8.某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗:我问开店李三公,众客都来到店中,一房七客多七客,一房九客一房空.诗中后两句的意思是:如果每一间客房住7人,那么有7人无房可住;如果每一间客房住9人,那么就空出一间房.
(1)该店有客房多少间?房客多少人?
(2)假设店主李三公将客房进行改造后,房间数大大增加.每间客房收费20钱,且每间客房最多入住4人,一次性订客房18间以上(含18间),房费按8折优惠.若诗中“众客”再次一起入住,他们如何订房更划算?请写出你作出这种决策的理由.
(1)该店有客房多少间?房客多少人?
(2)假设店主李三公将客房进行改造后,房间数大大增加.每间客房收费20钱,且每间客房最多入住4人,一次性订客房18间以上(含18间),房费按8折优惠.若诗中“众客”再次一起入住,他们如何订房更划算?请写出你作出这种决策的理由.
答案：8. (1)设客房有 $x$ 间.
根据题意,得 $7x + 7 = 9x - 9$,
解得 $x = 8$,所以房客为 $7 × 8 + 7 = 63$(人).
故该店有客房 8 间,房客 63 人.
(2)如果每 4 人一个房间,需要 $63 ÷ 4 = 15 \frac{3}{4} \approx 16$(间)客房,总费用为 $16 × 20 = 320$(钱).
若订 18 间,则总费用为 $18 × 20 × 0.8 = 288$(钱)$＜ 320$ 钱.
故他们再次入住时订 18 间房更划算.
根据题意,得 $7x + 7 = 9x - 9$,
解得 $x = 8$,所以房客为 $7 × 8 + 7 = 63$(人).
故该店有客房 8 间,房客 63 人.
(2)如果每 4 人一个房间,需要 $63 ÷ 4 = 15 \frac{3}{4} \approx 16$(间)客房,总费用为 $16 × 20 = 320$(钱).
若订 18 间,则总费用为 $18 × 20 × 0.8 = 288$(钱)$＜ 320$ 钱.
故他们再次入住时订 18 间房更划算.
9. (2025·甘孜州中考)光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，会发生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，∠1=40°,∠2=120°,则∠3+∠4等于(
A.120°
B.140°
C.160°
D.170°
C
).A.120°
B.140°
C.160°
D.170°
答案：9.C
10. (2025·连云港月考)我们知道乌鸦喝水的故事.
现在来做一个道理相同的游戏.如图,在圆柱形玻璃桶里已有定量的水,将大小相同的围棋棋子一个个慢慢投入其中.显然,在有水溢出之前,每投入一个棋子,桶里水位的高度都会有变化.根据图上信息,解答下列各题:
(1)投入第1个围棋棋子后,水位上升了
(2)设投入了n个围棋棋子,没有水溢出.用n表示此时桶里水的高度.
(3)小亮认为投入72个围棋棋子,正好可以使水位达到桶的高度.你同意他的观点吗?说明理由.
现在来做一个道理相同的游戏.如图,在圆柱形玻璃桶里已有定量的水,将大小相同的围棋棋子一个个慢慢投入其中.显然,在有水溢出之前,每投入一个棋子,桶里水位的高度都会有变化.根据图上信息,解答下列各题:
(1)投入第1个围棋棋子后,水位上升了
0.25
cm,此时桶里的水位高度达到了12.25
cm.(2)设投入了n个围棋棋子,没有水溢出.用n表示此时桶里水的高度.
(3)小亮认为投入72个围棋棋子,正好可以使水位达到桶的高度.你同意他的观点吗?说明理由.
答案：10. (1)0.25 12.25 [解析]无棋子时,水位为 12 cm,投入12 个围棋棋子时,水位增长了 3 cm,所以每增加一个棋子,水位上升 $3 ÷ 12 = 0.25(\mathrm{cm})$. 故投入第 1 个围棋棋子后,水位上升了 0.25 cm,此时桶里的水位高度达到了 12.25 cm.
(2)由(1)知,每增加一个围棋棋子,水位上升 0.25 cm.
故投入 $n$ 个围棋棋子后,桶里水的高度为 $(0.25n + 12)\mathrm{cm}$.
(3)同意. 理由如下:
因为当 $n = 72$ 时, $0.25n + 12 = 30$,
所以正好可使水位达到桶的高度.
(2)由(1)知,每增加一个围棋棋子,水位上升 0.25 cm.
故投入 $n$ 个围棋棋子后,桶里水的高度为 $(0.25n + 12)\mathrm{cm}$.
(3)同意. 理由如下:
因为当 $n = 72$ 时, $0.25n + 12 = 30$,
所以正好可使水位达到桶的高度.
11.(2025·南通启东期中)如果整式A与整式B的和为一个常数a,我们称A,B为常数a的“和谐整式”,例如:$x-6$和$-x+7$为数1的“和谐整式”.若关于$x$的整式$9x^2 - mx + 6$与$-3(3x^2 - x + m)$为常数$k$的“和谐整式”(其中$m$为常数),则$k$的值为(
A.3
B.$-3$
C.5
D.15
B
).A.3
B.$-3$
C.5
D.15
答案：11.B [解析]因为整式 $9x^2 - mx + 6$ 与 $-3(3x^2 - x + m)$ 为常数 $k$ 的“和谐整式”, $-3(3x^2 - x + m) = -9x^2 + 3x - 3m$,
所以 $-m = -3$, 解得 $m = 3$,
所以 $-3m = -9$,
所以 $k = 6 + (-9) = -3$, 即 $k$ 的值为 $-3$.
故选 B.
所以 $-m = -3$, 解得 $m = 3$,
所以 $-3m = -9$,
所以 $k = 6 + (-9) = -3$, 即 $k$ 的值为 $-3$.
故选 B.
12.数学课上,老师给出如下问题:
已知$∠ AOB=90°$,OC是平面内一条射线,
OD,OE分别平分$∠ AOC$,$∠ BOC$,求$∠ DOE$的度数.(本题涉及计算的角均不大于$180°$)
小秦:以下是我的解答过程(部分空缺).
解:如图.因为OC是$∠ DOE$内一条射线,
所以$∠ DOE=∠ DOC+$
因为OD,OE分别平分$∠ AOC$,$∠ BOC$,
所以$∠ DOC=\_\_\_\_\_\_=\frac{1}{2}∠ BOC$,
所以$∠ DOE=\frac{1}{2}(∠ AOC+∠ BOC)$.
因为OC是$∠ AOB$内一条射线,
所以$∠ BOC+$
因为$∠ AOB=90°$,
所以$∠ AOC+∠ BOC=90°$,
所以$∠ DOE=$
(1)请补全小秦的解答过程;
(2)数学老师说:"小秦的解答并不完整,符合题目要求的图形还有三种."请找出另外三种情况,并解答.
(第12题)
已知$∠ AOB=90°$,OC是平面内一条射线,
OD,OE分别平分$∠ AOC$,$∠ BOC$,求$∠ DOE$的度数.(本题涉及计算的角均不大于$180°$)
小秦:以下是我的解答过程(部分空缺).
解:如图.因为OC是$∠ DOE$内一条射线,
所以$∠ DOE=∠ DOC+$
∠COE
.因为OD,OE分别平分$∠ AOC$,$∠ BOC$,
所以$∠ DOC=\_\_\_\_\_\_=\frac{1}{2}∠ BOC$,
所以$∠ DOE=\frac{1}{2}(∠ AOC+∠ BOC)$.
因为OC是$∠ AOB$内一条射线,
所以$∠ BOC+$
∠AOC
$=∠ AOB$.因为$∠ AOB=90°$,
所以$∠ AOC+∠ BOC=90°$,
所以$∠ DOE=$
45°
.(1)请补全小秦的解答过程;
(2)数学老师说:"小秦的解答并不完整,符合题目要求的图形还有三种."请找出另外三种情况,并解答.
(第12题)答案：
12. (1)$∠ COE$ $\frac{1}{2}∠ AOC$ $∠ COE$ $∠ AOC$ $45°$
(2)延长 $AO$ 至点 $M$, 延长 $BO$ 至点 $N$.
如图(1),当射线 $OC$ 在 $∠ AOB$ 外部且在 $∠ BOM$ 内部时,
因为 $OC$ 是 $∠ DOE$ 外一条射线,
所以 $∠ DOE = ∠ DOC - ∠ COE$.
因为 $OD,OE$ 分别平分 $∠ AOC, ∠ BOC$,
所以 $∠ DOC = \frac{1}{2}∠ AOC, ∠ COE = \frac{1}{2}∠ BOC$,
所以 $∠ DOE = \frac{1}{2}(∠ AOC - ∠ BOC)$.
因为 $∠ AOB = 90°$,
所以 $∠ AOC - ∠ BOC = ∠ AOB = 90°$,
所以 $∠ DOE = 45°$. 同理, 当射线 $OC$ 在 $∠ AOB$ 外部且在 $∠ AON$ 内部时, $∠ DOE = 45°$.
如图
,当射线 $OC$ 在 $∠ AOB$ 外部且在 $∠ MON$ 内部时.
因为 $OC$ 是 $∠ DOE$ 内一条射线,
所以 $∠ DOE = ∠ DOC + ∠ COE$.
因为 $OD,OE$ 分别平分 $∠ AOC, ∠ BOC$,
所以 $∠ DOC = \frac{1}{2}∠ AOC, ∠ COE = \frac{1}{2}∠ BOC$,
所以 $∠ DOE = \frac{1}{2}(∠ AOC + ∠ BOC)$.
因为 $∠ AOB = 90°$,
所以 $∠ AOC + ∠ BOC = 360° - ∠ AOB = 270°$,
所以 $∠ DOE = 135°$.
综上, $∠ DOE$ 的度数为 $45°$ 或 $135°$.
12. (1)$∠ COE$ $\frac{1}{2}∠ AOC$ $∠ COE$ $∠ AOC$ $45°$
(2)延长 $AO$ 至点 $M$, 延长 $BO$ 至点 $N$.
如图(1),当射线 $OC$ 在 $∠ AOB$ 外部且在 $∠ BOM$ 内部时,
因为 $OC$ 是 $∠ DOE$ 外一条射线,
所以 $∠ DOE = ∠ DOC - ∠ COE$.
因为 $OD,OE$ 分别平分 $∠ AOC, ∠ BOC$,
所以 $∠ DOC = \frac{1}{2}∠ AOC, ∠ COE = \frac{1}{2}∠ BOC$,
所以 $∠ DOE = \frac{1}{2}(∠ AOC - ∠ BOC)$.
因为 $∠ AOB = 90°$,
所以 $∠ AOC - ∠ BOC = ∠ AOB = 90°$,
所以 $∠ DOE = 45°$. 同理, 当射线 $OC$ 在 $∠ AOB$ 外部且在 $∠ AON$ 内部时, $∠ DOE = 45°$.
如图
,当射线 $OC$ 在 $∠ AOB$ 外部且在 $∠ MON$ 内部时.因为 $OC$ 是 $∠ DOE$ 内一条射线,
所以 $∠ DOE = ∠ DOC + ∠ COE$.
因为 $OD,OE$ 分别平分 $∠ AOC, ∠ BOC$,
所以 $∠ DOC = \frac{1}{2}∠ AOC, ∠ COE = \frac{1}{2}∠ BOC$,
所以 $∠ DOE = \frac{1}{2}(∠ AOC + ∠ BOC)$.
因为 $∠ AOB = 90°$,
所以 $∠ AOC + ∠ BOC = 360° - ∠ AOB = 270°$,
所以 $∠ DOE = 135°$.
综上, $∠ DOE$ 的度数为 $45°$ 或 $135°$.