6. 将一副直角三角板按如图所示摆放，$∠ GEF=60°,∠ MNP=45°,AB// CD$,则下列结论不正确的是(
A.$GE// MP$
B.$∠ BEF=75°$
C.$∠ EFN=145°$
D.$∠ AEG=∠ PMN$
C
).A.$GE// MP$
B.$∠ BEF=75°$
C.$∠ EFN=145°$
D.$∠ AEG=∠ PMN$
答案：
6.C [解析]因为∠G=∠MPN=∠MPG=90°,
所以GE//MP,故A选项不符合题意;
因为∠EFG=30°,
所以∠EFN=180°-30°=150°,故C选项符合题意;
过点F作FH//AB,如图所示.
因为AB//CD,所以FH//CD,
所以∠HFN=∠MNP=45°,
所以∠EFH=150°-45°=105°.
因为FH//AB,
所以∠BEF=180°-105°=75°,故B选项不符合题意;
因为∠GEF=60°,∠BEF=75°,
所以∠AEG=180°-60°-75°=45°.
因为∠MPN=90°,∠MNP=45°,所以∠PMN=45°,
所以∠AEG=∠PMN=45°,故D选项不符合题意.
故选C.
6.C [解析]因为∠G=∠MPN=∠MPG=90°,
所以GE//MP,故A选项不符合题意;
因为∠EFG=30°,
所以∠EFN=180°-30°=150°,故C选项符合题意;
过点F作FH//AB,如图所示.
因为AB//CD,所以FH//CD,
所以∠HFN=∠MNP=45°,
所以∠EFH=150°-45°=105°.
因为FH//AB,
所以∠BEF=180°-105°=75°,故B选项不符合题意;
因为∠GEF=60°,∠BEF=75°,
所以∠AEG=180°-60°-75°=45°.
因为∠MPN=90°,∠MNP=45°,所以∠PMN=45°,
所以∠AEG=∠PMN=45°,故D选项不符合题意.
故选C.
7. (2025·河南周口沈丘期末)如图，$AB// CD$，用含$∠1,∠2,∠3$的式子表示$∠4$，则$∠4$的值为(
A.$∠1+∠2-∠3$
B.$∠1+∠3-∠2$
C.$180°+∠3-∠1-∠2$
D.$∠2+∠3-∠1-180°$
D
).A.$∠1+∠2-∠3$
B.$∠1+∠3-∠2$
C.$180°+∠3-∠1-∠2$
D.$∠2+∠3-∠1-180°$
答案：
7.D [解析]如图,过点E作EG//AB,过点F作FH//CD.
因为AB//CD,所以AB//CD//EG//FH,
所以∠1=∠AEG,所以∠GEF=∠2-∠1.
因为EG//FH,所以∠EFH=180°-∠GEF=180°-(∠2-∠1)=180°-∠2+∠1,所以∠CFH=∠3-∠EFH=∠3-(180°-∠2+∠1)=∠3+∠2-∠1-180°.
因为FH//CD,所以∠4=∠3+∠2-∠1-180°.故选D.
7.D [解析]如图,过点E作EG//AB,过点F作FH//CD.
因为AB//CD,所以AB//CD//EG//FH,
所以∠1=∠AEG,所以∠GEF=∠2-∠1.
因为EG//FH,所以∠EFH=180°-∠GEF=180°-(∠2-∠1)=180°-∠2+∠1,所以∠CFH=∠3-∠EFH=∠3-(180°-∠2+∠1)=∠3+∠2-∠1-180°.
因为FH//CD,所以∠4=∠3+∠2-∠1-180°.故选D.
8. (2025·连云港期末)[阅读·领会]在几何图形学习过程中,为了帮助解题可在原图的基础上添加直线或线段,比如要证明直线a,b是否平行,可添加“第三条直线”(即图(1)中的截线c),把判断两条直线的位置关系转化为判断两个角的数量关系.我们称直线c为“辅助线”.
[实践·体悟]如图(2),已知∠ABE=∠DCF,∠E=∠F.求证:AB//CD.
(1)小明同学想到通过连接BC,作出平行线的截线,请你帮他完成下列证明过程:
证明:连接BC.
因为∠E=∠F(已知),
所以
所以
因为∠ABE=∠DCF(已知),
所以∠ABE+
所以
所以AB//CD(
(2)请你试用其他方法进行推理,并书写证明过程.
[实践·体悟]如图(2),已知∠ABE=∠DCF,∠E=∠F.求证:AB//CD.
(1)小明同学想到通过连接BC,作出平行线的截线,请你帮他完成下列证明过程:
证明:连接BC.
因为∠E=∠F(已知),
所以
BE//CF
(内错角相等,两直线平行),所以
∠EBC=∠FCB
(两直线平行,内错角相等).因为∠ABE=∠DCF(已知),
所以∠ABE+
∠EBC
=∠DCF+∠FCB
(等式性质),所以
∠ABC
=∠DCB
(等量代换),所以AB//CD(
内错角相等,两直线平行
).(2)请你试用其他方法进行推理,并书写证明过程.
答案：
8.(1)BE//CF ∠EBC=∠FCB ∠EBC ∠FCB ∠ABC ∠DCB 内错角相等,两直线平行
(2)如图,延长BE交DC的延长线于点M.
因为∠BEF=∠F,所以BM//CF,所以∠BMC=∠DCF.
因为∠ABE=∠DCF,所以∠BMC=∠ABE,
所以AB//CD.
8.(1)BE//CF ∠EBC=∠FCB ∠EBC ∠FCB ∠ABC ∠DCB 内错角相等,两直线平行
(2)如图,延长BE交DC的延长线于点M.
因为∠BEF=∠F,所以BM//CF,所以∠BMC=∠DCF.
因为∠ABE=∠DCF,所以∠BMC=∠ABE,
所以AB//CD.