE在∠COD内部时，
因为射线OE是∠AOD的“割补线”，
所以∠DOE+∠AOD=180°.
因为∠AOD+∠BOD=180°,
所以∠DOE=∠BOD=40°.
因为OC⊥OD,所以∠COD=90°,
所以∠COE=90°-40°=50°；
②如图(2),当OE在∠COD外部时，
因为射线OE是∠AOD的“割补线”，
所以∠AOE+∠AOD=180°.
因为∠AOD+∠BOD=180°,
所以∠AOE=∠BOD=40°.
因为OC⊥OD,所以∠COD=90°,
所以∠COE=180-90°-40°-40°=10°.
综上所述,∠COE的度数为50°或10°.
9.如图,直线AB,CD相交于点O,OE平分∠BOC,OF⊥CD.若∠BOD:∠BOE=1:4,求∠AOF的度数.
答案：9.设∠BOD=x°,则∠BOE=4x°.
因为OE平分∠BOC,所以∠BOC=2∠BOE=8x°.
因为∠BOD+∠BOC=180°,
所以x+8x=180,解得x=20,
所以∠AOC=∠BOD=x°=20°.
因为OF⊥CD,所以∠COF=90°,
所以∠AOF=90°-∠AOC=70°.
因为OE平分∠BOC,所以∠BOC=2∠BOE=8x°.
因为∠BOD+∠BOC=180°,
所以x+8x=180,解得x=20,
所以∠AOC=∠BOD=x°=20°.
因为OF⊥CD,所以∠COF=90°,
所以∠AOF=90°-∠AOC=70°.
10. 分类讨论思想 已知点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠BOC=110°。
(1)如图(1)，∠AOC的度数为
(2)如图(2)，过点O在直线AB下方作射线OD，使OD⊥OC，作∠AOC的平分线OM，求∠MOD的度数；
(3)在(2)的条件下，作射线OP，若∠BOP与∠AOM互余，求∠COP的度数。
(1)如图(1)，∠AOC的度数为
70
°；(2)如图(2)，过点O在直线AB下方作射线OD，使OD⊥OC，作∠AOC的平分线OM，求∠MOD的度数；
(3)在(2)的条件下，作射线OP，若∠BOP与∠AOM互余，求∠COP的度数。
答案：
10.(1)70 [解析]因为∠BOC=110°,
所以∠AOC=180°-∠BOC=70°.
(2)由(1)可知,∠AOC=70°,
因为OD⊥OC,所以∠COD=90°.
因为OM为∠AOC的平分线，
所以∠COM=∠AOM=1/2∠AOC=1/2×70°=35°,
所以∠MOD=∠COD-∠COM=90°-35°=55°.
(3)由(2)可知,∠AOM=35°.
因为∠BOP与∠AOM互余,所以∠BOP+∠AOM=90°,所以∠BOP=90°-∠AOM=90°-35°=55°.
当射线OP在∠BOC内部时,如图(1),
∠COP=∠BOC-∠BOP=110°-55°=55°；
当射线OP在∠BOC外部时,如图(2),
∠COP=∠BOC+∠BOP=110°+55°=165°.
综上所述,∠COP的度数为55°或165°.
10.(1)70 [解析]因为∠BOC=110°,
所以∠AOC=180°-∠BOC=70°.
(2)由(1)可知,∠AOC=70°,
因为OD⊥OC,所以∠COD=90°.
因为OM为∠AOC的平分线，
所以∠COM=∠AOM=1/2∠AOC=1/2×70°=35°,
所以∠MOD=∠COD-∠COM=90°-35°=55°.
(3)由(2)可知,∠AOM=35°.
因为∠BOP与∠AOM互余,所以∠BOP+∠AOM=90°,所以∠BOP=90°-∠AOM=90°-35°=55°.
当射线OP在∠BOC内部时,如图(1),
∠COP=∠BOC-∠BOP=110°-55°=55°；
当射线OP在∠BOC外部时,如图(2),
∠COP=∠BOC+∠BOP=110°+55°=165°.
综上所述,∠COP的度数为55°或165°.
11. (2025·陕西中考)如图,点O在直线AB上,OC⊥OD.若∠1=40°,则∠2的度数为(
A.$120°$
B.$130°$
C.$140°$
D.$150°$
B
).A.$120°$
B.$130°$
C.$140°$
D.$150°$
答案：11.B