1. 作图并写出结论:
如图,点P是∠AOB的边OA上一点,请过点P画出OA,OB的垂线,分别交BO的延长线于点M,N,则线段
如图,点P是∠AOB的边OA上一点,请过点P画出OA,OB的垂线,分别交BO的延长线于点M,N,则线段
PN
的长度表示点P到直线BO的距离;线段PM
的长度表示点M到直线AO的距离;线段ON的长度表示点O到直线PN
的距离;点P到直线OA的距离为0
.答案：
1. 作图如图所示.
PN PM PN 0
1. 作图如图所示.
PN PM PN 0
2. 一个角的余角比它的补角的一半小$20°$，求这个角的度数。
答案：2. 设这个角的度数是x,则它的余角为 90°−x,补角为180°−x.
因为这个角的余角比它的补角的一半小 20°,
所以 90°−x=1/2(180°−x)−20°,解得 x=40°.
故这个角的度数是 40°.
因为这个角的余角比它的补角的一半小 20°,
所以 90°−x=1/2(180°−x)−20°,解得 x=40°.
故这个角的度数是 40°.
3. (2026·徐州期末)如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB。
(1)若$∠ 1=∠ 2$，判断ON与CD的位置关系，并说明理由；
(2)若$∠ 1=\dfrac{1}{4}∠ BOC$，求$∠ BOD$的度数。
(1)若$∠ 1=∠ 2$，判断ON与CD的位置关系，并说明理由；
(2)若$∠ 1=\dfrac{1}{4}∠ BOC$，求$∠ BOD$的度数。
答案：3. (1)ON⊥CD.理由如下：
因为 OM⊥AB,所以∠AOM=90°,
所以∠AOC+∠1=90°.
因为∠1=∠2,所以∠AOC+∠2=90°,即∠CON=90°,
所以 ON⊥CD.
(2)因为 OM⊥AB,所以∠BOM=90°,
所以∠BOC=∠1+∠BOM=∠1+90°.
因为∠1=1/4∠BOC,
所以∠BOC=4∠1,所以∠1=30°,
所以∠BOD=180°−∠1−∠BOM=60°.
因为 OM⊥AB,所以∠AOM=90°,
所以∠AOC+∠1=90°.
因为∠1=∠2,所以∠AOC+∠2=90°,即∠CON=90°,
所以 ON⊥CD.
(2)因为 OM⊥AB,所以∠BOM=90°,
所以∠BOC=∠1+∠BOM=∠1+90°.
因为∠1=1/4∠BOC,
所以∠BOC=4∠1,所以∠1=30°,
所以∠BOD=180°−∠1−∠BOM=60°.
4. 数形结合思想 直线AB,CD相交于点O,OF⊥CD于点O,作射线OE,且OC在∠AOE的内部.(本题所研究的角均小于180°)
(1)①当OE,OF在如图(1)所示位置时,若∠BOD=20°,∠BOE=130°,求∠EOF的度数;
②当OE,OF在如图(2)所示位置时,若OF平分∠BOE,试说明OC平分∠AOE.
(2)若∠AOF=2∠COE,请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系.
(1)①当OE,OF在如图(1)所示位置时,若∠BOD=20°,∠BOE=130°,求∠EOF的度数;
②当OE,OF在如图(2)所示位置时,若OF平分∠BOE,试说明OC平分∠AOE.
(2)若∠AOF=2∠COE,请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系.
答案：
4. (1)①因为 OF⊥CD 于点 O,所以∠DOF=90°.
因为∠BOD=20°,所以∠BOF=90°−20°=70°.
因为∠BOE=130°,所以∠EOF=∠BOE−∠BOF=130°−70°=60°.
②因为 OF 平分∠BOE,
所以∠EOF=∠BOF=1/2∠EOB.
因为 OF⊥CD,
所以∠COF=90°,
所以∠COE+∠EOF=∠AOC+∠BOF=90°,
所以∠COE=∠AOC,即 OC 平分∠AOE.
(2)3∠AOC+2∠BOE=270°或∠AOC+2∠BOE=270°.
理由如下：
当点 E,F 在直线 AB 的同侧时,如图(1)所示，
设∠COE=α,则∠AOF=2∠COE=2α.
因为 OF⊥CD,所以∠COF=90°,所以∠EOF=90°−α,
∠AOC=∠AOF−∠COF=2α−90°,所以∠BOE=180°−∠AOC−∠COE=180°−(2α−90°)−α=270°−3α,所以 3∠AOC+2∠BOE=270°；
当点 E,F 在直线 AB 的异侧时,如图(2)所示，
设∠COE=α,则∠AOF=2∠COE=2α.
因为 OF⊥CD,所以∠COF=90°,
所以∠AOC=∠COF−∠AOF=90°−2α,
所以∠BOE=180°−∠AOC−∠COE=180°−(90°−2α)−α=90°+α,
所以∠AOC+2∠BOE=270°.
综上可知,3∠AOC+2∠BOE=270°或∠AOC+2∠BOE=270°.
4. (1)①因为 OF⊥CD 于点 O,所以∠DOF=90°.
因为∠BOD=20°,所以∠BOF=90°−20°=70°.
因为∠BOE=130°,所以∠EOF=∠BOE−∠BOF=130°−70°=60°.
②因为 OF 平分∠BOE,
所以∠EOF=∠BOF=1/2∠EOB.
因为 OF⊥CD,
所以∠COF=90°,
所以∠COE+∠EOF=∠AOC+∠BOF=90°,
所以∠COE=∠AOC,即 OC 平分∠AOE.
(2)3∠AOC+2∠BOE=270°或∠AOC+2∠BOE=270°.
理由如下：
当点 E,F 在直线 AB 的同侧时,如图(1)所示，
设∠COE=α,则∠AOF=2∠COE=2α.
因为 OF⊥CD,所以∠COF=90°,所以∠EOF=90°−α,
∠AOC=∠AOF−∠COF=2α−90°,所以∠BOE=180°−∠AOC−∠COE=180°−(2α−90°)−α=270°−3α,所以 3∠AOC+2∠BOE=270°；
当点 E,F 在直线 AB 的异侧时,如图(2)所示，
设∠COE=α,则∠AOF=2∠COE=2α.
因为 OF⊥CD,所以∠COF=90°,
所以∠AOC=∠COF−∠AOF=90°−2α,
所以∠BOE=180°−∠AOC−∠COE=180°−(90°−2α)−α=90°+α,
所以∠AOC+2∠BOE=270°.
综上可知,3∠AOC+2∠BOE=270°或∠AOC+2∠BOE=270°.