8. 分类讨论思想 如图，甲、乙两个长方体容器放置在同一水平桌面上，容器甲的底面积为$80\ \mathrm{dm}^2$，高为$6\ \mathrm{dm}$；容器乙的底面积为$40\ \mathrm{dm}^2$，高为$9\ \mathrm{dm}$。容器甲中盛满水，容器乙中没有水，容器乙的最下方装有一只处在关闭状态的水龙头。现从容器甲向容器乙匀速注水，每分钟注水$20\ \mathrm{dm}^3$。
(1)水龙头关闭时，容器甲中水位的高度每分钟下降
(2)当容器乙注满水时，求此时容器甲中水位的高度。
(3)在容器乙注满水的同时，打开水龙头开始放水，水龙头每分钟放水$60\ \mathrm{dm}^3$。从容器甲开始注水起，经过多长时间，两个容器中水位的高度相差$4\ \mathrm{dm}$？
(1)水龙头关闭时，容器甲中水位的高度每分钟下降
$\frac{1}{4}$
$\mathrm{dm}$，容器乙中水位的高度每分钟上升$\frac{1}{2}$
$\mathrm{dm}$。(2)当容器乙注满水时，求此时容器甲中水位的高度。
(3)在容器乙注满水的同时，打开水龙头开始放水，水龙头每分钟放水$60\ \mathrm{dm}^3$。从容器甲开始注水起，经过多长时间，两个容器中水位的高度相差$4\ \mathrm{dm}$？
答案：8. (1)$\frac{1}{4}$ $\frac{1}{2}$
[解析]容器甲中水位的高度每分钟下降$\frac{20}{80}=\frac{1}{4}$(dm),容器乙中水位的高度每分钟上升$\frac{20}{40}=\frac{1}{2}$(dm)。
(2)当容器乙注满水时,此时容器甲中水位的高度是$\frac{80×6-40×9}{80}=\frac{3}{2}$(dm)。
(3)①在容器乙未注满水时,设开始注水x分钟,容器甲中水位比容器乙中水位高4 dm。
根据题意,得$(6-\frac{1}{4}x)-\frac{1}{2}x=4$,解得$x=\frac{8}{3}$，
所以开始注水$\frac{8}{3}$分钟,容器甲中水位比容器乙中水位高4 dm；
②在容器乙未注满水时,设开始注水y分钟,容器乙中水位比容器甲中水位高4 dm。
根据题意,得$\frac{1}{2}y-(6-\frac{1}{4}y)=4$,解得$y=\frac{40}{3}$，
所以开始注水$\frac{40}{3}$分钟,容器乙中水位比容器甲中水位高4 dm；
③容器乙注满水后,设开始注水z分钟,容器乙中水位比容器甲中水位高4 dm。
根据题意,得$9-\frac{60-20}{40}×(z-\frac{40×9}{20})-(6-\frac{1}{4}z)=4$，
解得$z=\frac{68}{3}$,所以开始注水$\frac{68}{3}$分钟,容器乙中水位比容器甲中水位高4 dm。
综上所述,从容器甲开始注水起,经过$\frac{8}{3}$分钟或$\frac{40}{3}$分钟或$\frac{68}{3}$分钟,两个容器中水位的高度相差4 dm。
[解析]容器甲中水位的高度每分钟下降$\frac{20}{80}=\frac{1}{4}$(dm),容器乙中水位的高度每分钟上升$\frac{20}{40}=\frac{1}{2}$(dm)。
(2)当容器乙注满水时,此时容器甲中水位的高度是$\frac{80×6-40×9}{80}=\frac{3}{2}$(dm)。
(3)①在容器乙未注满水时,设开始注水x分钟,容器甲中水位比容器乙中水位高4 dm。
根据题意,得$(6-\frac{1}{4}x)-\frac{1}{2}x=4$,解得$x=\frac{8}{3}$，
所以开始注水$\frac{8}{3}$分钟,容器甲中水位比容器乙中水位高4 dm；
②在容器乙未注满水时,设开始注水y分钟,容器乙中水位比容器甲中水位高4 dm。
根据题意,得$\frac{1}{2}y-(6-\frac{1}{4}y)=4$,解得$y=\frac{40}{3}$，
所以开始注水$\frac{40}{3}$分钟,容器乙中水位比容器甲中水位高4 dm；
③容器乙注满水后,设开始注水z分钟,容器乙中水位比容器甲中水位高4 dm。
根据题意,得$9-\frac{60-20}{40}×(z-\frac{40×9}{20})-(6-\frac{1}{4}z)=4$，
解得$z=\frac{68}{3}$,所以开始注水$\frac{68}{3}$分钟,容器乙中水位比容器甲中水位高4 dm。
综上所述,从容器甲开始注水起,经过$\frac{8}{3}$分钟或$\frac{40}{3}$分钟或$\frac{68}{3}$分钟,两个容器中水位的高度相差4 dm。
9.（选自《实验班 初中数学 应用题》）如图(1)是甲、乙两个圆柱形水槽轴截面图，甲槽内水位高度为12 cm，乙槽内无水，现将甲槽内的水注入乙槽.
(1)若甲槽的底面积是乙槽的2倍.
①当甲槽内水位下降x cm，则乙槽内水位上升
②当甲槽与乙槽内水位高度相等时，求水槽中水位的高度.
(2)如图(2)，若乙槽内放入高度为12 cm的圆柱形铁块，当甲槽内水位下降到4 cm时，乙槽内水位刚好到达铁块高度；当甲槽内的水全部注入乙槽时，乙槽内的水位高度是17 cm.若乙槽的底面积是48 cm²，求甲槽的底面积和铁块的底面积.
视频学重难
(1)若甲槽的底面积是乙槽的2倍.
①当甲槽内水位下降x cm，则乙槽内水位上升
$2x$
cm;(用含x的代数式表示)②当甲槽与乙槽内水位高度相等时，求水槽中水位的高度.
(2)如图(2)，若乙槽内放入高度为12 cm的圆柱形铁块，当甲槽内水位下降到4 cm时，乙槽内水位刚好到达铁块高度；当甲槽内的水全部注入乙槽时，乙槽内的水位高度是17 cm.若乙槽的底面积是48 cm²，求甲槽的底面积和铁块的底面积.
视频学重难
答案：9. (1)①$2x$
[解析]因为甲槽的底面积是乙槽的2倍，
所以当甲槽内水位下降x cm,则乙槽内水位上升2x cm。
②根据题意,得$12-x=2x$，
解得$x=4$,所以$12-x=12-4=8$。
故当甲槽与乙槽内水位高度相等时,水槽中水位的高度为8 cm。
(2)根据题意,得乙槽内水位上升$17-12=5$(cm),甲槽内水位下降4 cm。
因为乙槽的底面积是48 cm²，
所以甲槽的底面积为$\frac{48×5}{4}=60$(cm²)。
设铁块的底面积为a cm²，
根据题意,得$60×(12-4)=(48-a)×12$，
解得$a=8$。
故甲槽的底面积为60 cm²,铁块的底面积为8 cm²。
[解析]因为甲槽的底面积是乙槽的2倍，
所以当甲槽内水位下降x cm,则乙槽内水位上升2x cm。
②根据题意,得$12-x=2x$，
解得$x=4$,所以$12-x=12-4=8$。
故当甲槽与乙槽内水位高度相等时,水槽中水位的高度为8 cm。
(2)根据题意,得乙槽内水位上升$17-12=5$(cm),甲槽内水位下降4 cm。
因为乙槽的底面积是48 cm²，
所以甲槽的底面积为$\frac{48×5}{4}=60$(cm²)。
设铁块的底面积为a cm²，
根据题意,得$60×(12-4)=(48-a)×12$，
解得$a=8$。
故甲槽的底面积为60 cm²,铁块的底面积为8 cm²。
10. (2025·台湾中考)如图为贝可咖啡店的菜单，店家今日准备了120杯咖啡和100个三明治贩卖.若今日准备的餐点全部售出且收入共为8700元，则售出早餐组合的收入在下列哪一个范围？(
A.4 300~4 399元
B.4 400~4 499元
C.4 500~4 599元
D.4 600~4 699元
C
).A.4 300~4 399元
B.4 400~4 499元
C.4 500~4 599元
D.4 600~4 699元
答案：10. C
[解析]设售出x组早餐组合,则售出$(120-x)$杯咖啡,$(100-x)$个三明治。
根据题意,得$50(120-x)+40(100-x)+70x=8\ 700$，
解得$x=65$,所以$70x=70×65=4\ 550$(元)，
所以售出早餐组合的收入在4 500~4 599元.故选C。
[解析]设售出x组早餐组合,则售出$(120-x)$杯咖啡,$(100-x)$个三明治。
根据题意,得$50(120-x)+40(100-x)+70x=8\ 700$，
解得$x=65$,所以$70x=70×65=4\ 550$(元)，
所以售出早餐组合的收入在4 500~4 599元.故选C。