13. 分类讨论思想 如图,数轴上A,B两点对应的有理数分别为-10和20,点P从原点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动,点Q同时从点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动,设运动时间为t秒.
(1)分别求出当$t=2$和$t=12$时,对应的线段$PQ$的长度.
(2)当$PQ=5$时,求出所有符合条件的$t$的值,并求出此时点$Q$所对应的数.
(3)若点$P$一直沿数轴的正方向运动,点$Q$运动到点$B$时,立即改变运动方向,沿数轴的负方向运动,到达点$A$时,随即停止运动,在点$Q$的整个运动过程中,是否存在合适的$t$值,使得$PQ=8$?若存在,求出所有符合条件的$t$值;若不存在,请说明理由.
(1)分别求出当$t=2$和$t=12$时,对应的线段$PQ$的长度.
(2)当$PQ=5$时,求出所有符合条件的$t$的值,并求出此时点$Q$所对应的数.
(3)若点$P$一直沿数轴的正方向运动,点$Q$运动到点$B$时,立即改变运动方向,沿数轴的负方向运动,到达点$A$时,随即停止运动,在点$Q$的整个运动过程中,是否存在合适的$t$值,使得$PQ=8$?若存在,求出所有符合条件的$t$值;若不存在,请说明理由.
答案：13. (1)当运动时间为 $t$ 秒时,点 $P$ 对应的数为 $t$,点 $Q$ 对应的数为 $2t - 10$, 所以 $PQ = |t - (2t - 10)| = |t - 10|$.
当 $t = 2$ 时, $PQ = |2 - 10| = 8$;
当 $t = 12$ 时, $PQ = |12 - 10| = 2$.
则当 $t = 2$ 时,线段 $PQ$ 的长度为 8,
当 $t = 12$ 时,线段 $PQ$ 的长度为 2.
(2)根据题意,得 $|t - 10| = 5$, 解得 $t = 5$ 或 $t = 15$,
当 $t = 5$ 时,点 $Q$ 对应的数为 $2t - 10 = 0$;
当 $t = 15$ 时,点 $Q$ 对应的数为 $2t - 10 = 20$.
则当 $PQ = 5$ 时, $t$ 的值为 5 或 15, 此时点 $Q$ 所对应的数为 0 或 20.
(3)存在, $t$ 的值为 2 或 $\frac{58}{3}$. 理由如下:
当运动时间为 $t$ 秒时,点 $P$ 对应的数为 $t$,
点 $Q$ 对应的数为 $\begin{cases}2t - 10(0 ＜ t ≤ 15), \\ 20 - 2(t - 15)(15 ＜ t ≤ 30).\end{cases}$
当 $0 ＜ t ≤ 15$ 时, $PQ = |t - (2t - 10)| = |t - 10|$,
所以 $|t - 10| = 8$, 解得 $t_1 = 2, t_2 = 18$(舍去);
当 $15 ＜ t ≤ 30$ 时, $PQ = |t - [20 - 2(t - 15)]| = |3t - 50|$,
所以 $|3t - 50| = 8$,
解得 $t_3 = \frac{58}{3}, t_4 = 14$(舍去).
综上所述,在点 $Q$ 的整个运动过程中,存在合适的 $t$ 值,使得 $PQ = 8$, 此时 $t$ 的值为 2 或 $\frac{58}{3}$.
【思路引导】本题考查了两点间的距离、数轴以及一元一次方程的应用,解题的关键是:(1)用含 $t$ 的代数式表示出 $PQ$ 的长度;(2)由(1)的结论结合 $PQ=5$ 找出关于 $t$ 的含绝对值符号的一元一次方程;(3)分 $0＜t≤15$ 和 $15＜t≤30$ 两种情况列出关于 $t$ 的含绝对值符号的一元一次方程.
当 $t = 2$ 时, $PQ = |2 - 10| = 8$;
当 $t = 12$ 时, $PQ = |12 - 10| = 2$.
则当 $t = 2$ 时,线段 $PQ$ 的长度为 8,
当 $t = 12$ 时,线段 $PQ$ 的长度为 2.
(2)根据题意,得 $|t - 10| = 5$, 解得 $t = 5$ 或 $t = 15$,
当 $t = 5$ 时,点 $Q$ 对应的数为 $2t - 10 = 0$;
当 $t = 15$ 时,点 $Q$ 对应的数为 $2t - 10 = 20$.
则当 $PQ = 5$ 时, $t$ 的值为 5 或 15, 此时点 $Q$ 所对应的数为 0 或 20.
(3)存在, $t$ 的值为 2 或 $\frac{58}{3}$. 理由如下:
当运动时间为 $t$ 秒时,点 $P$ 对应的数为 $t$,
点 $Q$ 对应的数为 $\begin{cases}2t - 10(0 ＜ t ≤ 15), \\ 20 - 2(t - 15)(15 ＜ t ≤ 30).\end{cases}$
当 $0 ＜ t ≤ 15$ 时, $PQ = |t - (2t - 10)| = |t - 10|$,
所以 $|t - 10| = 8$, 解得 $t_1 = 2, t_2 = 18$(舍去);
当 $15 ＜ t ≤ 30$ 时, $PQ = |t - [20 - 2(t - 15)]| = |3t - 50|$,
所以 $|3t - 50| = 8$,
解得 $t_3 = \frac{58}{3}, t_4 = 14$(舍去).
综上所述,在点 $Q$ 的整个运动过程中,存在合适的 $t$ 值,使得 $PQ = 8$, 此时 $t$ 的值为 2 或 $\frac{58}{3}$.
【思路引导】本题考查了两点间的距离、数轴以及一元一次方程的应用,解题的关键是:(1)用含 $t$ 的代数式表示出 $PQ$ 的长度;(2)由(1)的结论结合 $PQ=5$ 找出关于 $t$ 的含绝对值符号的一元一次方程;(3)分 $0＜t≤15$ 和 $15＜t≤30$ 两种情况列出关于 $t$ 的含绝对值符号的一元一次方程.