2. (2025·苏州相城区期末)“囧”是网络流行语,像一个人脸郁闷的神情,如图所示.一张边长为10的正方形的纸片,剪去两个一样的小直角三角形和一个长方形得到一个“囧”字图案(阴影部分).设剪去的小长方形长和宽分别为$x,y$,剪去的两个小直角三角形的两直角边长也分别为$x,y$.
(1)用含有$x,y$的代数式表示图中阴影部分“囧”的面积$S$;
(2)若代数式$2S - \frac{1}{2}(2S - 6bxy)$的值与$x,y$无关,求此时$b$的值.
(1)用含有$x,y$的代数式表示图中阴影部分“囧”的面积$S$;
(2)若代数式$2S - \frac{1}{2}(2S - 6bxy)$的值与$x,y$无关,求此时$b$的值.
答案：(1)阴影部分的面积$S=10×10-xy-2×\frac{1}{2}xy=100-2xy$.
(2)$2S-\frac{1}{2}(2S-6bxy)$
$=2S-S+3bxy=S+3bxy$
$=100-2xy+3bxy=100+(3b-2)xy$.
因为代数式$2S-\frac{1}{2}(2S-6bxy)$的值与$x,y$无关,所以$3b-2=0$,解得$b=\frac{2}{3}$.
(2)$2S-\frac{1}{2}(2S-6bxy)$
$=2S-S+3bxy=S+3bxy$
$=100-2xy+3bxy=100+(3b-2)xy$.
因为代数式$2S-\frac{1}{2}(2S-6bxy)$的值与$x,y$无关,所以$3b-2=0$,解得$b=\frac{2}{3}$.
解析：
【分析】
(1) 求阴影部分面积采用“总面积减空白面积”的思路：先计算边长为10的大正方形的面积，再减去剪去的1个小长方形和2个小直角三角形的面积，即可得到阴影面积S的表达式。
(2) 先对给出的代数式去括号、合并同类项化简，再将第(1)问得到的S代入化简后的式子；若代数式的值与x、y无关，说明式子中含xy的项的系数为0，据此列方程求解即可得到b的值。
【解析】
(1) 大正方形的面积为 $10 × 10 = 100$，
剪去的小长方形面积为 $xy$，
2个小直角三角形的总面积为 $2 × \frac{1}{2}xy = xy$，
因此阴影部分面积 $S = 100 - xy - xy = 100 - 2xy$。
(2) 先化简代数式：
$2S - \frac{1}{2}(2S - 6bxy)$
$= 2S - S + 3bxy$
$= S + 3bxy$
将 $S = 100 - 2xy$ 代入上式得：
原式 $= 100 - 2xy + 3bxy = 100 + (3b - 2)xy$
∵ 代数式的值与x、y无关，
∴ 含xy项的系数为0，即 $3b - 2 = 0$，
解得 $b = \frac{2}{3}$。
【答案】
(1) $S=100-2xy$
(2) $b=\frac{2}{3}$
【知识点】
列代数式，整式的加减运算，代数式与字母无关的条件
【点评】
本题结合网络流行语设计情境，形式新颖，核心考察割补法求不规则图形面积、整式化简以及代数式与字母无关类问题的处理方法，解题关键是明确“代数式与某字母无关即该字母对应项的系数为0”。
【难度系数】
0.7
(1) 求阴影部分面积采用“总面积减空白面积”的思路：先计算边长为10的大正方形的面积，再减去剪去的1个小长方形和2个小直角三角形的面积，即可得到阴影面积S的表达式。
(2) 先对给出的代数式去括号、合并同类项化简，再将第(1)问得到的S代入化简后的式子；若代数式的值与x、y无关，说明式子中含xy的项的系数为0，据此列方程求解即可得到b的值。
【解析】
(1) 大正方形的面积为 $10 × 10 = 100$，
剪去的小长方形面积为 $xy$，
2个小直角三角形的总面积为 $2 × \frac{1}{2}xy = xy$，
因此阴影部分面积 $S = 100 - xy - xy = 100 - 2xy$。
(2) 先化简代数式：
$2S - \frac{1}{2}(2S - 6bxy)$
$= 2S - S + 3bxy$
$= S + 3bxy$
将 $S = 100 - 2xy$ 代入上式得：
原式 $= 100 - 2xy + 3bxy = 100 + (3b - 2)xy$
∵ 代数式的值与x、y无关，
∴ 含xy项的系数为0，即 $3b - 2 = 0$，
解得 $b = \frac{2}{3}$。
【答案】
(1) $S=100-2xy$
(2) $b=\frac{2}{3}$
【知识点】
列代数式，整式的加减运算，代数式与字母无关的条件
【点评】
本题结合网络流行语设计情境，形式新颖，核心考察割补法求不规则图形面积、整式化简以及代数式与字母无关类问题的处理方法，解题关键是明确“代数式与某字母无关即该字母对应项的系数为0”。
【难度系数】
0.7
例2 (2025·浙江中考改编)[文化欣赏]我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方$(a+b)^n$展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：
$(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$.
[应用体验]已知$(x+2)^4=x^4+mx^3+24x^2+32x+16$,则$m$的值为
解析 根据题干中所得系数规律得到关于$m$的方程.
因为$(x+2)^4=x^4+mx^3+24x^2+32x+16$,
所以$mx^3=4x^3×2$,所以$m=8$.
答案 8
点拨 本题考查数字的变化规律,观察所给的杨辉三角,通过计算探索出每行所有数的和的一般规律是解题的关键.
$(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$.
[应用体验]已知$(x+2)^4=x^4+mx^3+24x^2+32x+16$,则$m$的值为
8
.解析 根据题干中所得系数规律得到关于$m$的方程.
因为$(x+2)^4=x^4+mx^3+24x^2+32x+16$,
所以$mx^3=4x^3×2$,所以$m=8$.
答案 8
点拨 本题考查数字的变化规律,观察所给的杨辉三角,通过计算探索出每行所有数的和的一般规律是解题的关键.
答案：8
解析：
【分析】
解题时先利用题目给出的杨辉三角对应$(a+b)^4$的展开式系数规律，找到展开式中含$a^3b$项的系数，再将$a=x$、$b=2$代入该项计算，最后和题干给出的$(x+2)^4$展开式中$x^3$的系数对比，即可求出$m$的值。
【解析】
由题意可知$(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$，
将$a=x$，$b=2$代入展开式中$a^3b$对应的项，可得含$x^3$的项为：$4· x^3· 2=8x^3$，
已知$(x+2)^4=x^4+mx^3+24x^2+32x+16$，两个展开式中$x^3$的系数对应相等，
因此$m=8$。
【答案】
8
【知识点】
规律探究，整式运算，代数式系数
【点评】
本题结合我国古代数学成果杨辉三角命题，既考查学生对规律的观察与应用能力，也能让学生感受传统数学文化的魅力，解题核心是准确对应展开式中同类项的系数，代入数值计算即可。
【难度系数】
0.8
解题时先利用题目给出的杨辉三角对应$(a+b)^4$的展开式系数规律，找到展开式中含$a^3b$项的系数，再将$a=x$、$b=2$代入该项计算，最后和题干给出的$(x+2)^4$展开式中$x^3$的系数对比，即可求出$m$的值。
【解析】
由题意可知$(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$，
将$a=x$，$b=2$代入展开式中$a^3b$对应的项，可得含$x^3$的项为：$4· x^3· 2=8x^3$，
已知$(x+2)^4=x^4+mx^3+24x^2+32x+16$，两个展开式中$x^3$的系数对应相等，
因此$m=8$。
【答案】
8
【知识点】
规律探究，整式运算，代数式系数
【点评】
本题结合我国古代数学成果杨辉三角命题，既考查学生对规律的观察与应用能力，也能让学生感受传统数学文化的魅力，解题核心是准确对应展开式中同类项的系数，代入数值计算即可。
【难度系数】
0.8
3. 如图，圆形方孔钱是我国古钱币的突出代表，记它的外圆周长为a，中间方孔周长为b.
(1)用含a，b的代数式表示阴影部分的面积.(结果保留π)
(2)当a=4π，b=4时，阴影部分的面积为多少？
新考法
(1)用含a，b的代数式表示阴影部分的面积.(结果保留π)
(2)当a=4π，b=4时，阴影部分的面积为多少？
新考法
答案：(1)由题可知,外圆半径为$\frac{a}{2π}$,中间方孔边长为$\frac{b}{4}$,
所以图中阴影部分的面积为
$π(\frac{a}{2π})^2-(\frac{b}{4})^2=\frac{a^2}{4π}-\frac{b^2}{16}$.
(2)当$a=4π,b=4$时,图中阴影部分的面积为$\frac{a^2}{4π}-\frac{b^2}{16}=\frac{(4π)^2}{4π}-\frac{4^2}{16}=4π-1$.
所以图中阴影部分的面积为
$π(\frac{a}{2π})^2-(\frac{b}{4})^2=\frac{a^2}{4π}-\frac{b^2}{16}$.
(2)当$a=4π,b=4$时,图中阴影部分的面积为$\frac{a^2}{4π}-\frac{b^2}{16}=\frac{(4π)^2}{4π}-\frac{4^2}{16}=4π-1$.
解析：
【分析】
要解决这道题，首先明确阴影部分的面积=外圆的面积-中间正方形方孔的面积。(1)先根据圆的周长公式推导外圆的半径，再计算外圆的面积；接着根据正方形的周长公式推导方孔的边长，计算正方形的面积，二者作差即可得到阴影面积的代数式。(2)将a和b的取值直接代入(1)得到的代数式中，按运算顺序计算即可得到结果。
【解析】
(1) 已知外圆周长为a，根据圆的周长公式$C=2πr$，可得外圆半径$r=\frac{a}{2π}$，因此外圆的面积为$πr^2=π×(\frac{a}{2π})^2=\frac{a^2}{4π}$。
已知中间正方形方孔的周长为b，根据正方形周长公式$C=4×边长$，可得正方形的边长为$\frac{b}{4}$，因此正方形的面积为$(\frac{b}{4})^2=\frac{b^2}{16}$。
所以阴影部分的面积=外圆面积-正方形面积，即$\frac{a^2}{4π}-\frac{b^2}{16}$。
(2) 当$a=4π$，$b=4$时，将数值代入上述代数式计算：
$\frac{a^2}{4π}-\frac{b^2}{16}=\frac{(4π)^2}{4π}-\frac{4^2}{16}=\frac{16π^2}{4π}-\frac{16}{16}=4π-1$
【答案】
(1) $\frac{a^2}{4π}-\frac{b^2}{16}$
(2) $4π-1$
【知识点】
圆的周长与面积计算，正方形的周长与面积计算，代数式求值
【点评】
本题结合古代钱币的实际情境考查组合图形的面积计算，解题的关键是明确阴影部分面积的构成，熟练掌握圆、正方形的周长和面积公式，能正确进行代数式的化简和代值计算。
【难度系数】
0.85
要解决这道题，首先明确阴影部分的面积=外圆的面积-中间正方形方孔的面积。(1)先根据圆的周长公式推导外圆的半径，再计算外圆的面积；接着根据正方形的周长公式推导方孔的边长，计算正方形的面积，二者作差即可得到阴影面积的代数式。(2)将a和b的取值直接代入(1)得到的代数式中，按运算顺序计算即可得到结果。
【解析】
(1) 已知外圆周长为a，根据圆的周长公式$C=2πr$，可得外圆半径$r=\frac{a}{2π}$，因此外圆的面积为$πr^2=π×(\frac{a}{2π})^2=\frac{a^2}{4π}$。
已知中间正方形方孔的周长为b，根据正方形周长公式$C=4×边长$，可得正方形的边长为$\frac{b}{4}$，因此正方形的面积为$(\frac{b}{4})^2=\frac{b^2}{16}$。
所以阴影部分的面积=外圆面积-正方形面积，即$\frac{a^2}{4π}-\frac{b^2}{16}$。
(2) 当$a=4π$，$b=4$时，将数值代入上述代数式计算：
$\frac{a^2}{4π}-\frac{b^2}{16}=\frac{(4π)^2}{4π}-\frac{4^2}{16}=\frac{16π^2}{4π}-\frac{16}{16}=4π-1$
【答案】
(1) $\frac{a^2}{4π}-\frac{b^2}{16}$
(2) $4π-1$
【知识点】
圆的周长与面积计算，正方形的周长与面积计算，代数式求值
【点评】
本题结合古代钱币的实际情境考查组合图形的面积计算，解题的关键是明确阴影部分面积的构成，熟练掌握圆、正方形的周长和面积公式，能正确进行代数式的化简和代值计算。
【难度系数】
0.85
例3 [教材回顾]老课本中有这样一段文字：
人们通过长期观察发现，如果早晨天空中有棉絮状的高积云，那么午后常有雷雨降临，于是有了“朝有破絮云，午后雷雨临”的谚语.在数学的学习过程中，我们经常用这样的方法探究规律.
[数学问题]三角形有3个顶点，如果在它的内部再画$n$个点，并以这$(n+3)$个点为顶点画三角形，那么最多可以剪得多少个这样的三角形？
[问题探究]为了解决这个问题，我们可以从$n=1,2,3$等具体的、简单的情形入手，探索最多可以剪得的三角形个数的变化规律.
三角形内点的个数|图形|最多剪出的小三角形个数
---|---|---
1|（图）|3
2|
|5
3|（两个图）|7
4|…|$a$
…|…|…
[问题解决]
(1)表格中的$a=$
(2)你发现的变化规律是三角形内的点每增加1个，最多剪得的三角形增加
(3)猜想：当三角形内点的个数为$n$时，最多可以剪得
像这样通过对简单情形的观察、分析，从特殊到一般地探索这类现象的规律，提出猜想的思想方法称为归纳.
[类比应用]
(1)四边形有4个顶点，在它的内部画1个点，把四边形剪成若干个小三角形，最多可以剪得
(2)四边形内部每增加1个点，最多剪得的三角形增加
(3)当四边形内点的个数为$n$时，最多可以剪得
(4)$m$边形内有$n$个点时，最多可以剪得
解析 [问题解决]
(1)当三角形内有1个点时，最多剪出的小三角形的个数为$3=1+2×1$；当三角形内有2个点时，最多剪出的小三角形的个数为$5=1+2×2$；当三角形内有3个点时，最多剪出的小三角形的个数为$7=1+2×3$；当三角形内有4个点时，最多剪出的小三角形的个数为$1+2×4=9$.
(2)三角形内的点每增加1个，最多剪得的三角形增加2个.
(3)当三角形内有$n$个点时，最多剪出的小三角形个数为$1+2n$.
[类比应用]
(1)当四边形内有1个点时，最多剪出的小三角形个数为$4=2+2×1$；当四边形内有2个点时，最多剪出的小三角形的个数为$6=2+2×2$；当四边形内有3个点时，最多剪出的小三角形的个数为$8=2+2×3$.
(2)四边形内部每增加1个点，最多剪得的三角形增加2个.
(3)当四边形内有$n$个点时，最多剪出的小三角形个数为$2n+2$.
(4)当$m$边形内有1个点时，最多剪出的小三角形个数为$m=m+2×0$；当$m$边形内有2个点时，最多剪出的小三角形个数为$m+2=m+2×1$；当$m$边形内有3个点时，最多剪出的小三角形个数为$m+4=m+2×2$；…；当$m$边形内有$n$个点时，最多剪出的小三角形个数为$m+2(n-1)=m+2n-2$.
答案 [问题解决](1)9 (2)2 (3)$(2n+1)$
[类比应用](1)4 (2)2 (3)$(2n+2)$
(4)$(m+2n-2)$
。Mr？
人们通过长期观察发现，如果早晨天空中有棉絮状的高积云，那么午后常有雷雨降临，于是有了“朝有破絮云，午后雷雨临”的谚语.在数学的学习过程中，我们经常用这样的方法探究规律.
[数学问题]三角形有3个顶点，如果在它的内部再画$n$个点，并以这$(n+3)$个点为顶点画三角形，那么最多可以剪得多少个这样的三角形？
[问题探究]为了解决这个问题，我们可以从$n=1,2,3$等具体的、简单的情形入手，探索最多可以剪得的三角形个数的变化规律.
三角形内点的个数|图形|最多剪出的小三角形个数
---|---|---
1|（图）|3
2|
|53|（两个图）|7
4|…|$a$
…|…|…
[问题解决]
(1)表格中的$a=$
9
；(2)你发现的变化规律是三角形内的点每增加1个，最多剪得的三角形增加
2
个；(3)猜想：当三角形内点的个数为$n$时，最多可以剪得
$(2n+1)$
个三角形；像这样通过对简单情形的观察、分析，从特殊到一般地探索这类现象的规律，提出猜想的思想方法称为归纳.
[类比应用]
(1)四边形有4个顶点，在它的内部画1个点，把四边形剪成若干个小三角形，最多可以剪得
4
个小三角形；(2)四边形内部每增加1个点，最多剪得的三角形增加
2
个；(3)当四边形内点的个数为$n$时，最多可以剪得
$(2n+2)$
个三角形；(4)$m$边形内有$n$个点时，最多可以剪得
$(m+2n-2)$
个三角形.解析 [问题解决]
(1)当三角形内有1个点时，最多剪出的小三角形的个数为$3=1+2×1$；当三角形内有2个点时，最多剪出的小三角形的个数为$5=1+2×2$；当三角形内有3个点时，最多剪出的小三角形的个数为$7=1+2×3$；当三角形内有4个点时，最多剪出的小三角形的个数为$1+2×4=9$.
(2)三角形内的点每增加1个，最多剪得的三角形增加2个.
(3)当三角形内有$n$个点时，最多剪出的小三角形个数为$1+2n$.
[类比应用]
(1)当四边形内有1个点时，最多剪出的小三角形个数为$4=2+2×1$；当四边形内有2个点时，最多剪出的小三角形的个数为$6=2+2×2$；当四边形内有3个点时，最多剪出的小三角形的个数为$8=2+2×3$.
(2)四边形内部每增加1个点，最多剪得的三角形增加2个.
(3)当四边形内有$n$个点时，最多剪出的小三角形个数为$2n+2$.
(4)当$m$边形内有1个点时，最多剪出的小三角形个数为$m=m+2×0$；当$m$边形内有2个点时，最多剪出的小三角形个数为$m+2=m+2×1$；当$m$边形内有3个点时，最多剪出的小三角形个数为$m+4=m+2×2$；…；当$m$边形内有$n$个点时，最多剪出的小三角形个数为$m+2(n-1)=m+2n-2$.
答案 [问题解决](1)9 (2)2 (3)$(2n+1)$
[类比应用](1)4 (2)2 (3)$(2n+2)$
(4)$(m+2n-2)$
。Mr？
答案：[问题解决](1)9 (2)2 (3)$(2n+1)$
[类比应用](1)4 (2)2 (3)$(2n+2)$
(4)$(m+2n-2)$
[类比应用](1)4 (2)2 (3)$(2n+2)$
(4)$(m+2n-2)$
解析：
【分析】
这是一道图形规律探究题，解题时我们遵循从特殊到一般的归纳思路：首先观察三角形内点的个数为1、2、3时对应的小三角形个数，找到数字变化的规律，先解决三角形相关的问题；再用同样的方法类比探究四边形、m边形内部有n个点时的规律，每一步都先从简单情形入手，总结变化量再推导通用公式。
【解析】
问题解决
(1) 观察表格数据：三角形内1个点对应3个小三角形，2个点对应5个，3个点对应7个，可见每增加1个内点，小三角形个数增加2，因此4个内点时，$a=7+2=9$；
(2) 对比相邻数据：$5-3=2$，$7-5=2$，可知三角形内的点每增加1个，最多剪得的三角形增加2个；
(3) 根据上述规律，1个点时$3=2×1+1$，2个点时$5=2×2+1$，3个点时$7=2×3+1$，因此内点个数为n时，最多可剪得$(2n+1)$个三角形。
类比应用
(1) 四边形内部画1个点，连接该点和四边形的4个顶点，可得到4个小三角形，因此最多剪得4个；
(2) 每新增1个内点，该点会落在某一个小三角形内，将这个三角形分成3个，相当于总数增加2个，因此每增加1个点最多增加2个三角形；
(3) 1个点时对应4个，每加1个点多2个，因此n个点时，总数为$4+2(n-1)=2n+2$个；
(4) 推广到m边形：内部1个点时最多剪得m个小三角形，每加1个点多2个，因此n个点时总数为$m+2(n-1)=m+2n-2$个。
【答案】
[问题解决](1)9 (2)2 (3)$2n+1$
[类比应用](1)4 (2)2 (3)$2n+2$ (4)$m+2n-2$
【知识点】
图形规律探究、列代数式、归纳推理
【点评】
本题引导学生通过观察简单情形总结规律，再推广到一般情况，既考查了对数字变化规律的敏感度，也锻炼了类比迁移的能力，能有效提升逻辑思维和归纳总结能力。
【难度系数】
0.7
这是一道图形规律探究题，解题时我们遵循从特殊到一般的归纳思路：首先观察三角形内点的个数为1、2、3时对应的小三角形个数，找到数字变化的规律，先解决三角形相关的问题；再用同样的方法类比探究四边形、m边形内部有n个点时的规律，每一步都先从简单情形入手，总结变化量再推导通用公式。
【解析】
问题解决
(1) 观察表格数据：三角形内1个点对应3个小三角形，2个点对应5个，3个点对应7个，可见每增加1个内点，小三角形个数增加2，因此4个内点时，$a=7+2=9$；
(2) 对比相邻数据：$5-3=2$，$7-5=2$，可知三角形内的点每增加1个，最多剪得的三角形增加2个；
(3) 根据上述规律，1个点时$3=2×1+1$，2个点时$5=2×2+1$，3个点时$7=2×3+1$，因此内点个数为n时，最多可剪得$(2n+1)$个三角形。
类比应用
(1) 四边形内部画1个点，连接该点和四边形的4个顶点，可得到4个小三角形，因此最多剪得4个；
(2) 每新增1个内点，该点会落在某一个小三角形内，将这个三角形分成3个，相当于总数增加2个，因此每增加1个点最多增加2个三角形；
(3) 1个点时对应4个，每加1个点多2个，因此n个点时，总数为$4+2(n-1)=2n+2$个；
(4) 推广到m边形：内部1个点时最多剪得m个小三角形，每加1个点多2个，因此n个点时总数为$m+2(n-1)=m+2n-2$个。
【答案】
[问题解决](1)9 (2)2 (3)$2n+1$
[类比应用](1)4 (2)2 (3)$2n+2$ (4)$m+2n-2$
【知识点】
图形规律探究、列代数式、归纳推理
【点评】
本题引导学生通过观察简单情形总结规律，再推广到一般情况，既考查了对数字变化规律的敏感度，也锻炼了类比迁移的能力，能有效提升逻辑思维和归纳总结能力。
【难度系数】
0.7