1.（2026·徐州贾汪区期中）下面一组图形是由若干个大小相同的花朵组成.图（1）中有5个花朵，图（2）中有8个花朵，图（3）中有11个花朵，…，依此规律，则图（n）中花朵的个数是
3n+2
.（用含n的代数式表示）答案：3n+2
[解析]由所给图形可知，
题图(1)中花朵的个数为5=1×3+2；
题图(2)中花朵的个数为8=2×3+2；
题图(3)中花朵的个数为11=3×3+2；…，
所以题图(n)中花朵的个数为(3n+2)个.
[解析]由所给图形可知，
题图(1)中花朵的个数为5=1×3+2；
题图(2)中花朵的个数为8=2×3+2；
题图(3)中花朵的个数为11=3×3+2；…，
所以题图(n)中花朵的个数为(3n+2)个.
2.跨学科 分子结构模型（2025·济宁金乡一模改编）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子.第1种（如图（1））有4个氢原子，第2种（如图（2））有6个氢原子，第3种（如图（3））有8个氢原子，…，按照这一规律，第15种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是
32
.答案：32
[解析]由所给图形可知，
第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为4=1×2+2；
第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为6=2×2+2；
第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为8=3×2+2；
第4种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为10=4×2+2；…，
所以第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为(2n+2)个.当n=15时，2×15+2=32(个)，
即第15种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是32个.
[解析]由所给图形可知，
第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为4=1×2+2；
第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为6=2×2+2；
第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为8=3×2+2；
第4种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为10=4×2+2；…，
所以第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为(2n+2)个.当n=15时，2×15+2=32(个)，
即第15种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是32个.
3. (2025·上海青浦区期末)探索规律,并回答问题:观察如图的图形,我们会发现:图(1)空白部分小正方形的个数是$2^2 -1^2=2+1$;图(2)空白部分小正方形的个数是$3^2 -2^2=3+2$;图(3)空白部分小正方形的个数是$4^2 -3^2=4+3$;像这样继续排列下去,可以用含有字母n的代数式表示为
$(n+1)^2 -n^2 =n+1+n$
.(其中n为正整数)答案：$(n+1)^2 -n^2 =n+1+n$
4. 方程思想（2025·河北唐山遵化期末）围棋起源于中国，是一种策略型两人棋类游戏，中国古时称“弈”，春秋战国时期就有记载. 老师带领学生以围棋为道具摆出如图的四幅图.
[观察思考]
第1个图形一共有10颗棋子，第2个图形一共有16颗棋子，第3个图形一共有22颗棋子，第4个图形一共有28颗棋子，…，以此类推.
[规律总结]
(1)第n个图形中棋子的颗数为
[问题解决]
(2)若按上面的规律摆出的一个图形有184颗棋子，则这是第
[观察思考]
第1个图形一共有10颗棋子，第2个图形一共有16颗棋子，第3个图形一共有22颗棋子，第4个图形一共有28颗棋子，…，以此类推.
[规律总结]
(1)第n个图形中棋子的颗数为
$6n+4$
；(用含n的代数式表示)[问题解决]
(2)若按上面的规律摆出的一个图形有184颗棋子，则这是第
$30$
个图形.答案：(1)$6n+4$
(2)30
[解析]令$6n+4=184$,解得$n=30$.
所以第30个图形中棋子的颗数为184颗.
(2)30
[解析]令$6n+4=184$,解得$n=30$.
所以第30个图形中棋子的颗数为184颗.
5. 如图，用火柴棍拼成一排由三角形组成的图形，如果图形中含有2,3或4个三角形，分别需要多少根火柴棍？如果图形中含有n个三角形，需要多少根火柴棍？
答案：借助表格整理数据得到下表：
|三角形个数|1|2|3|4|…|n|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|火柴棍根数|3|3+2|3+2+2|3+2+2+2|…|$3+\underbrace{2+2+2+\dots+2}_{(n-1)个}$|
故当图形中含有2,3或4个三角形时，分别需要5,7,9根火柴棍；第n个图形需要$[3+2(n-1)]$,即$(2n+1)$根火柴棍.
|三角形个数|1|2|3|4|…|n|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|火柴棍根数|3|3+2|3+2+2|3+2+2+2|…|$3+\underbrace{2+2+2+\dots+2}_{(n-1)个}$|
故当图形中含有2,3或4个三角形时，分别需要5,7,9根火柴棍；第n个图形需要$[3+2(n-1)]$,即$(2n+1)$根火柴棍.