16.(2026·山东威海期中)将如图所示的平面展开图按虚线折叠成正方体后，相对面上两个数互为相反数，则$x-2y=$
6
。答案：16. 6 [解析]由正方体平面展开图的相对面特征,得2与x相对,4与y相对.由条件可知,x=-2,y=-4,
则$x-2y=-2-2×(-4)=6$.
则$x-2y=-2-2×(-4)=6$.
解析：
【分析】
解题时首先要明确正方体平面展开图的相对面特征：相对的面在展开图中不相邻，通常间隔一个正方形。第一步先确定x、y分别对应的相对面的数字；第二步根据“相对面上两个数互为相反数”的条件，求出x和y的值；第三步将x、y代入代数式x-2y计算即可得到结果。
【解析】
根据正方体平面展开图相对面的判断规律，可得：数字2的对面是x，数字4的对面是y。
∵相对面上两个数互为相反数，
∴x = -2，y = -4。
将x=-2，y=-4代入x-2y得：
$x-2y=-2 - 2×(-4) = -2 + 8 = 6$。
【答案】
6
【知识点】
正方体展开图、相反数、代数式求值
【点评】
本题是基础常考题，解题核心是准确识别正方体展开图的相对面，再结合相反数的性质代入计算即可，易错点是相对面判断错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确正方体平面展开图的相对面特征：相对的面在展开图中不相邻，通常间隔一个正方形。第一步先确定x、y分别对应的相对面的数字；第二步根据“相对面上两个数互为相反数”的条件，求出x和y的值；第三步将x、y代入代数式x-2y计算即可得到结果。
【解析】
根据正方体平面展开图相对面的判断规律，可得：数字2的对面是x，数字4的对面是y。
∵相对面上两个数互为相反数，
∴x = -2，y = -4。
将x=-2，y=-4代入x-2y得：
$x-2y=-2 - 2×(-4) = -2 + 8 = 6$。
【答案】
6
【知识点】
正方体展开图、相反数、代数式求值
【点评】
本题是基础常考题，解题核心是准确识别正方体展开图的相对面，再结合相反数的性质代入计算即可，易错点是相对面判断错误。
【难度系数】
0.7
17. 分类讨论思想，如图，长方形的长为3 cm，宽为2 cm，以该长方形的一边所在直线为轴，将其旋转一周，形成圆柱，其体积为
12π或18π
$\mathrm{cm}^3$.(结果保留π)答案：17. 12π或18π [解析]由题意可知,当以该长方形的长所在直线为轴时,$V=π×2^2×3=12π(\mathrm{cm}^3)$;当以该长方形的宽所在直线为轴时,$V=π×3^2×2=18π(\mathrm{cm}^3)$.
解析：
【分析】
解决本题需运用分类讨论思想，首先明确题目中“以长方形一边为轴旋转”存在两种情况：一是以长3cm的边为轴旋转，二是以宽2cm的边为轴旋转。再结合圆柱体积公式$V=π r^2h$（$r$为底面半径，$h$为圆柱的高），分别确定两种情况对应的底面半径和高，代入公式计算即可得到结果。
【解析】
分两种情况计算：
1. 当以长方形的长（3cm）所在直线为轴旋转时，所得圆柱的底面半径为长方形的宽2cm，高为3cm，
体积$V_1=π×2^2×3=12π\ \mathrm{cm}^3$；
2. 当以长方形的宽（2cm）所在直线为轴旋转时，所得圆柱的底面半径为长方形的长3cm，高为2cm，
体积$V_2=π×3^2×2=18π\ \mathrm{cm}^3$。
【答案】
12π或18π
【知识点】
面动成体、圆柱体积计算、分类讨论
【点评】
本题考查平面图形旋转成立体图形的相关计算，解题核心是明确不同旋转轴对应的圆柱参数，易错点是容易遗漏其中一种旋转情况，导致答案不完整。
【难度系数】
0.7
解决本题需运用分类讨论思想，首先明确题目中“以长方形一边为轴旋转”存在两种情况：一是以长3cm的边为轴旋转，二是以宽2cm的边为轴旋转。再结合圆柱体积公式$V=π r^2h$（$r$为底面半径，$h$为圆柱的高），分别确定两种情况对应的底面半径和高，代入公式计算即可得到结果。
【解析】
分两种情况计算：
1. 当以长方形的长（3cm）所在直线为轴旋转时，所得圆柱的底面半径为长方形的宽2cm，高为3cm，
体积$V_1=π×2^2×3=12π\ \mathrm{cm}^3$；
2. 当以长方形的宽（2cm）所在直线为轴旋转时，所得圆柱的底面半径为长方形的长3cm，高为2cm，
体积$V_2=π×3^2×2=18π\ \mathrm{cm}^3$。
【答案】
12π或18π
【知识点】
面动成体、圆柱体积计算、分类讨论
【点评】
本题考查平面图形旋转成立体图形的相关计算，解题核心是明确不同旋转轴对应的圆柱参数，易错点是容易遗漏其中一种旋转情况，导致答案不完整。
【难度系数】
0.7
18.(湖北黄冈中学自主招生)设$5×4×3\ \mathrm{cm}^3$长方体的一个平面展开图的周长为$m\ \mathrm{cm}$，则$m$的最小值是
50
.答案：
18. 50 [解析]如图所示，
则n的最小值为3+5+3+4+3+3+4+3+5+3+4+3+3+4=50.
思路引导 本题考查了长方体的表面展开图的周长计算,解题关键是得出周长为最小值时长方体的表面展开图.要使长方体的表面展开图周长为最小值,未剪开部分的棱长应为3个5,2个4.
18. 50 [解析]如图所示，
则n的最小值为3+5+3+4+3+3+4+3+5+3+4+3+3+4=50.
思路引导 本题考查了长方体的表面展开图的周长计算,解题关键是得出周长为最小值时长方体的表面展开图.要使长方体的表面展开图周长为最小值,未剪开部分的棱长应为3个5,2个4.
解析：
【分析】
要找到长方体展开图的最小周长，我们可以这样思考：展开图的周长是外围所有边的长度和，要让总周长最小，就要尽量让更长的棱在展开时连在一起，不暴露在展开图的外围。本题中长方体的三条棱长分别是3cm、4cm、5cm，最长的是5cm，其次是4cm，最短的是3cm，所以我们优先让5cm、4cm的棱作为连接的棱，少暴露在外围，构造出对应的展开图后，再沿着外围把所有边的长度加起来，就能得到最小周长。
【解析】
要使展开图周长最小，需尽量将较长的棱作为连接棱，减少长边在外围的暴露，对应的最小周长展开图如下：
沿着该展开图的外围顺时针依次累加各段边长：
$3+5+3+4+3+3+4+3+5+3+4+3+3+4=50(\mathrm{cm})$
因此m的最小值为50。
【答案】
50
【知识点】
长方体表面展开图、周长计算、空间想象
【点评】
本题属于长方体展开图的拓展应用，需要结合空间想象构造最优展开图，核心是掌握“周长最小时优先保留长棱为连接棱”的规律，对空间思维能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
要找到长方体展开图的最小周长，我们可以这样思考：展开图的周长是外围所有边的长度和，要让总周长最小，就要尽量让更长的棱在展开时连在一起，不暴露在展开图的外围。本题中长方体的三条棱长分别是3cm、4cm、5cm，最长的是5cm，其次是4cm，最短的是3cm，所以我们优先让5cm、4cm的棱作为连接的棱，少暴露在外围，构造出对应的展开图后，再沿着外围把所有边的长度加起来，就能得到最小周长。
【解析】
要使展开图周长最小，需尽量将较长的棱作为连接棱，减少长边在外围的暴露，对应的最小周长展开图如下：
沿着该展开图的外围顺时针依次累加各段边长：
$3+5+3+4+3+3+4+3+5+3+4+3+3+4=50(\mathrm{cm})$
因此m的最小值为50。
【答案】
50
【知识点】
长方体表面展开图、周长计算、空间想象
【点评】
本题属于长方体展开图的拓展应用，需要结合空间想象构造最优展开图，核心是掌握“周长最小时优先保留长棱为连接棱”的规律，对空间思维能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
三、解答题(第19,20题每题4分,第21,22题每题5分,第23,24题每题6分,第25,26题每题8分,共46分)
19. 跨学科 相反意义的字 如图,在正方体的平面展开图中的正方形内填入适当的字,使之与相对的面的字具有相反意义.
(1)请你移动图中的一个小正方形,使之仍然是正方体的侧面展开图.
(2)如果图中一个小正方形的边长为1 cm,那么原正方体的棱长是多少?表面积是多少?
19. 跨学科 相反意义的字 如图,在正方体的平面展开图中的正方形内填入适当的字,使之与相对的面的字具有相反意义.
(1)请你移动图中的一个小正方形,使之仍然是正方体的侧面展开图.
(2)如果图中一个小正方形的边长为1 cm,那么原正方体的棱长是多少?表面积是多少?
答案：19. 从左到右依次填“黑”“坏”“下”.
(1)把填“下”的小正方形下移与填“坏”的相连即可(答案不唯一).
(2)棱长为1 cm,表面积是$1^2×6=6(\mathrm{cm}^2)$.
(1)把填“下”的小正方形下移与填“坏”的相连即可(答案不唯一).
(2)棱长为1 cm,表面积是$1^2×6=6(\mathrm{cm}^2)$.
解析：
【分析】
这道题结合了相反意义的汉字与正方体展开图相关知识，解题思路如下：第一步先确定正方体展开图的相对面，根据“正方体展开图中相对的面不相邻，同行/同列间隔一个正方形的两个面是相对面”的规律，给空白面填对应相反意义的字；解决移动小正方形的问题时，只要保证移动后的图形符合正方体展开图的特征（无“田”字格、“凹”字形结构，属于正方体展开图的常见类型即可，答案不唯一）；计算棱长和表面积时，明确正方体展开图的每个小正方形的边长就是正方体的棱长，再用正方体表面积公式计算即可。
【解析】
1. 填字：根据相反意义的字的要求，“白”的反义是“黑”，“好”的反义是“坏”，“上”的反义是“下”，结合展开图相对面的位置，三个空白处从左到右依次填“黑”“坏”“下”。
(1) 正方体展开图有多种合法形式，我们可以将填有“下”的小正方形向下移动，使其与填“坏”的正方形相连，移动后仍为正方体的侧面展开图（移动方法不唯一，合理即可）。
(2) 已知展开图中小正方形边长为1cm，正方体的每个面都是边长等于小正方形边长的正方形，因此正方体的棱长为1cm；
正方体表面积公式为$S=6a^2$（$a$为棱长），代入$a=1\mathrm{cm}$，得$S=6×1^2=6(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
空白处从左到右依次填“黑”“坏”“下”；
(1) 把填“下”的小正方形下移与填“坏”的相连即可（答案不唯一）；
(2) 棱长为1 cm，表面积是$6\mathrm{cm}^2$。
【知识点】
正方体的展开图、正方体表面积计算、相反意义的量
【点评】
本题是跨学科题型，将语文的反义字和数学的立体图形知识结合，既考查了对正方体展开图的空间想象能力，也考查了正方体表面积的基础计算，题型灵活，难度适中。
【难度系数】
0.7
这道题结合了相反意义的汉字与正方体展开图相关知识，解题思路如下：第一步先确定正方体展开图的相对面，根据“正方体展开图中相对的面不相邻，同行/同列间隔一个正方形的两个面是相对面”的规律，给空白面填对应相反意义的字；解决移动小正方形的问题时，只要保证移动后的图形符合正方体展开图的特征（无“田”字格、“凹”字形结构，属于正方体展开图的常见类型即可，答案不唯一）；计算棱长和表面积时，明确正方体展开图的每个小正方形的边长就是正方体的棱长，再用正方体表面积公式计算即可。
【解析】
1. 填字：根据相反意义的字的要求，“白”的反义是“黑”，“好”的反义是“坏”，“上”的反义是“下”，结合展开图相对面的位置，三个空白处从左到右依次填“黑”“坏”“下”。
(1) 正方体展开图有多种合法形式，我们可以将填有“下”的小正方形向下移动，使其与填“坏”的正方形相连，移动后仍为正方体的侧面展开图（移动方法不唯一，合理即可）。
(2) 已知展开图中小正方形边长为1cm，正方体的每个面都是边长等于小正方形边长的正方形，因此正方体的棱长为1cm；
正方体表面积公式为$S=6a^2$（$a$为棱长），代入$a=1\mathrm{cm}$，得$S=6×1^2=6(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
空白处从左到右依次填“黑”“坏”“下”；
(1) 把填“下”的小正方形下移与填“坏”的相连即可（答案不唯一）；
(2) 棱长为1 cm，表面积是$6\mathrm{cm}^2$。
【知识点】
正方体的展开图、正方体表面积计算、相反意义的量
【点评】
本题是跨学科题型，将语文的反义字和数学的立体图形知识结合，既考查了对正方体展开图的空间想象能力，也考查了正方体表面积的基础计算，题型灵活，难度适中。
【难度系数】
0.7
20.如图,一只蚂蚁要从正方体纸箱的一个顶点A沿表面爬行到顶点P.
(1)画出正方体的一种平面展开图;(可适当调整大小)
(2)在平面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线;
(3)在原纸箱图上画出蚂蚁爬行的最短路线.
(1)画出正方体的一种平面展开图;(可适当调整大小)
(2)在平面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线;
(3)在原纸箱图上画出蚂蚁爬行的最短路线.
答案：
20. (1)平面展开图如图(1)所示(答案不唯一).
(2)如图(2),连接AP,即是蚂蚁爬行的最短路线.
(3)如图(3),取CD的中点M,连接AM,MP,折线AM-MP即为所求.(答案不唯一)
素养考向 本题以蚂蚁在正方体上运动为背景,涉及正方体的基本特性,通过几何直观将点和正方体联系起来,合理确定蚂蚁在正方体上的运动轨迹,同时培养了学生的数学核心素养中的模型观念和空间观念.
20. (1)平面展开图如图(1)所示(答案不唯一).
(2)如图(2),连接AP,即是蚂蚁爬行的最短路线.
(3)如图(3),取CD的中点M,连接AM,MP,折线AM-MP即为所求.(答案不唯一)
素养考向 本题以蚂蚁在正方体上运动为背景,涉及正方体的基本特性,通过几何直观将点和正方体联系起来,合理确定蚂蚁在正方体上的运动轨迹,同时培养了学生的数学核心素养中的模型观念和空间观念.
解析：
【分析】
解题可按三步有序思考：1. 解决第一问：回忆正方体展开图的常见类型（如“一四一”型），对照原正方体各顶点的相邻位置关系，在展开图上对应标注A、B、C、D、P等顶点即可，展开图只要符合正方体展开规则就正确，答案不唯一。2. 解决第二问：蚂蚁沿正方体表面爬行的最短路径，本质是求立体表面两点的最短距离，根据“两点之间线段最短”的原理，只需把正方体展开成平面后，直接连接A、P两点，得到的线段就是最短路线。3. 解决第三问：找到展开图中线段AP与正方体棱的交点，再将交点对应回原正方体的对应棱上，分别连接A到交点、交点到P，得到的折线就是原正方体上的最短路线。
【解析】
(1) 选取正方体常见的“一四一”型展开图，对照原正方体各顶点的相邻关系，在展开图的对应位置标注顶点A、B、C、D、P，即可得到符合要求的平面展开图，画法不唯一，只要是正确的正方体展开图且顶点标注对应即可。
(2) 根据“两点之间，线段最短”的基本事实，在已画好的平面展开图中，用线段连接A、P两点，这条线段就是蚂蚁在表面爬行的最短路线。
(3) 观察平面展开图中的线段AP，它与棱CD交于点M，将点M对应回原正方体的棱CD上，在原正方体中依次连接AM、MP，这条折线就是原纸箱上蚂蚁爬行的最短路线，因展开方式不同，最短路线也不唯一。
【答案】
(1)平面展开图如图(1)所示(答案不唯一)。
(2)如图(2),连接AP,即是蚂蚁爬行的最短路线。
(3)如图(3),取CD的中点M,连接AM,MP,折线AM-MP即为所求.(答案不唯一)
【知识点】
1. 正方体表面展开图
2. 两点之间线段最短
3. 立体表面最短路径
【点评】
本题以蚂蚁爬行的实际情境为载体，既考查了正方体展开图的相关知识，又需要运用“化立体为平面”的转化思想解决最短路径问题，能有效锻炼空间想象能力和几何直观应用能力。
【难度系数】
0.7
解题可按三步有序思考：1. 解决第一问：回忆正方体展开图的常见类型（如“一四一”型），对照原正方体各顶点的相邻位置关系，在展开图上对应标注A、B、C、D、P等顶点即可，展开图只要符合正方体展开规则就正确，答案不唯一。2. 解决第二问：蚂蚁沿正方体表面爬行的最短路径，本质是求立体表面两点的最短距离，根据“两点之间线段最短”的原理，只需把正方体展开成平面后，直接连接A、P两点，得到的线段就是最短路线。3. 解决第三问：找到展开图中线段AP与正方体棱的交点，再将交点对应回原正方体的对应棱上，分别连接A到交点、交点到P，得到的折线就是原正方体上的最短路线。
【解析】
(1) 选取正方体常见的“一四一”型展开图，对照原正方体各顶点的相邻关系，在展开图的对应位置标注顶点A、B、C、D、P，即可得到符合要求的平面展开图，画法不唯一，只要是正确的正方体展开图且顶点标注对应即可。
(2) 根据“两点之间，线段最短”的基本事实，在已画好的平面展开图中，用线段连接A、P两点，这条线段就是蚂蚁在表面爬行的最短路线。
(3) 观察平面展开图中的线段AP，它与棱CD交于点M，将点M对应回原正方体的棱CD上，在原正方体中依次连接AM、MP，这条折线就是原纸箱上蚂蚁爬行的最短路线，因展开方式不同，最短路线也不唯一。
【答案】
(1)平面展开图如图(1)所示(答案不唯一)。
(2)如图(2),连接AP,即是蚂蚁爬行的最短路线。
(3)如图(3),取CD的中点M,连接AM,MP,折线AM-MP即为所求.(答案不唯一)
【知识点】
1. 正方体表面展开图
2. 两点之间线段最短
3. 立体表面最短路径
【点评】
本题以蚂蚁爬行的实际情境为载体，既考查了正方体展开图的相关知识，又需要运用“化立体为平面”的转化思想解决最短路径问题，能有效锻炼空间想象能力和几何直观应用能力。
【难度系数】
0.7