24.(2025·河北石家庄期末)将个数不同的某种杯子按如图所示的方式进行叠放,经测量并在图中标注了总高度.
(1)5个这种杯子叠放时的总高度是
(2)求n个这种杯子叠放时的总高度(用含n的代数式表示).
(3)小颖家橱柜的高度为50 cm,妈妈买了13个这样的杯子,这13个杯子按上述方式叠放后能否竖直放进橱柜?请通过计算进行说明.
(1)5个这种杯子叠放时的总高度是
27
cm,8个这种杯子叠放时的总高度是36
cm.(2)求n个这种杯子叠放时的总高度(用含n的代数式表示).
(3)小颖家橱柜的高度为50 cm,妈妈买了13个这样的杯子,这13个杯子按上述方式叠放后能否竖直放进橱柜?请通过计算进行说明.
答案：24.(1)27 36
(2)因为一个杯子的高度为15 cm,叠放时每增加1个杯子高度就增加3 cm,所以$n$个这种杯子叠放时的总高度为$15+3(n-1)=(3n+12)\mathrm{cm}$.
(3)这13个杯子按上述方式叠放时不能竖直放进橱柜.理由如下：
当$n=13$时,$3n+12=3×13+12=51(\mathrm{cm})$.
因为$51＞50$，所以这13个杯子按上述方式叠放时不能竖直放进橱柜.
(2)因为一个杯子的高度为15 cm,叠放时每增加1个杯子高度就增加3 cm,所以$n$个这种杯子叠放时的总高度为$15+3(n-1)=(3n+12)\mathrm{cm}$.
(3)这13个杯子按上述方式叠放时不能竖直放进橱柜.理由如下：
当$n=13$时,$3n+12=3×13+12=51(\mathrm{cm})$.
因为$51＞50$，所以这13个杯子按上述方式叠放时不能竖直放进橱柜.
解析：
【分析】
解题时首先观察不同数量杯子叠放的高度数据：1个杯子高15cm，2个高18cm，3个高21cm，4个高24cm，先计算相邻高度的差值，可得出每多叠放1个杯子，总高度增加3cm，这是核心规律。
(1)求5个、8个杯子的总高度，可在已有数据基础上按规律计算；
(2)推导n个杯子的总高度时，单个杯子高度是15cm，后续每加1个杯子多3cm，n个杯子相当于在1个杯子基础上增加了(n-1)个叠加的高度，据此列代数式并化简即可；
(3)判断13个杯子能否放入橱柜，只需将n=13代入总高度的代数式，算出结果和50cm比较大小即可。
【解析】
首先计算叠放时每增加1个杯子的高度增量：$18-15=3(\mathrm{cm})$，验证可得$21-18=3\mathrm{cm}$，$24-21=3\mathrm{cm}$，即每增加1个杯子，总高度增加3cm。
(1)4个杯子总高24cm，5个杯子总高为$24+3=27(\mathrm{cm})$；
8个杯子总高为$15 + 3×(8-1)=15+21=36(\mathrm{cm})$。
(2)1个杯子高度为15cm，叠放n个杯子时，除第一个杯子外，剩余$(n-1)$个杯子每个仅增加3cm的高度，因此总高度为：
$15 + 3(n-1) =15+3n-3=3n+12(\mathrm{cm})$。
(3)当$n=13$时，代入总高度代数式得：
$3×13 +12=39+12=51(\mathrm{cm})$，
因为$51\mathrm{cm}＞50\mathrm{cm}$，所以13个杯子叠放后不能竖直放进橱柜。
【答案】
(1)$27$；$36$
(2)$n$个这种杯子叠放时的总高度为$(3n+12)\mathrm{cm}$
(3)不能竖直放进橱柜
【知识点】
图形规律探究；列代数式；代数式求值
【点评】
本题结合生活中的杯子叠放场景考察规律探究能力，解题关键是准确找出叠放时高度的增量规律，再将规律转化为通用代数式，最后通过代入求值解决实际问题，注重对观察能力和代数应用能力的考察。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察不同数量杯子叠放的高度数据：1个杯子高15cm，2个高18cm，3个高21cm，4个高24cm，先计算相邻高度的差值，可得出每多叠放1个杯子，总高度增加3cm，这是核心规律。
(1)求5个、8个杯子的总高度，可在已有数据基础上按规律计算；
(2)推导n个杯子的总高度时，单个杯子高度是15cm，后续每加1个杯子多3cm，n个杯子相当于在1个杯子基础上增加了(n-1)个叠加的高度，据此列代数式并化简即可；
(3)判断13个杯子能否放入橱柜，只需将n=13代入总高度的代数式，算出结果和50cm比较大小即可。
【解析】
首先计算叠放时每增加1个杯子的高度增量：$18-15=3(\mathrm{cm})$，验证可得$21-18=3\mathrm{cm}$，$24-21=3\mathrm{cm}$，即每增加1个杯子，总高度增加3cm。
(1)4个杯子总高24cm，5个杯子总高为$24+3=27(\mathrm{cm})$；
8个杯子总高为$15 + 3×(8-1)=15+21=36(\mathrm{cm})$。
(2)1个杯子高度为15cm，叠放n个杯子时，除第一个杯子外，剩余$(n-1)$个杯子每个仅增加3cm的高度，因此总高度为：
$15 + 3(n-1) =15+3n-3=3n+12(\mathrm{cm})$。
(3)当$n=13$时，代入总高度代数式得：
$3×13 +12=39+12=51(\mathrm{cm})$，
因为$51\mathrm{cm}＞50\mathrm{cm}$，所以13个杯子叠放后不能竖直放进橱柜。
【答案】
(1)$27$；$36$
(2)$n$个这种杯子叠放时的总高度为$(3n+12)\mathrm{cm}$
(3)不能竖直放进橱柜
【知识点】
图形规律探究；列代数式；代数式求值
【点评】
本题结合生活中的杯子叠放场景考察规律探究能力，解题关键是准确找出叠放时高度的增量规律，再将规律转化为通用代数式，最后通过代入求值解决实际问题，注重对观察能力和代数应用能力的考察。
【难度系数】
0.7
25. 阅读下列材料：
$1×2=\frac{1}{3}×(1×2×3-0×1×2);2×3=\frac{1}{3}×(2×3×4-1×2×3);3×4=\frac{1}{3}×(3×4×5-2×3×4).$
由以上三个等式相加,可得$1×2+2×3+3×4=\frac{1}{3}×3×4×5=20.$
读完以上材料,请你计算下列各题:
(1)计算:$1×2+2×3+3×4+…+49×50;$
(2)猜想:$1×2+2×3+3×4+…+n×(n+1)=$
(3)探究计算:$1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+15×16×17.$
$1×2=\frac{1}{3}×(1×2×3-0×1×2);2×3=\frac{1}{3}×(2×3×4-1×2×3);3×4=\frac{1}{3}×(3×4×5-2×3×4).$
由以上三个等式相加,可得$1×2+2×3+3×4=\frac{1}{3}×3×4×5=20.$
读完以上材料,请你计算下列各题:
(1)计算:$1×2+2×3+3×4+…+49×50;$
(2)猜想:$1×2+2×3+3×4+…+n×(n+1)=$
$\dfrac{1}{3}n(n+1)(n+2)$
;(3)探究计算:$1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+15×16×17.$
答案：25.(1)$1×2+2×3+3×4+…+49×50=\dfrac{1}{3}×(1×2×3-0×1×2)+\dfrac{1}{3}×(2×3×4-1×2×3)+\dfrac{1}{3}×(3×4×5-2×3×4)+…+\dfrac{1}{3}×(49×50×51-48×49×50)=\dfrac{1}{3}×49×50×51=41650$.
(2)$\dfrac{1}{3}n(n+1)(n+2)$ [解析]$1×2+2×3+3×4+…+n×(n+1)=\dfrac{1}{3}×(1×2×3-0×1×2)+\dfrac{1}{3}×(2×3×4-1×2×3)+\dfrac{1}{3}×(3×4×5-2×3×4)+…+\dfrac{1}{3}·[n(n+1)(n+2)-(n-1)·n·(n+1)]=\dfrac{1}{3}n(n+1)·(n+2)$.
(3)观察,发现规律$1×2×3=\dfrac{1}{4}×(1×2×3×4-0×1×2×3)$,$2×3×4=\dfrac{1}{4}×(2×3×4×5-1×2×3×4)$,$3×4×5=\dfrac{1}{4}×(3×4×5×6-2×3×4×5)$,…，
所以$n(n+1)(n+2)=\dfrac{1}{4}[n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)·n·(n+1)(n+2)]$.
所以原式$=\dfrac{1}{4}×(1×2×3×4-0×1×2×3)+\dfrac{1}{4}×(2×3×4×5-1×2×3×4)+\dfrac{1}{4}×(3×4×5×6-2×3×4×5)+…+\dfrac{1}{4}×(15×16×17×18-14×15×16×17)=\dfrac{1}{4}×15×16×17×18=18360$.
(2)$\dfrac{1}{3}n(n+1)(n+2)$ [解析]$1×2+2×3+3×4+…+n×(n+1)=\dfrac{1}{3}×(1×2×3-0×1×2)+\dfrac{1}{3}×(2×3×4-1×2×3)+\dfrac{1}{3}×(3×4×5-2×3×4)+…+\dfrac{1}{3}·[n(n+1)(n+2)-(n-1)·n·(n+1)]=\dfrac{1}{3}n(n+1)·(n+2)$.
(3)观察,发现规律$1×2×3=\dfrac{1}{4}×(1×2×3×4-0×1×2×3)$,$2×3×4=\dfrac{1}{4}×(2×3×4×5-1×2×3×4)$,$3×4×5=\dfrac{1}{4}×(3×4×5×6-2×3×4×5)$,…，
所以$n(n+1)(n+2)=\dfrac{1}{4}[n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)·n·(n+1)(n+2)]$.
所以原式$=\dfrac{1}{4}×(1×2×3×4-0×1×2×3)+\dfrac{1}{4}×(2×3×4×5-1×2×3×4)+\dfrac{1}{4}×(3×4×5×6-2×3×4×5)+…+\dfrac{1}{4}×(15×16×17×18-14×15×16×17)=\dfrac{1}{4}×15×16×17×18=18360$.
解析：
【分析】
首先阅读材料可得相邻两个正整数乘积的裂项规律：$k×(k+1)=\frac{1}{3}[k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)]$，多个这类式子相加时中间项可相互抵消，仅保留首尾项简化计算。解题思路如下：(1)直接套用材料的裂项方法，拆分每一项后抵消计算；(2)将(1)的规律推广到n项，归纳通用公式；(3)类比两个数乘积的裂项思路，推导三个相邻正整数乘积的裂项公式，再用裂项相消法计算。
【解析】
(1) 根据材料规律拆分每一项：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{3}×(1×2×3-0×1×2)+\frac{1}{3}×(2×3×4-1×2×3)+\frac{1}{3}×(3×4×5-2×3×4)+…+\frac{1}{3}×(49×50×51-48×49×50)\\&=\frac{1}{3}×49×50×51\\&=41650\end{aligned}$
(2) 推广到n项拆分后抵消：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{3}×(1×2×3-0×1×2)+\frac{1}{3}×(2×3×4-1×2×3)+…+\frac{1}{3}[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]\\&=\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)\end{aligned}$
(3) 类比推导三个数乘积的裂项公式：$k(k+1)(k+2)=\frac{1}{4}[k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-1)k(k+1)(k+2)]$，拆分原式后抵消：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{4}×(1×2×3×4-0×1×2×3)+\frac{1}{4}×(2×3×4×5-1×2×3×4)+…+\frac{1}{4}×(15×16×17×18-14×15×16×17)\\&=\frac{1}{4}×15×16×17×18\\&=18360\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{41650}$；
(2) $\boxed{\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)}$；
(3) $\boxed{18360}$
【知识点】
裂项相消法，有理数混合运算，规律探究
【点评】
本题属于材料阅读类规律探究题，核心是掌握材料给出的裂项方法，通过类比迁移解决更高维度的同类计算问题，重点锻炼归纳推理能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.6
首先阅读材料可得相邻两个正整数乘积的裂项规律：$k×(k+1)=\frac{1}{3}[k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)]$，多个这类式子相加时中间项可相互抵消，仅保留首尾项简化计算。解题思路如下：(1)直接套用材料的裂项方法，拆分每一项后抵消计算；(2)将(1)的规律推广到n项，归纳通用公式；(3)类比两个数乘积的裂项思路，推导三个相邻正整数乘积的裂项公式，再用裂项相消法计算。
【解析】
(1) 根据材料规律拆分每一项：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{3}×(1×2×3-0×1×2)+\frac{1}{3}×(2×3×4-1×2×3)+\frac{1}{3}×(3×4×5-2×3×4)+…+\frac{1}{3}×(49×50×51-48×49×50)\\&=\frac{1}{3}×49×50×51\\&=41650\end{aligned}$
(2) 推广到n项拆分后抵消：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{3}×(1×2×3-0×1×2)+\frac{1}{3}×(2×3×4-1×2×3)+…+\frac{1}{3}[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]\\&=\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)\end{aligned}$
(3) 类比推导三个数乘积的裂项公式：$k(k+1)(k+2)=\frac{1}{4}[k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-1)k(k+1)(k+2)]$，拆分原式后抵消：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{4}×(1×2×3×4-0×1×2×3)+\frac{1}{4}×(2×3×4×5-1×2×3×4)+…+\frac{1}{4}×(15×16×17×18-14×15×16×17)\\&=\frac{1}{4}×15×16×17×18\\&=18360\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{41650}$；
(2) $\boxed{\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)}$；
(3) $\boxed{18360}$
【知识点】
裂项相消法，有理数混合运算，规律探究
【点评】
本题属于材料阅读类规律探究题，核心是掌握材料给出的裂项方法，通过类比迁移解决更高维度的同类计算问题，重点锻炼归纳推理能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.6