1.已知$a^2 - a - 5 = 0$，求$(3a^2 - 7a) - 2(a^2 - 3a + 2)$的值。
答案：因为 $a^2 - a - 5=0$,所以 $a^2 - a=5$,
所以原式$=3a^2 -7a -2a^2 +6a -4=a^2 -a -4=5-4=1.$
所以原式$=3a^2 -7a -2a^2 +6a -4=a^2 -a -4=5-4=1.$
2.计算：$-6(a - b + c) + 4(a + b - c) + 8(a - b + c) + 3(c - a - b).$
答案：原式$=-6(a-b+c)+4(a+b-c)+8(a-b+c)-3(a+b-c)=[-6(a-b+c)+8(a-b+c)]+[4(a+b-c)-3(a+b-c)]=2(a-b+c)+(a+b-c)=3a -b +c.$
3.已知$3a^2 - 3ab = 33$，$3ab - 3b^2 = -21$，求代数式$a^2 - b^2$和$a^2 - 2ab + b^2$的值。
答案：因为$(3a^2 - 3ab)+(3ab - 3b^2)=3(a^2 - b^2)=33+(-21)=12$,所以$a^2 - b^2=4.$
因为$(3a^2 - 3ab)-(3ab - 3b^2)=3(a^2 - 2ab + b^2)=33-(-21)=54$,
所以$a^2 - 2ab + b^2=18.$
因为$(3a^2 - 3ab)-(3ab - 3b^2)=3(a^2 - 2ab + b^2)=33-(-21)=54$,
所以$a^2 - 2ab + b^2=18.$
4. (2026·常州期中)阅读材料:我们知道$4a+3a-a=6a$,类似地,我们把$x+y$看成一个整体,则$4(x+y)+(x+y)-2(x+y)=3(x+y)$,“整体思想”是一种重要的数学思想方法,它在多项式的化简与求值中应用极为广泛,
(1)尝试应用:把$a-b$看成一个整体,则$3(a-b)^2 -2(a-b)^2 +5(a-b)^2=$
(2)已知$x^2 -3y=2$,求$2x^2 -6y +5$的值;
(3)拓展探索:已知$a-2b=3,2b -c=-4,c -d=2$,求$(a -c)-(2b -c)+(2b -d)$的值.
(1)尝试应用:把$a-b$看成一个整体,则$3(a-b)^2 -2(a-b)^2 +5(a-b)^2=$
6(a-b)²
;(2)已知$x^2 -3y=2$,求$2x^2 -6y +5$的值;
(3)拓展探索:已知$a-2b=3,2b -c=-4,c -d=2$,求$(a -c)-(2b -c)+(2b -d)$的值.
答案：(1)$6(a-b)^2$
(2)$2x^2 -6y +5=2(x^2 -3y)+5.$
因为$x^2 -3y=2$,所以$2x^2 -6y +5=2×2+5=9.$
(3)原式$=a -c -2b +c +2b -d$
$=(a-2b)+(2b -c)+(c -d).$
因为$a-2b=3,2b -c=-4,c -d=2$,
所以$(a-2b)+(2b -c)+(c -d)=3+(-4)+2=1.$
(2)$2x^2 -6y +5=2(x^2 -3y)+5.$
因为$x^2 -3y=2$,所以$2x^2 -6y +5=2×2+5=9.$
(3)原式$=a -c -2b +c +2b -d$
$=(a-2b)+(2b -c)+(c -d).$
因为$a-2b=3,2b -c=-4,c -d=2$,
所以$(a-2b)+(2b -c)+(c -d)=3+(-4)+2=1.$
5.有一道题目是求一个已知多项式减去$3x^2 -6x+10$所得的差，粗心的小华误将求差当成了求和计算，结果得到$x^2 -2x+4$，试问正确的结果应该是多少？
答案：设已知多项式为A.
由题意,得$A+(3x^2 -6x+10)=x^2 -2x+4$,
所以$A=(x^2 -2x+4)-(3x^2 -6x+10)=-2x^2 +4x -6.$
故正确的结果为$(-2x^2 +4x -6)-(3x^2 -6x+10)=-5x^2 +10x -16.$
由题意,得$A+(3x^2 -6x+10)=x^2 -2x+4$,
所以$A=(x^2 -2x+4)-(3x^2 -6x+10)=-2x^2 +4x -6.$
故正确的结果为$(-2x^2 +4x -6)-(3x^2 -6x+10)=-5x^2 +10x -16.$