9. (2026·泰州期末)如图，C，D是直线AB上两点，$∠ 1+∠ 2=180°$，DE平分$∠ CDF$，$FE// DC$.
(1)求证：$CE// DF$；
(2)若$∠ DCE=120°$，求$∠ DEF$的度数.
(1)求证：$CE// DF$；
(2)若$∠ DCE=120°$，求$∠ DEF$的度数.
答案：9.(1)因为$∠1+∠2=180°,∠1+∠ECD=180°$,
所以$∠2=∠ECD$,所以$CE//DF$.
(2)因为$CE//DF,∠DCE=120°$,
所以$∠CDF=180°-∠DCE=180°-120°=60°$.
因为 DE 平分$∠CDF$,所以$∠CDE=\frac{1}{2}∠CDF=30°$.
因为$FE//DC$,所以$∠DEF=∠CDE=30°$.
所以$∠2=∠ECD$,所以$CE//DF$.
(2)因为$CE//DF,∠DCE=120°$,
所以$∠CDF=180°-∠DCE=180°-120°=60°$.
因为 DE 平分$∠CDF$,所以$∠CDE=\frac{1}{2}∠CDF=30°$.
因为$FE//DC$,所以$∠DEF=∠CDE=30°$.
10.（改编自《实验班 初中数学 几何模型》）如果一个角的两边与另一个角的两边相互平行，那么这两个角的大小有什么关系？
（1）小明同学首先想到如图所示的图形，他发现这两个角应该相等，你知道其中的原因是什么吗？请写出来。
（2）你是否还能发现其他图形？请画出来，并写出你所得的结论和原因。
（1）小明同学首先想到如图所示的图形，他发现这两个角应该相等，你知道其中的原因是什么吗？请写出来。
（2）你是否还能发现其他图形？请画出来，并写出你所得的结论和原因。
答案：
10.(1)因为$AB//DE$,所以$∠B=∠BGE$.
因为$BC//EF$,所以$∠BGE=∠E$,所以$∠B=∠E$.
(2)我还能发现其他图形,如图所示.
结论:如果一个角的两边与另一个角的两边相互平行,那么这两个角互补.
理由:因为$AB//DE$,所以$∠B=∠BGE$.
因为$BC//EF$,所以$∠BGE+∠E=180°$,
所以$∠B+∠E=180°$.
10.(1)因为$AB//DE$,所以$∠B=∠BGE$.
因为$BC//EF$,所以$∠BGE=∠E$,所以$∠B=∠E$.
(2)我还能发现其他图形,如图所示.
结论:如果一个角的两边与另一个角的两边相互平行,那么这两个角互补.
理由:因为$AB//DE$,所以$∠B=∠BGE$.
因为$BC//EF$,所以$∠BGE+∠E=180°$,
所以$∠B+∠E=180°$.
11. 三线八角模型 新考法 新定义“内联角” 定义:若∠α,∠β是同旁内角,并且∠α,∠β满足∠β=∠α+20°,则称∠β是∠α的“内联角”.
(1)如图(1),已知∠β是∠α的内联角.
①当∠α=60°时,∠β=
②当直线$l_1// l_2$时,求∠β的度数.
(2)如图(2),已知∠β是∠α的内联角,点O是线段GH上一定点.
①∠DHG是∠BGH的内联角吗?请说明理由.
②过点O的直线分别交直线CD,AB于点P,Q,若∠α=60°且∠EOP是图中某个角的内联角.请直接写出∠EOP是哪个角的内联角,以及此时∠EOP的度数.
视频学模型
(1)如图(1),已知∠β是∠α的内联角.
①当∠α=60°时,∠β=
80
°.②当直线$l_1// l_2$时,求∠β的度数.
(2)如图(2),已知∠β是∠α的内联角,点O是线段GH上一定点.
①∠DHG是∠BGH的内联角吗?请说明理由.
②过点O的直线分别交直线CD,AB于点P,Q,若∠α=60°且∠EOP是图中某个角的内联角.请直接写出∠EOP是哪个角的内联角,以及此时∠EOP的度数.
视频学模型
答案：
11. (1)①80 [解析]$∠β=∠α+20°=80°$.
②因为$l_1//l_2$,$∠α,∠β$是同旁内角,
所以$∠α+∠β=180°$.
又$∠β=∠α+20°$,所以$∠β=100°$.
(2)①是.理由如下:
因为$∠β=∠α+20°,∠DHG=180°-∠α,∠BGH=180°-∠β$,所以$∠DHG-∠BGH=∠β-∠α=20°$,
所以$∠DHG=∠BGH+20°$.
又$∠DHG$和$∠BGH$为同旁内角,
所以$∠DHG$是$∠BGH$的内联角.
②当$∠α=60°$时,$∠β=80°,∠GHD=120°,∠BGH=100°$.当点 P 在点 H 左侧时,如图(1)所示. 此时有两种情况,
当$∠EOP$是$∠AGH$的内联角时,
$∠EOP=∠β+20°=100°=∠BGH$,则$PQ//AB$,与 PQ交AB 于点Q矛盾,不符合题意,舍去;
当$∠EOP$是$∠CPQ$的内联角时,
$∠EOP=∠CPQ+20°=∠α+180°-∠EOP+20°=260°-∠EOP$,
解得$∠EOP=130°$;
当点 P 在点 H 右侧时,如图(2)所示.
此时也有两种情况,
当$∠EOP$是$∠BGH$的内联角时,
$∠EOP=100°+20°=120°=∠GHD$,
则$PQ//CD$,与 PQ 交 CD 于点 P 矛盾,不符合题意,舍去;
当$∠EOP$是$∠DPQ$的内联角时,
$∠EOP=∠DPQ+20°=120°+180°-∠EOP+20°=320°-∠EOP$,
解得$∠EOP=160°$.
综上,当$∠EOP$是$∠CPQ$的内联角时,$∠EOP=130°$;当$∠EOP$是$∠DPQ$的内联角时,$∠EOP=160°$.
11. (1)①80 [解析]$∠β=∠α+20°=80°$.
②因为$l_1//l_2$,$∠α,∠β$是同旁内角,
所以$∠α+∠β=180°$.
又$∠β=∠α+20°$,所以$∠β=100°$.
(2)①是.理由如下:
因为$∠β=∠α+20°,∠DHG=180°-∠α,∠BGH=180°-∠β$,所以$∠DHG-∠BGH=∠β-∠α=20°$,
所以$∠DHG=∠BGH+20°$.
又$∠DHG$和$∠BGH$为同旁内角,
所以$∠DHG$是$∠BGH$的内联角.
②当$∠α=60°$时,$∠β=80°,∠GHD=120°,∠BGH=100°$.当点 P 在点 H 左侧时,如图(1)所示. 此时有两种情况,
当$∠EOP$是$∠AGH$的内联角时,
$∠EOP=∠β+20°=100°=∠BGH$,则$PQ//AB$,与 PQ交AB 于点Q矛盾,不符合题意,舍去;
当$∠EOP$是$∠CPQ$的内联角时,
$∠EOP=∠CPQ+20°=∠α+180°-∠EOP+20°=260°-∠EOP$,
解得$∠EOP=130°$;
当点 P 在点 H 右侧时,如图(2)所示.
此时也有两种情况,
当$∠EOP$是$∠BGH$的内联角时,
$∠EOP=100°+20°=120°=∠GHD$,
则$PQ//CD$,与 PQ 交 CD 于点 P 矛盾,不符合题意,舍去;
当$∠EOP$是$∠DPQ$的内联角时,
$∠EOP=∠DPQ+20°=120°+180°-∠EOP+20°=320°-∠EOP$,
解得$∠EOP=160°$.
综上,当$∠EOP$是$∠CPQ$的内联角时,$∠EOP=130°$;当$∠EOP$是$∠DPQ$的内联角时,$∠EOP=160°$.