26. 跨学科 阅读下面材料,回答问题:
距离能够产生美.唐代著名文学家韩愈曾赋诗:"天街小雨润如酥,草色遥看近却无."
当代印度著名诗人泰戈尔在《世界上最遥远的距离》中写道:"世界上最遥远的距离,不是瞬间便无处寻觅,而是尚未相遇,便注定无法相聚."
距离是数学、天文学、物理学中的热门话题,唯有对宇宙距离进行测量,人类才能掌握世界尺度.
已知点A,B在数轴上分别表示有理数a,b,A,B两点之间的距离表示为AB.
当A,B两点中有一点在原点时,不妨设点A在原点,如图(1),$AB=OB=|b|-|a|=b-a=|a-b|$.
当A,B两点都不在原点时,
①如图(2),点A,B都在原点的右边,$AB=OB-OA=|b|-|a|=b-a=|a-b|$;
②如图(3),点A,B都在原点的左边,$AB=OB-OA=|b|-|a|=-b-(-a)=a-b=|a-b|$;
③如图(4),点A,B在原点的两边,$AB=OA+OB=|a|+|b|=a+(-b)=a-b=|a-b|$.
综上,数轴上A,B两点的距离$AB=|a-b|$.
利用上述结论,回答以下三个问题:
(1)若数轴上表示x和-2的两点之间的距离是4,则$x=$
(2)当$|x+1|+|x-2|$取最小值时,x的取值范围是
(3)若未知数x,y满足$(|x-1|+|x-3|)(|y-2|+|y+1|)=6$,求$x+2y$的最大值和最小值.
距离能够产生美.唐代著名文学家韩愈曾赋诗:"天街小雨润如酥,草色遥看近却无."
当代印度著名诗人泰戈尔在《世界上最遥远的距离》中写道:"世界上最遥远的距离,不是瞬间便无处寻觅,而是尚未相遇,便注定无法相聚."
距离是数学、天文学、物理学中的热门话题,唯有对宇宙距离进行测量,人类才能掌握世界尺度.
已知点A,B在数轴上分别表示有理数a,b,A,B两点之间的距离表示为AB.
当A,B两点中有一点在原点时,不妨设点A在原点,如图(1),$AB=OB=|b|-|a|=b-a=|a-b|$.
当A,B两点都不在原点时,
①如图(2),点A,B都在原点的右边,$AB=OB-OA=|b|-|a|=b-a=|a-b|$;
②如图(3),点A,B都在原点的左边,$AB=OB-OA=|b|-|a|=-b-(-a)=a-b=|a-b|$;
③如图(4),点A,B在原点的两边,$AB=OA+OB=|a|+|b|=a+(-b)=a-b=|a-b|$.
综上,数轴上A,B两点的距离$AB=|a-b|$.
利用上述结论,回答以下三个问题:
(1)若数轴上表示x和-2的两点之间的距离是4,则$x=$
$-6或2$
;(2)当$|x+1|+|x-2|$取最小值时,x的取值范围是
$-1≤ x≤2$
;(3)若未知数x,y满足$(|x-1|+|x-3|)(|y-2|+|y+1|)=6$,求$x+2y$的最大值和最小值.
答案：26.(1)$-6$或$2$
[解析]若数轴上表示$x$和－2 的两点之间的距离是 4,
则$|x+2|=4$,解得$x=-6$或$x=2$.
(2)$-1≤ x≤2$
[解析]当$|x+1|+|x-2|$取最小值时,表示在数轴上找一点$x$,到－1 和 2 的距离之和最小,显然这个点$x$在－1 和 2 之间.
(3)因为$(|x-1|+|x-3|)(|y-2|+|y+1|)=6$,
又$|x-1|+|x-3|$的最小值为 2,$|y-2|+|y+1|$的最小值为 3,所以$|x-1|+|x-3|=2$,$|y-2|+|y+1|=3$,
所以$1≤ x≤3$,$-1≤ y≤2$,
所以$x+2y$的最大值是 7,最小值是－1.
[解析]若数轴上表示$x$和－2 的两点之间的距离是 4,
则$|x+2|=4$,解得$x=-6$或$x=2$.
(2)$-1≤ x≤2$
[解析]当$|x+1|+|x-2|$取最小值时,表示在数轴上找一点$x$,到－1 和 2 的距离之和最小,显然这个点$x$在－1 和 2 之间.
(3)因为$(|x-1|+|x-3|)(|y-2|+|y+1|)=6$,
又$|x-1|+|x-3|$的最小值为 2,$|y-2|+|y+1|$的最小值为 3,所以$|x-1|+|x-3|=2$,$|y-2|+|y+1|=3$,
所以$1≤ x≤3$,$-1≤ y≤2$,
所以$x+2y$的最大值是 7,最小值是－1.
解析：
【分析】
本题基于数轴上两点距离公式$AB=|a-b|$展开考查，解题思路如下：
(1) 直接套用距离公式，将x和-2的距离表示为绝对值方程，解含绝对值的方程即可得到x的取值；
(2) 从几何意义分析，$|x+1|+|x-2|$表示数轴上点x到-1和2的距离之和，当点x在这两个点之间时，距离和最小，由此确定x的范围；
(3) 先分别求出$|x-1|+|x-3|$和$|y-2|+|y+1|$的最小值，结合两者乘积为6，可知两个式子必须同时取最小值，从而得到x、y的取值范围，再代入代数式求最值即可。
【解析】
(1) 根据数轴上两点距离公式，x和-2的距离为$|x - (-2)| = |x+2|$，由题意得$|x+2|=4$。
绝对值等于4的数有4和-4，因此：
当$x+2=4$时，解得$x=2$；
当$x+2=-4$时，解得$x=-6$。
(2) $|x+1|$表示数轴上点x到-1的距离，$|x-2|$表示数轴上点x到2的距离，两个距离之和的最小值，即当点x落在-1和2之间（包含端点）时，距离和最小，等于$2 - (-1)=3$，因此x的取值范围是$-1≤ x≤2$。
(3) 首先分析$|x-1|+|x-3|$的几何意义：是点x到1和3的距离之和，最小值为$3-1=2$，此时$1≤ x≤3$；
再分析$|y-2|+|y+1|$的几何意义：是点y到2和-1的距离之和，最小值为$2 - (-1)=3$，此时$-1≤ y≤2$。
已知两者乘积为6，而$2×3=6$，因此只有当两个式子同时取最小值时乘积才为6，否则乘积大于6，因此可得：
$|x-1|+|x-3|=2$，即$1≤ x≤3$；
$|y-2|+|y+1|=3$，即$-1≤ y≤2$。
求$x+2y$的最值：
最大值：x取最大值3，y取最大值2，此时$x+2y=3 + 2×2=7$；
最小值：x取最小值1，y取最小值-1，此时$x+2y=1 + 2×(-1)=-1$。
【答案】
(1) $-6$或$2$
(2) $-1≤ x≤2$
(3) 最大值为7，最小值为$-1$
【知识点】
1. 数轴两点距离公式
2. 绝对值的几何意义
3. 代数式最值求解
【点评】
本题将数轴的几何意义和绝对值的代数性质结合，考查数形结合思想的应用，解题时把绝对值和转化为点到点的距离之和，能快速简化问题，第三问需要先判断出两个绝对值和的取值，再确定未知数的范围，综合性较强。
【难度系数】
0.6
本题基于数轴上两点距离公式$AB=|a-b|$展开考查，解题思路如下：
(1) 直接套用距离公式，将x和-2的距离表示为绝对值方程，解含绝对值的方程即可得到x的取值；
(2) 从几何意义分析，$|x+1|+|x-2|$表示数轴上点x到-1和2的距离之和，当点x在这两个点之间时，距离和最小，由此确定x的范围；
(3) 先分别求出$|x-1|+|x-3|$和$|y-2|+|y+1|$的最小值，结合两者乘积为6，可知两个式子必须同时取最小值，从而得到x、y的取值范围，再代入代数式求最值即可。
【解析】
(1) 根据数轴上两点距离公式，x和-2的距离为$|x - (-2)| = |x+2|$，由题意得$|x+2|=4$。
绝对值等于4的数有4和-4，因此：
当$x+2=4$时，解得$x=2$；
当$x+2=-4$时，解得$x=-6$。
(2) $|x+1|$表示数轴上点x到-1的距离，$|x-2|$表示数轴上点x到2的距离，两个距离之和的最小值，即当点x落在-1和2之间（包含端点）时，距离和最小，等于$2 - (-1)=3$，因此x的取值范围是$-1≤ x≤2$。
(3) 首先分析$|x-1|+|x-3|$的几何意义：是点x到1和3的距离之和，最小值为$3-1=2$，此时$1≤ x≤3$；
再分析$|y-2|+|y+1|$的几何意义：是点y到2和-1的距离之和，最小值为$2 - (-1)=3$，此时$-1≤ y≤2$。
已知两者乘积为6，而$2×3=6$，因此只有当两个式子同时取最小值时乘积才为6，否则乘积大于6，因此可得：
$|x-1|+|x-3|=2$，即$1≤ x≤3$；
$|y-2|+|y+1|=3$，即$-1≤ y≤2$。
求$x+2y$的最值：
最大值：x取最大值3，y取最大值2，此时$x+2y=3 + 2×2=7$；
最小值：x取最小值1，y取最小值-1，此时$x+2y=1 + 2×(-1)=-1$。
【答案】
(1) $-6$或$2$
(2) $-1≤ x≤2$
(3) 最大值为7，最小值为$-1$
【知识点】
1. 数轴两点距离公式
2. 绝对值的几何意义
3. 代数式最值求解
【点评】
本题将数轴的几何意义和绝对值的代数性质结合，考查数形结合思想的应用，解题时把绝对值和转化为点到点的距离之和，能快速简化问题，第三问需要先判断出两个绝对值和的取值，再确定未知数的范围，综合性较强。
【难度系数】
0.6