4. (2026·湖南娄底冷水江期末)如果一个四位自然数$\overline{abcd}$的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足$\overline{ab}+\overline{cd}=\overline{bc}$，那么称这个四位数为“快乐数”.例如:四位数1 428，因为$14+28=42$，所以1 428是“快乐数”;又如:四位数2 534，因为$25+34=59≠53$，所以2 534不是“快乐数”.若一个“快乐数”为$\overline{15m8}$，则$m$的值为
3
.答案：3
[解析]因为$\overline{15m8}$为“快乐数”,
所以$15+10m+8=50+m$,解得$m=3$.
[解析]因为$\overline{15m8}$为“快乐数”,
所以$15+10m+8=50+m$,解得$m=3$.
解析：
【分析】
首先读懂“快乐数”的定义：四位自然数的前两位组成的两位数与后两位组成的两位数相加，结果等于中间两位组成的两位数，同时各数位数字互不相等且均不为0。本题中给出的“快乐数”是$\overline{15m8}$，我们先分别用含m的代数式表示出后两位、中间两位对应的两位数，再根据“快乐数”的运算规则列一元一次方程求解，最后验证得到的m是否符合数位限制条件即可。
【解析】
根据“快乐数”的定义：
前两位组成的两位数是15，后两位组成的两位数$\overline{m8}=10m+8$，中间两位组成的两位数$\overline{5m}=50+m$，
可列方程：
$15 + (10m + 8) = 50 + m$
化简得：$23 + 10m = 50 + m$
移项得：$10m - m = 50 - 23$
合并同类项得：$9m = 27$
解得：$m=3$
验证：此时四位数为1538，各数位数字1、5、3、8互不相等且均不为0，符合要求。
【答案】
3
【知识点】
新定义问题，代数式表示数，一元一次方程的应用
【点评】
本题属于新定义类基础题型，解题的关键是准确理解新定义的运算规则，正确将数位上的数字转化为对应代数式，再通过列解方程得到结果，最后注意要检验结果是否符合题目的数位限制条件。
【难度系数】
0.7
首先读懂“快乐数”的定义：四位自然数的前两位组成的两位数与后两位组成的两位数相加，结果等于中间两位组成的两位数，同时各数位数字互不相等且均不为0。本题中给出的“快乐数”是$\overline{15m8}$，我们先分别用含m的代数式表示出后两位、中间两位对应的两位数，再根据“快乐数”的运算规则列一元一次方程求解，最后验证得到的m是否符合数位限制条件即可。
【解析】
根据“快乐数”的定义：
前两位组成的两位数是15，后两位组成的两位数$\overline{m8}=10m+8$，中间两位组成的两位数$\overline{5m}=50+m$，
可列方程：
$15 + (10m + 8) = 50 + m$
化简得：$23 + 10m = 50 + m$
移项得：$10m - m = 50 - 23$
合并同类项得：$9m = 27$
解得：$m=3$
验证：此时四位数为1538，各数位数字1、5、3、8互不相等且均不为0，符合要求。
【答案】
3
【知识点】
新定义问题，代数式表示数，一元一次方程的应用
【点评】
本题属于新定义类基础题型，解题的关键是准确理解新定义的运算规则，正确将数位上的数字转化为对应代数式，再通过列解方程得到结果，最后注意要检验结果是否符合题目的数位限制条件。
【难度系数】
0.7
5.（2025·宁夏中考）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫作“极差数”。例如三位数231，因为3－1＝2，所以它是“极差数”。
[理解定义]
三位数265是否为“极差数”？
[建模推理]
（1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为a，b，c，则a与b，c的关系式为
（2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？
[理解定义]
三位数265是否为“极差数”？
不是
。[建模推理]
（1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为a，b，c，则a与b，c的关系式为
$b-c=a$
。（2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？
答案：[理解定义]不是
[解析]$6-5=1$,$1≠2$,所以这个三位数不是“极差数”.
[建模推理](1)$b-c=a$
(2)设一个“极差数”为$\overline{abc}$($a,b,c$为正整数),
所以$b-c=a$,$b=a+c$,所以$\overline{abc}=100a+10b+c$
$=100a+10(a+c)+c=100a+10a+10c+c$
$=110a+11c=11(10a+c)$.
因为$a,b,c$为正整数.
所以$10a+c$为正整数,
所以$11(10a+c)$能被11整除,
即任意一个“极差数”都能被11整除.
[解析]$6-5=1$,$1≠2$,所以这个三位数不是“极差数”.
[建模推理](1)$b-c=a$
(2)设一个“极差数”为$\overline{abc}$($a,b,c$为正整数),
所以$b-c=a$,$b=a+c$,所以$\overline{abc}=100a+10b+c$
$=100a+10(a+c)+c=100a+10a+10c+c$
$=110a+11c=11(10a+c)$.
因为$a,b,c$为正整数.
所以$10a+c$为正整数,
所以$11(10a+c)$能被11整除,
即任意一个“极差数”都能被11整除.
解析：
【分析】
首先解决“理解定义”问题：根据“极差数”的定义，判断时先提取三位数的百位、十位、个位数字，计算十位数字与个位数字的差，将差与百位数字比较，相等则为“极差数”，否则不是。
建模推理（1）：直接对应新定义的规则，将百位、十位、个位用字母a、b、c替换，即可得到三者的数量关系式。
建模推理（2）：要判断数能否被11整除，只需验证该数是否可以写成11乘一个正整数的形式。首先用数位代数式表示出三位数，再结合“极差数”的关系将b用含a、c的式子替换，化简代数式后提取公因式，若化简结果含因数11且剩余因式为正整数，即可证明结论。
【解析】
[理解定义] 三位数265的十位数字为6，个位数字为5，计算得6-5=1，而该数的百位数字为2，1≠2，因此265不是“极差数”。
[建模推理]
（1）根据“极差数”的定义，十位数字减个位数字等于百位数字，因此a与b、c的关系式为$a=b-c$。
（2）任意一个“极差数”都能被11整除，理由如下：
设“极差数”的百位、十位、个位数字分别为a、b、c（a、b、c均为正整数），由定义得$b-c=a$，即$b=a+c$。
这个三位数可表示为$\overline{abc}=100a+10b+c$，将$b=a+c$代入得：
$\begin{aligned}100a+10(a+c)+c&=100a+10a+10c+c\\&=110a+11c\\&=11(10a+c)\end{aligned}$
因为a、c为正整数，所以$10a+c$是正整数，因此$11(10a+c)$是11的正整数倍，能被11整除，即任意一个“极差数”都能被11整除。
【答案】
[理解定义]不是；
[建模推理]（1）$a=b-c$；（2）任意一个“极差数”都能被11整除，理由见解析。
【知识点】
新定义理解，代数式化简，整除判定
【点评】
本题以新定义“极差数”为载体，考查对新规则的理解应用能力和代数式的变形能力，解题关键是准确把握新定义的运算规则，熟练掌握多位数的代数式表示方法，通过代数变形验证结论，是典型的创新类基础题。
【难度系数】
0.8
首先解决“理解定义”问题：根据“极差数”的定义，判断时先提取三位数的百位、十位、个位数字，计算十位数字与个位数字的差，将差与百位数字比较，相等则为“极差数”，否则不是。
建模推理（1）：直接对应新定义的规则，将百位、十位、个位用字母a、b、c替换，即可得到三者的数量关系式。
建模推理（2）：要判断数能否被11整除，只需验证该数是否可以写成11乘一个正整数的形式。首先用数位代数式表示出三位数，再结合“极差数”的关系将b用含a、c的式子替换，化简代数式后提取公因式，若化简结果含因数11且剩余因式为正整数，即可证明结论。
【解析】
[理解定义] 三位数265的十位数字为6，个位数字为5，计算得6-5=1，而该数的百位数字为2，1≠2，因此265不是“极差数”。
[建模推理]
（1）根据“极差数”的定义，十位数字减个位数字等于百位数字，因此a与b、c的关系式为$a=b-c$。
（2）任意一个“极差数”都能被11整除，理由如下：
设“极差数”的百位、十位、个位数字分别为a、b、c（a、b、c均为正整数），由定义得$b-c=a$，即$b=a+c$。
这个三位数可表示为$\overline{abc}=100a+10b+c$，将$b=a+c$代入得：
$\begin{aligned}100a+10(a+c)+c&=100a+10a+10c+c\\&=110a+11c\\&=11(10a+c)\end{aligned}$
因为a、c为正整数，所以$10a+c$是正整数，因此$11(10a+c)$是11的正整数倍，能被11整除，即任意一个“极差数”都能被11整除。
【答案】
[理解定义]不是；
[建模推理]（1）$a=b-c$；（2）任意一个“极差数”都能被11整除，理由见解析。
【知识点】
新定义理解，代数式化简，整除判定
【点评】
本题以新定义“极差数”为载体，考查对新规则的理解应用能力和代数式的变形能力，解题关键是准确把握新定义的运算规则，熟练掌握多位数的代数式表示方法，通过代数变形验证结论，是典型的创新类基础题。
【难度系数】
0.8