23. (2026·南京玄武区期末)如图,在一条直路上有四个车站,点A,B,C,D分别表示这四个车站的位置.
(1)用含$a,b$的代数式表示$A,C$两站之间的距离是
(2)若已知$A,C$两站之间的距离是24,求$C,D$两站之间的距离.
(1)用含$a,b$的代数式表示$A,C$两站之间的距离是
$3a-2b$
.(2)若已知$A,C$两站之间的距离是24,求$C,D$两站之间的距离.
答案：23. (1)$3a-2b$
(2)$CD=(\frac{7}{2}a-2b-1)-(2a-b)=\frac{3}{2}a-b-1$.
因为$3a-2b=24$,所以$\frac{3}{2}a-b=12$,所以$CD=12-1=11$.故$C,D$两站之间的距离为11.
(2)$CD=(\frac{7}{2}a-2b-1)-(2a-b)=\frac{3}{2}a-b-1$.
因为$3a-2b=24$,所以$\frac{3}{2}a-b=12$,所以$CD=12-1=11$.故$C,D$两站之间的距离为11.
解析：
【分析】
(1) 要求A、C两站的距离，观察线段图可知AC是AB与BC的和，只需将AB、BC对应的代数式相加，合并同类项即可得到结果。
(2) 要求C、D两站的距离，观察线段图可知CD等于BD减去BC，先列出CD的代数式并化简；再根据已知AC=24，将$3a-2b=24$变形后整体代入CD的代数式，即可求出CD的长度，无需单独求解a、b的值，简化计算。
【解析】
(1) 由线段的和差关系可得：
$AC = AB + BC$
将$AB=a-b$，$BC=2a-b$代入得：
$AC=(a-b)+(2a-b)=a-b+2a-b=3a-2b$
(2) 由线段的和差关系可得：
$CD = BD - BC$
将$BD=\frac{7}{2}a-2b-1$，$BC=2a-b$代入得：
$\begin{aligned}CD&=(\frac{7}{2}a-2b-1)-(2a-b)\\&=\frac{7}{2}a-2b-1-2a+b\\&=\frac{3}{2}a - b -1\end{aligned}$
已知$AC=3a-2b=24$，将等式两边同时除以2，得$\frac{3}{2}a - b =12$，代入上式：
$CD=12-1=11$
【答案】
(1) $3a-2b$；(2) $11$
【知识点】
线段的和差计算；整式的加减运算；整体代入求值
【点评】
本题结合线段图考查整式加减的应用，解题核心是准确根据线段的和差关系列出代数式，第二问运用整体代入的思想可避免单独求解参数，有效降低计算难度，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
(1) 要求A、C两站的距离，观察线段图可知AC是AB与BC的和，只需将AB、BC对应的代数式相加，合并同类项即可得到结果。
(2) 要求C、D两站的距离，观察线段图可知CD等于BD减去BC，先列出CD的代数式并化简；再根据已知AC=24，将$3a-2b=24$变形后整体代入CD的代数式，即可求出CD的长度，无需单独求解a、b的值，简化计算。
【解析】
(1) 由线段的和差关系可得：
$AC = AB + BC$
将$AB=a-b$，$BC=2a-b$代入得：
$AC=(a-b)+(2a-b)=a-b+2a-b=3a-2b$
(2) 由线段的和差关系可得：
$CD = BD - BC$
将$BD=\frac{7}{2}a-2b-1$，$BC=2a-b$代入得：
$\begin{aligned}CD&=(\frac{7}{2}a-2b-1)-(2a-b)\\&=\frac{7}{2}a-2b-1-2a+b\\&=\frac{3}{2}a - b -1\end{aligned}$
已知$AC=3a-2b=24$，将等式两边同时除以2，得$\frac{3}{2}a - b =12$，代入上式：
$CD=12-1=11$
【答案】
(1) $3a-2b$；(2) $11$
【知识点】
线段的和差计算；整式的加减运算；整体代入求值
【点评】
本题结合线段图考查整式加减的应用，解题核心是准确根据线段的和差关系列出代数式，第二问运用整体代入的思想可避免单独求解参数，有效降低计算难度，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
24. 新情境 演绎魔术 小明拿若干张扑克牌变魔术，将这些扑克牌平均分成三份，分别放在左边、中间、右边，第一次从左边一堆中拿出两张放在中间一堆中，第二次从右边一堆中拿出一张放在中间一堆中，第三次从中间一堆中拿出一些放在左边一堆中，使左边的扑克牌张数是最初的2倍。
(1)若一开始每份放的牌都是8张，按这个规则变魔术，则最后中间一堆剩
(2)此时，小慧立即对小明说：“你不要再变这个魔术了，只要一开始每份放任意相同张数的牌（每堆牌不少于两张），我就知道最后中间一堆剩几张牌了，我想到了其中的奥秘！”请你帮小慧揭开这个奥秘。
(1)若一开始每份放的牌都是8张，按这个规则变魔术，则最后中间一堆剩
1
张牌；(2)此时，小慧立即对小明说：“你不要再变这个魔术了，只要一开始每份放任意相同张数的牌（每堆牌不少于两张），我就知道最后中间一堆剩几张牌了，我想到了其中的奥秘！”请你帮小慧揭开这个奥秘。
答案：24. (1)1
(2)不论一开始每堆有几张相同的扑克牌数,按这样的游戏规则,最后中间一堆只剩1张扑克牌.理由如下：
设一开始每堆扑克牌都是$x$张,按这样的游戏规则,第一次:左边、中间、右边的扑克牌分别是$(x-2)$张、$(x+2)$张、$x$张;第二次:左边、中间、右边的扑克牌分别是$(x-2)$张、$(x+3)$张、$(x-1)$张;第三次:若中间一堆中拿$y$张扑克牌到左边,此时左边有$(x-2)+y=2x$(张),即$y=2x-(x-2)=x+2$,
所以这时中间一堆剩$(x+3)-y=(x+3)-(x+2)=1$(张)扑克牌.
(2)不论一开始每堆有几张相同的扑克牌数,按这样的游戏规则,最后中间一堆只剩1张扑克牌.理由如下：
设一开始每堆扑克牌都是$x$张,按这样的游戏规则,第一次:左边、中间、右边的扑克牌分别是$(x-2)$张、$(x+2)$张、$x$张;第二次:左边、中间、右边的扑克牌分别是$(x-2)$张、$(x+3)$张、$(x-1)$张;第三次:若中间一堆中拿$y$张扑克牌到左边,此时左边有$(x-2)+y=2x$(张),即$y=2x-(x-2)=x+2$,
所以这时中间一堆剩$(x+3)-y=(x+3)-(x+2)=1$(张)扑克牌.
解析：
【分析】
(1) 第一小问已知初始每份牌为8张，只需按照题目给出的三次操作步骤，依次计算每一步左、中、右三堆牌的数量，即可求出最后中间堆的牌数。
(2) 第二小问要探究任意相同初始牌数下的规律，可先设初始每堆牌有x张，按照操作步骤用含x的代数式分别表示每次操作后三堆牌的数量；再根据“最后左边牌数是最初的2倍”的条件，算出从中间堆拿到左边堆的牌数，最后用第三次操作前中间堆的牌数减去拿走的牌数，化简后即可得到中间堆剩余牌数的规律。
【解析】
(1) 初始左、中、右三堆各8张：
第一次操作：左边拿2张放中间，此时左边有$8-2=6$张，中间有$8+2=10$张，右边有8张；
第二次操作：右边拿1张放中间，此时左边仍为6张，中间有$10+1=11$张，右边有$8-1=7$张；
第三次操作：要让左边牌数是最初的2倍，即最终左边有$8×2=16$张，需从中间拿$16-6=10$张到左边，此时中间剩余$11-10=1$张。
(2) 设一开始每堆扑克牌都是$x$张（$x≥2$）：
第一次操作后：左边$(x-2)$张，中间$(x+2)$张，右边$x$张；
第二次操作后：左边$(x-2)$张，中间$(x+2+1)=(x+3)$张，右边$(x-1)$张；
第三次操作：设从中间拿$y$张到左边，此时左边牌数为最初的2倍，可得$(x-2)+y=2x$，解得$y=2x-(x-2)=x+2$；
则中间剩余牌数为$(x+3)-y=(x+3)-(x+2)=1$张。
【答案】
(1) $\boxed{1}$
(2) 不论一开始每堆有几张相同的扑克牌数，按这样的游戏规则，最后中间一堆只剩1张扑克牌。
【知识点】
列代数式；整式的加减；规律探究
【点评】
本题以魔术为情境，趣味性较强，考查了用代数式表示数量变化及整式化简运算的能力，通过推导可发现结果与初始每堆牌的数量无关，能有效锻炼逻辑推理和代数应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 第一小问已知初始每份牌为8张，只需按照题目给出的三次操作步骤，依次计算每一步左、中、右三堆牌的数量，即可求出最后中间堆的牌数。
(2) 第二小问要探究任意相同初始牌数下的规律，可先设初始每堆牌有x张，按照操作步骤用含x的代数式分别表示每次操作后三堆牌的数量；再根据“最后左边牌数是最初的2倍”的条件，算出从中间堆拿到左边堆的牌数，最后用第三次操作前中间堆的牌数减去拿走的牌数，化简后即可得到中间堆剩余牌数的规律。
【解析】
(1) 初始左、中、右三堆各8张：
第一次操作：左边拿2张放中间，此时左边有$8-2=6$张，中间有$8+2=10$张，右边有8张；
第二次操作：右边拿1张放中间，此时左边仍为6张，中间有$10+1=11$张，右边有$8-1=7$张；
第三次操作：要让左边牌数是最初的2倍，即最终左边有$8×2=16$张，需从中间拿$16-6=10$张到左边，此时中间剩余$11-10=1$张。
(2) 设一开始每堆扑克牌都是$x$张（$x≥2$）：
第一次操作后：左边$(x-2)$张，中间$(x+2)$张，右边$x$张；
第二次操作后：左边$(x-2)$张，中间$(x+2+1)=(x+3)$张，右边$(x-1)$张；
第三次操作：设从中间拿$y$张到左边，此时左边牌数为最初的2倍，可得$(x-2)+y=2x$，解得$y=2x-(x-2)=x+2$；
则中间剩余牌数为$(x+3)-y=(x+3)-(x+2)=1$张。
【答案】
(1) $\boxed{1}$
(2) 不论一开始每堆有几张相同的扑克牌数，按这样的游戏规则，最后中间一堆只剩1张扑克牌。
【知识点】
列代数式；整式的加减；规律探究
【点评】
本题以魔术为情境，趣味性较强，考查了用代数式表示数量变化及整式化简运算的能力，通过推导可发现结果与初始每堆牌的数量无关，能有效锻炼逻辑推理和代数应用能力。
【难度系数】
0.7