1. (2026·四川德阳旌阳区期中)解下列方程：
$\frac{3.1 + 0.2x}{0.2} - \frac{0.2 + 0.03x}{0.01} = \frac{3}{2}.$
$\frac{3.1 + 0.2x}{0.2} - \frac{0.2 + 0.03x}{0.01} = \frac{3}{2}.$
答案：整理,得$\frac{31+2x}{2}-(20+3x)=\frac{3}{2}$,
去分母,得$31+2x-2(20+3x)=3$,
去括号,得$31+2x-40-6x=3$,
移项,得$2x-6x=40-31+3$,
合并同类项,得$-4x=12$,
系数化为1,得$x=-3.$
去分母,得$31+2x-2(20+3x)=3$,
去括号,得$31+2x-40-6x=3$,
移项,得$2x-6x=40-31+3$,
合并同类项,得$-4x=12$,
系数化为1,得$x=-3.$
2. 分类讨论思想 先阅读下列解题过程，然后解答问题.
例:解绝对值方程: $|2x|=1$.
解:①当 $x≥0$ 时,原方程可化为 $2x=1$,它的解是 $x=\frac{1}{2}$;②当 $x＜0$ 时,原方程可化为 $-2x=1$,它的解是 $x=-\frac{1}{2}$.所以原方程的解为 $x=\frac{1}{2}$ 或 $x=-\frac{1}{2}$.
(1)依例题的解法,方程 $\left|\frac{1}{2}x\right|=2$ 的解是 ______;
(2)尝试解绝对值方程: $2|x-2|=6$;
(3)在理解绝对值方程解法的基础上,解方程: $|x-2|+|x-1|=5$.
例:解绝对值方程: $|2x|=1$.
解:①当 $x≥0$ 时,原方程可化为 $2x=1$,它的解是 $x=\frac{1}{2}$;②当 $x＜0$ 时,原方程可化为 $-2x=1$,它的解是 $x=-\frac{1}{2}$.所以原方程的解为 $x=\frac{1}{2}$ 或 $x=-\frac{1}{2}$.
(1)依例题的解法,方程 $\left|\frac{1}{2}x\right|=2$ 的解是 ______;
(2)尝试解绝对值方程: $2|x-2|=6$;
(3)在理解绝对值方程解法的基础上,解方程: $|x-2|+|x-1|=5$.
答案：(1)$x=4$ 或 $x=-4$
[解析]①当 $x≥0$ 时,原方程可化为$\frac{1}{2}x=2$,解得 $x=4$;②当 $x＜0$ 时,原方程可化为$-\frac{1}{2}x=2$,解得 $x=-4$. 所以原方程的解为 $x=4$ 或 $x=-4$.
(2)①$x≥2$时,原方程可化为 $2(x-2)=6$,它的解是 $x=5$;②当 $x＜2$ 时,原方程可化为 $-2(x-2)=6$,它的解是 $x=-1$. 所以原方程的解为 $x=5$ 或 $x=-1$.
(3)①当 $x≥2$ 时,原方程可化为 $x-2+x-1=5$,解得$x=4$;
②当 $x≤1$ 时,原方程可化为 $2-x+1-x=5$,解得$x=-1$;
③当 $1＜x＜2$ 时,原方程可化为 $2-x+x-1=5$,此时方程无解. 所以原方程的解为 $x=4$ 或 $x=-1$.
[解析]①当 $x≥0$ 时,原方程可化为$\frac{1}{2}x=2$,解得 $x=4$;②当 $x＜0$ 时,原方程可化为$-\frac{1}{2}x=2$,解得 $x=-4$. 所以原方程的解为 $x=4$ 或 $x=-4$.
(2)①$x≥2$时,原方程可化为 $2(x-2)=6$,它的解是 $x=5$;②当 $x＜2$ 时,原方程可化为 $-2(x-2)=6$,它的解是 $x=-1$. 所以原方程的解为 $x=5$ 或 $x=-1$.
(3)①当 $x≥2$ 时,原方程可化为 $x-2+x-1=5$,解得$x=4$;
②当 $x≤1$ 时,原方程可化为 $2-x+1-x=5$,解得$x=-1$;
③当 $1＜x＜2$ 时,原方程可化为 $2-x+x-1=5$,此时方程无解. 所以原方程的解为 $x=4$ 或 $x=-1$.
3. 类比推理是一种推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论. 在异分母分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{2×3} - \frac{2}{3×2} = \frac{3-2}{6} = \frac{1}{6}$，我们将上述计算过程倒过来，得到$\frac{1}{6} = \frac{1}{2×3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$，这一恒等变形过程在数学中叫作裂项. 类似地，对于$\frac{1}{2×4}$可以用裂项的方法变形为$\frac{1}{2×4} = \frac{1}{2}×(\frac{1}{2} - \frac{1}{4})$. 类比上述方法，解决以下问题.
(1) $\frac{1}{1×2} + \frac{1}{2×3} + \frac{1}{3×4} + \frac{1}{4×5} = \_\_\_\_\_\_$；
(2) 求解关于$x$的方程：$\frac{1}{-2×4} + \frac{1}{-4×6} + \dots + \frac{1}{-48×50} = \frac{19}{25} - 2x$.
(1) $\frac{1}{1×2} + \frac{1}{2×3} + \frac{1}{3×4} + \frac{1}{4×5} = \_\_\_\_\_\_$；
(2) 求解关于$x$的方程：$\frac{1}{-2×4} + \frac{1}{-4×6} + \dots + \frac{1}{-48×50} = \frac{19}{25} - 2x$.
答案：(1)$\frac{4}{5}$
[解析]原式$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}=1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$.
(2)方程整理,得$-\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+\dots+\frac{1}{48}-\frac{1}{50})=\frac{19}{25}-2x$,即$-\frac{6}{25}=\frac{19}{25}-2x$,解得$x=\frac{1}{2}$.
[解析]原式$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}=1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$.
(2)方程整理,得$-\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+\dots+\frac{1}{48}-\frac{1}{50})=\frac{19}{25}-2x$,即$-\frac{6}{25}=\frac{19}{25}-2x$,解得$x=\frac{1}{2}$.