例1 (2026·南通海安期中)下列各式中,不正确的是(
A.若$a=b$,则$ab=b^2$
B.若$a=b$,则$\dfrac{a}{c^2+1}=\dfrac{b}{c^2+1}$
C.若$ab=b^2$,则$a=b$
D.若$a+b=2b$,则$a=b$
名师启发 根据等式的性质,逐项分析判断即可.
C
).A.若$a=b$,则$ab=b^2$
B.若$a=b$,则$\dfrac{a}{c^2+1}=\dfrac{b}{c^2+1}$
C.若$ab=b^2$,则$a=b$
D.若$a+b=2b$,则$a=b$
名师启发 根据等式的性质,逐项分析判断即可.
答案：C
解析：
【分析】
本题考查等式性质的应用，解题思路如下：首先回忆等式的两条基本性质：1.等式两边同时加上或减去同一个数或整式，等式仍然成立；2.等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。接下来对照等式性质，逐一分析每个选项的推导是否符合要求，尤其注意涉及除法运算时，要确认除数不为0，还要注意等式两边同时除以含字母的式子时，要考虑式子为0的特殊情况，最终选出不正确的选项。
【解析】
我们根据等式的性质逐项判断：
A选项：已知$a=b$，等式两边同时乘$b$，根据等式性质2，可得$ab=b^2$，推导正确，不符合题意。
B选项：因为$c^2≥0$，所以$c^2+1≥1$，恒不为0。已知$a=b$，等式两边同时除以不为0的$c^2+1$，根据等式性质2，可得$\dfrac{a}{c^2+1}=\dfrac{b}{c^2+1}$，推导正确，不符合题意。
C选项：已知$ab=b^2$，若要两边同时除以$b$得到$a=b$，必须满足$b≠0$。当$b=0$时，无论$a$取何值，$ab=b^2=0$都成立，此时$a$不一定等于$b$，推导错误，符合题意。
D选项：已知$a+b=2b$，等式两边同时减去$b$，根据等式性质1，可得$a=2b-b=b$，推导正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
等式的性质
【点评】
本题是等式性质应用的基础题型，易错点在于忽略等式两边同时除以含字母的式子时，需保证该式子不为0，掌握特殊值（如0）代入验证的方法，能有效避免此类错误。
【难度系数】
0.7
本题考查等式性质的应用，解题思路如下：首先回忆等式的两条基本性质：1.等式两边同时加上或减去同一个数或整式，等式仍然成立；2.等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。接下来对照等式性质，逐一分析每个选项的推导是否符合要求，尤其注意涉及除法运算时，要确认除数不为0，还要注意等式两边同时除以含字母的式子时，要考虑式子为0的特殊情况，最终选出不正确的选项。
【解析】
我们根据等式的性质逐项判断：
A选项：已知$a=b$，等式两边同时乘$b$，根据等式性质2，可得$ab=b^2$，推导正确，不符合题意。
B选项：因为$c^2≥0$，所以$c^2+1≥1$，恒不为0。已知$a=b$，等式两边同时除以不为0的$c^2+1$，根据等式性质2，可得$\dfrac{a}{c^2+1}=\dfrac{b}{c^2+1}$，推导正确，不符合题意。
C选项：已知$ab=b^2$，若要两边同时除以$b$得到$a=b$，必须满足$b≠0$。当$b=0$时，无论$a$取何值，$ab=b^2=0$都成立，此时$a$不一定等于$b$，推导错误，符合题意。
D选项：已知$a+b=2b$，等式两边同时减去$b$，根据等式性质1，可得$a=2b-b=b$，推导正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
等式的性质
【点评】
本题是等式性质应用的基础题型，易错点在于忽略等式两边同时除以含字母的式子时，需保证该式子不为0，掌握特殊值（如0）代入验证的方法，能有效避免此类错误。
【难度系数】
0.7
例2 解方程：
(1)$2x+3(5-x)=5$； (2)$\frac{4x-1}{6}=2-\frac{3x-1}{3}$.
名师启发 (1)方程去括号、移项、合并同类项、把$x$的系数化为1，即可求出解；
(2)方程去分母、去括号、移项、合并同类项、把$x$的系数化为1，即可求出解。
(1)$2x+3(5-x)=5$； (2)$\frac{4x-1}{6}=2-\frac{3x-1}{3}$.
名师启发 (1)方程去括号、移项、合并同类项、把$x$的系数化为1，即可求出解；
(2)方程去分母、去括号、移项、合并同类项、把$x$的系数化为1，即可求出解。
答案：(1)去括号,得$2x+15-3x=5$,
移项,得$2x-3x=5-15$,
合并同类项,得$-x=-10$,
解得$x=10$.
(2)去分母,得$4x-1=12-2(3x-1)$,
去括号,得$4x-1=12-6x+2$,
移项,得$4x+6x=12+2+1$,
合并同类项,得$10x=15$,
解得$x=1.5$.
移项,得$2x-3x=5-15$,
合并同类项,得$-x=-10$,
解得$x=10$.
(2)去分母,得$4x-1=12-2(3x-1)$,
去括号,得$4x-1=12-6x+2$,
移项,得$4x+6x=12+2+1$,
合并同类项,得$10x=15$,
解得$x=1.5$.
解析：
【分析】
这两道题均为一元一次方程的求解类题目，遵循一元一次方程的常规求解逻辑即可：
(1) 第一题方程带括号，首先按照去括号法则去掉括号，注意括号外的因数要乘以括号内的每一项；再将含未知数的项移到方程左侧，常数项移到方程右侧，移项要记得变号；随后合并同类项，最后把未知数的系数化为1就能得到解。
(2) 第二题方程带分母，首先利用等式的性质，两边同乘所有分母的最小公倍数6去掉分母，注意不要漏乘不含分母的常数项2；之后依次完成去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤，即可求出方程的解。
【解析】
(1) 去括号，得$2x+15-3x=5$，
移项，得$2x-3x=5-15$，
合并同类项，得$-x=-10$，
系数化为1，得$x=10$。
(2) 去分母，得$4x-1=12-2(3x-1)$，
去括号，得$4x-1=12-6x+2$，
移项，得$4x+6x=12+2+1$，
合并同类项，得$10x=15$，
系数化为1，得$x=1.5$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{x=10}$；(2) $\boldsymbol{x=1.5}$
【知识点】
一元一次方程的解法，去括号法则，等式的基本性质
【点评】
本题是一元一次方程求解的基础题型，分别对应带括号、带分母两类常见的一元一次方程考察形式，解题时需注意去括号的符号规则、去分母时不要漏乘无分母的项、移项要改变符号，养成规范的运算习惯，可有效降低计算错误率。
【难度系数】
0.8
这两道题均为一元一次方程的求解类题目，遵循一元一次方程的常规求解逻辑即可：
(1) 第一题方程带括号，首先按照去括号法则去掉括号，注意括号外的因数要乘以括号内的每一项；再将含未知数的项移到方程左侧，常数项移到方程右侧，移项要记得变号；随后合并同类项，最后把未知数的系数化为1就能得到解。
(2) 第二题方程带分母，首先利用等式的性质，两边同乘所有分母的最小公倍数6去掉分母，注意不要漏乘不含分母的常数项2；之后依次完成去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤，即可求出方程的解。
【解析】
(1) 去括号，得$2x+15-3x=5$，
移项，得$2x-3x=5-15$，
合并同类项，得$-x=-10$，
系数化为1，得$x=10$。
(2) 去分母，得$4x-1=12-2(3x-1)$，
去括号，得$4x-1=12-6x+2$，
移项，得$4x+6x=12+2+1$，
合并同类项，得$10x=15$，
系数化为1，得$x=1.5$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{x=10}$；(2) $\boldsymbol{x=1.5}$
【知识点】
一元一次方程的解法，去括号法则，等式的基本性质
【点评】
本题是一元一次方程求解的基础题型，分别对应带括号、带分母两类常见的一元一次方程考察形式，解题时需注意去括号的符号规则、去分母时不要漏乘无分母的项、移项要改变符号，养成规范的运算习惯，可有效降低计算错误率。
【难度系数】
0.8